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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STI Polynésie  septembre 2011~\decofourright\\Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives 

\[a = 2\sqrt{3} - 2\text{i},\quad b = - 2 - 2 \text{i}\sqrt{3},\quad c = - 4 \quad \text{et} \quad d = 4\text{i}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a$ et $b$. 
		\item Placer les points A, B, C et D dans le plan muni du repère \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon. 
		\item Vérifier que $d - a = \sqrt{3}(c - b)$. 
		\item Calculer les distances AB et CD. 
		\item Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle notée $(E)$ :
 
\[y^{\prime\prime} + \dfrac{1}{9}y = 0,\]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et où $y^{\prime\prime}$ désigne sa dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E). 
\item Déterminer l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions $f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 1$ et $f^{\prime}(3\pi) = 0$. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
 
\[g(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{1}{3}x\right).\]
 
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $g$, dans un repère orthogonal du plan. On note $K$ la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = $\pi$. 

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(6,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(6,1.75)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6}{x 60 mul 3.141 div cos 2 0.5 exp mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.141}{x 60 mul 3.141 div cos 2 0.5 exp mul}
\psline(3.141,0)(0,0)}
\rput(1.5,0.5){$K$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout nombre réel $x,\: [g(x)]^2 = 1 + \cos \left(\dfrac{2}{3}x\right)$. 
		\item On considère le solide $S$ engendré par La rotation de la partie $K$ autour de l'axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume $V$ du solide $S$. 

\emph{On rappelle que }: $V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} [g(x)]^2\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation d'un graphique}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.
 
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
 
\[f(x) = x\text{e}^x + ax^2 + bx + c,\]
 
où $a,~b$ et $c$ désignent trois nombres réels. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
 
Cette courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0~;~2) et B$\left(-1~;~3 - \text{e}^{-1}\right)$.

Au point B, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses.
 
La parabole $\mathcal{P}$ représente la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[g(x) = - x^2 - 2x + 2.\] 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-8)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linewidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.31}{2.31}{2 2 x mul sub x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-4.3}{1.95}{2.71828 x exp x mul x dup mul sub x 2 mul sub 2 add}
\uput[r](1.5,3.5){$\mathcal{C}$}\uput[r](1.8,-5.5){$\mathcal{P}$}
\psline{<->}(-1.8,2.632)(-0.2,2.632)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f(0)$. En déduire la valeur de $c$.
		\item Donner la valeur de $f(- 1)$. En déduire une relation entre $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f^{\prime}(- 1)$.
		\item Exprimer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $a$ et de $b$. En déduire une deuxième relation entre $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer les valeurs de $a$ et de $b$	
\end{enumerate}	
	
\medskip

\emph{Dans la suite, on admettra que pour tout nombre réel} \:$x, \: f(x)$\: \emph{s'exprime \:par :}

\[f(x) = x\text{e}^x - x^2 - 2x + 2.\]	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
			
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $x\left(\text{e}^x - x - 2\right) + 2$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Déterminer, lorsque $x$ tend vers $- \infty$, la limite de $f(x) - g(x)$. 

Interpréter graphiquement le résultat. 
		\item Étudier les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{2}{x} - 1\right) + 2$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout nombre réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\left(\text{e}^x - 2\right)$. 
		\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels l'inéquation : $\text{e}^x - 2 > 0$. 
		\item Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
		 
On donnera la valeur exacte de $f(\ln 2)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\medskip
 
On considère les fonctions $H$ et $h$ définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[H(x) = (x -1)\text{e}^x\quad  \text{et}\quad  h(x) = x\text{e}^x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
\item Calculer l'aire du domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la parabole $\mathcal{P}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 2$. Le résultat sera exprimé en unité d'aire. 
\end{enumerate}
\end{document}