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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie~\decofourright\\septembre 2011 Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
% 
%On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 2\sqrt{3} - 2\text{i},\:$
%
%$b = - 2 - 2 \text{i}\sqrt{3},\: c = - 4$ et $d = 4\text{i}$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a$ et $b$.
Le module : $|a|^2 = 4 \times 3 + 4 = 16 = 4^2 \Rightarrow |a| = 4$. En factorisant ce module dans l'écriture algèbrique :

$a = 4\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right) =   4\left( \cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6}\right)$.

Un argument de $a$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

De m\^eme $|b|^2 = 4 + 4 \times 3 = 16 = 4^2 \Rightarrow |B| = 4$.

$b = 4\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\left(\cos \dfrac{- 2\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{- 2\pi}{3}\right)$.

Un argument de $b$ est donc $\dfrac{- 2\pi}{3}$
		\item %Placer les points A, B, C et D dans le plan muni du repère \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
Voir à la fin.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points A, B, C et D sont un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
On a $|c| = 4 = \text{OC} = |d| = 4 = \text{OD}$ et on déjà vu que  $|a| = |b| = 4 = \text{OA} = \text{OB}$.

Les quatre points A, B, C et D appartiennent au cercle de centre O et de rayon $4$.
		\item %Vérifier que $d - a = \sqrt{3}(c - b)$.
$d - a = 4\text{i} - \left(2\sqrt{3} - 2\text{i} \right) = 6\text{i} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\left(2\text{i}\sqrt{3} - 2 \right)$.

Or $c - b = - 4 - \left(- 2 - 2 \text{i}\sqrt{3} \right) = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.

Finalement : $d - a = \sqrt{3}(c - b)$.		 
		\item %Calculer les distances AB et CD.
On a AB$^2  = |b - a|^2 = \left|- 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 - 2\sqrt{3}\right)  \right|^2 = \left(2 + 2\sqrt{3} \right)^2 + \left(2 - 2\sqrt{3} \right)^2 = 4 + 12 + 8\sqrt{3} + 4 + 12 - 8\sqrt{3} = 16 \times 2$ D'où AB $= 4\sqrt{2}$.

CD$^2 = |4\text{i} + 4 |^2 = 16 + 16 = 16 \times 2 \Rightarrow \text{CD} = 4\sqrt{2}$.
		\item %Déduire des questions 2. b. et 2. c. que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.
Le résultat du 2. b. traduit l'égalité vectorielle $\vect{\text{AD}} = \sqrt{3}\vect{\text{BC}}$ ce qui signifie que les vecteurs $\vect{\text{AD}} $  et $\vect{\text{BC}}$ sont colinéaires ou encore que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un trapèze et comme on vient de démontrer que AB = CD, ce trapèze est isocèle.
  	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.75)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-3.75)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(3.464,-2)(-2,-3.464)(-4,0)(0,4)
\uput[dr](3.464,-2){A}\uput[dl](-2,-3.464){B}\uput[ul](-4,0){C}\uput[ur](0,4){D}
\pspolygon(3.464,-2)(-2,-3.464)(-4,0)(0,4)
\pscircle(0,0){4}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

%On considère l'équation différentielle notée $(E)$ :
% 
%\[y^{\prime\prime} + \dfrac{1}{9}y = 0,\]
% 
%où $y$ désigne une fonction de la variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et où $y^{\prime\prime}$ désigne sa dérivée seconde.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle (E).
L'équation est de la forme $y^{\prime\prime} + \omega^2 y = 0$ avec $\omega = \dfrac{1}{3}.

Les solutions sur l'ensemble $\R$ sont de la forme :

$f(x) = A \cos \dfrac{x}{3} + B \sin \dfrac{x}{3}$, avec A et B réels. 
\item %Déterminer l'expression de la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions $f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = 1$ et $f^{\prime}(3\pi) = 0$.
Avec f(x) = A \cos \dfrac{x}{3} + B \sin \dfrac{x}{3}, \quad f^{\prime}(x) = - \dfrac{A}{3}\sin \dfrac{x}{3} + \dfrac{B}{3}\cos \dfrac{x}{3}$, on a : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) &=& 1\\
f^{\prime}(3\pi) &=& 0
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
A \cos \dfrac{3\pi}{3\times 4} + B \sin \dfrac{3\pi}{3\times 4}&=&1\\
- \dfrac{A}{3}\sin \dfrac{3\pi}{3} + \dfrac{B}{3}\cos \dfrac{3\pi}{3}&=&0
\end{array}\right. \iff
A\dfrac{\sqrt{2}}{2} + B\dfrac{\sqrt{2}}{2}&=&1\\
-\dfrac{B}{3}&=&0
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
A + B&=&\sqrt{2}\\
B&=&0
\end{array}\right. \iff
A&=&\sqrt{2}\\
B&=&0
\end{array}\right. \]

La solution particulière est donc définie par :

$f(x) = \sqrt{2}\cos \dfrac{x}{3}
 
\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
 
%\[g(x) = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{1}{3}x\right).\]
 
%On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $g$, dans un repère orthogonal du plan. On note $K$ la partie du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = $\pi$. 
%
%\medskip
%\begin{center}
%\psset{unit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(6,1.75)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(6,1.75)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6}{x 60 mul 3.141 div cos 2 0.5 exp mul}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.141}{x 60 mul 3.141 div cos 2 0.5 exp mul}
%\psline(3.141,0)(0,0)}
%\rput(1.5,0.5){$K$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout nombre réel $x,\: [g(x)]^2 = 1 + \cos \left(\dfrac{2}{3}x\right)$.
		On a : $[g(x)]^2 = \left[\sqrt{2} \cos \left(\dfrac{1}{3}x\right)  \right]^2 = 2 \cos ^2\left(\dfrac{1}{3}x\right)$.
		
On sait que $\cos 2a = \cos ^2 a - \sin^2 a = 2\cos ^2 a - 1$, soit en isolant $2\cos ^2 a$ :

$2\cos ^2 a = 1 + \cos a$. En appliquant cette formule à $a = \dfrac{1}{3}x$, on obtient :

$[g(x)]^2 = 1 + \cos \dfrac{2}{3}x$.
		\item %On considère le solide $S$ engendré par La rotation de la partie $K$ autour de l'axe des abscisses. Calculer la valeur exacte, en unité de volume, du volume $V$ du solide $S$. 

%\emph{On rappelle que }: $V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} [g(x)]^2\:\text{d}x$.
$V = \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} [g(x)]^2\:\text{d}x = \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left[1 + \cos \dfrac{2}{3}x \right]\:\text{d}x = \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} 1\:\text{d}x + \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos \dfrac{2}{3}x\:\text{d}x$.

Une primitive de $\cos \dfrac{2}{3}x$ est $\dfrac{3}{2}\sin \dfrac{2}{3}x$, donc 

$V = \pi[x]_{0}^{\pi} + \pi\left[\dfrac{3}{2}\sin \dfrac{2}{3}x  \right]_{0}^{\pi} = \pi^2 + \pi\dfrac{3}{2}\sin \dfrac{2\pi}{3} = \pi^2 + \dfrac{3\pi}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \pi^2 + \dfrac{3\pi\sqrt{3}}{4}$. 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème } \hfill  11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation d'un graphique}

\medskip
 
%Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
% 
%\[f(x) = x\text{e}^x +ax^2 + bx + c,\]
% 
%où $a,~b$ et $c$ désignent trois nombres réels. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
% 
%Cette courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0~;~2) et B$\left(-1~;~3 - \text{e}^{-1}\right)$.
%
%Au point B, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est parallèle à l'axe des abscisses.
% 
%La parabole $\mathcal{P}$ représente la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 
%
%\[g(x) = - x^2 - 2x + 2.\] 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-5,-8)(5,8)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linewidth=0.2pt,gridcolor=orange]
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.31}{2.31}{2 2 x mul sub x dup mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-4.3}{1.95}{2.71828 x exp x mul x dup mul sub x 2 mul sub 2 add}
%\uput[r](1.5,3.5){$\mathcal{C}$}\uput[r](1.8,-5.5){$\mathcal{P}$}
%\psline{<->}(-1.8,2.632)(-0.2,2.632)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur de $f(0)$. En déduire la valeur de $c$.
On sait que $f(0) = 2$ et avec $f(x) = x\text{e}^x + ax^2 + bx + c$, 

$f(0) = 2 \iff 0 + 0 + 0 + c = 2 \iff c = 2$.
		\item %Donner la valeur de $f(- 1)$. En déduire une relation entre $a$ et $b$.
On a $f(- 1) = 3 - \text{e}^{-1}$.

Soit $- 1\text{e}^{- 1} +a(- 1)^2 + b \times (- 1) + 2 = 3 - \text{e}^{-1} \iff a - b + 2 = 3 \iff a - b = 1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la valeur de $f^{\prime}(- 1)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et 
		
$f^{\prime}(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x + 2ax + b = \text{e}^x(x + 1) + 2ax + b$, donc 
		
$f^{\prime}(- 1) = 	0 - 2a + b = 0 \iff b = 2a$.	
		\item Exprimer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $a$ et de $b$. En déduire une deuxième relation entre $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer les valeurs de $a$ et de $b$
$\left\{\begin{array}{l c l}
a - b &=& 1\\
- 2a + b&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par somme) $- a = 1 \iff a = - 1$ et enfin $b = - 2$.

Conclusion $f$ est définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x\text{e}^x - x^2 - 2x + 2.\]	
\end{enumerate}	
	
\medskip

%\emph{Dans la suite, on admettra que pour tout nombre réel} \:$x, \: f(x)$\: \emph{s'exprime \:par :}

%\[f(x) = x\text{e}^x - x^2 - 2x + 2.\]	
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
			
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $x\left(\text{e}^x - x - 2\right) + 2$.
En factorisant $x$, on a $f(x) = x \left[\text{e}^x - x - 2  \right] + 2$. 
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} - x = + \infty$, d'où par somme 
		
		$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left[\text{e}^x - x - 2  \right] = + \infty$ et enfin par produit de limites car $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$. (ce que confirme le graphe)
		\item %Déterminer, lorsque $x$ tend vers $- \infty$, la limite de $f(x) - g(x)$. 
$f(x) - g(x) = x\text{e}^x - x^2 - 2x + 2 - \left(- x^2 - 2x + 2 \right) = x\text{e}^x$ et on sait que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) - g(x) = 0$.
%Interpréter graphiquement le résultat.
Géométriquement ce résultat signifie que la courbe $\mathcal{P}$ est asymptote à la courbe  $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Étudier les positions relatives des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
$f(x) - g(x) = x\text{e}^x$ et comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de la différence est celui de $x$ :

$\bullet~~$ pour $x < 0,\: f(x) - g(x) < 0 \iff f(x) < g(x)$, donc $\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{P}$ ;

$\bullet~~$ pour $x > 0,\: f(x) - g(x) > 0 \iff f(x) > g(x)$, donc $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{P}$ ;

$\bullet~~$ pour $x = 0$, les deux courbes ont un point commun A.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{2}{x} - 1\right) + 2$.
		En factorisant $x^2 $ dans l'écriture de f(x) on obtient :
		
$f(x) = x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{2}{x} - 1\right) + 2$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$, que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{2}{x} - 1 = + \infty$.

D'autre part  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$, donc par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{2}{x} - 1\right) + 2 = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que pour tout nombre réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\left(\text{e}^x - 2\right)$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et :

$f^{\prime}(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x - 2x - 2 = \text{e}^x(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)\left(\text{e}^x - 2\right)$.		 
		\item %Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels l'inéquation : $\text{e}^x - 2 > 0$.
$\text{e}^x - 2 > 0 \iff \text{e}^x > 2 \iff x > \ln 2$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) 		 
		\item %Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
On vient de trouver le signe de $\text{e}^x - 2$ et on a $x + 1 > 0  \iff x > - 1$.

On peut trouver le signe de $f^{\prime}(x)$ grâce à un tableau de signes :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)\psline(0,1)(8,1)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.5,3){$- \infty$} \uput[u](4,3){$- 1$} \uput[u](6,3){$\ln 2$} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$}
 \rput(1,2.5){$x + 1$}\rput(1,1.5){$\text{e}^x - 2$}\rput(1,0.5){\footnotesize $(x + 1)\left(\text{e}^x - 2\right)$}
\rput(3,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$+$} \rput(7,2.5){$+$}\rput(4,2.5){$0$} 
\rput(3,1.5){$-$} \rput(5,1.5){$-$} \rput(7,1.5){$+$}\rput(6,1.5){$0$} 
\rput(3,0.5){$+$} \rput(5,0.5){$-$} \rput(7,0.5){$+$}\rput(4,0.5){$0$} \rput(6,0.5){$0$} 
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
Le signe de $(x + 1)\left(\text{e}^x - 2\right)$ étant celui de la dérivée, on en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(10,3.5)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,3)(10,3)\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.5,3){$- \infty$} \uput[u](4,3){$- 1$} \uput[u](7,3){$\ln 2$} \uput[u](9.5,3){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f^{\prime}(x)$}
\rput(2.5,2.5){$+$} \rput(5.5,2.5){$-$} \rput(8.5,2.5){$+$}\rput(4,2.5){$0$} \rput(7,2.5){$0$}
\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5) 
\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) 
\psline{->}(7.5,0.5)(9.5,1.5)
\uput[d](4,2){$3 - \text{e}^{- 1}$} \uput[u](7,0){$2 - (\ln 2)^2$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](9.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}
		 
%On donnera la valeur exacte de $f(\ln 2)$.
$f(\ln 2) = \ln 2 \text{e}^{\ln 2} - (\ln 2)^2 - 2\ln 2 + 2 = 2\ln 2 - (\ln 2)^2 - \ln 2 + 2 = 2 - (\ln 2)^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

%\medskip
% 
%On considère les fonctions $H$ et $h$ définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 
%
%\[H(x) = (x - 1)\text{e}^x\quad  \text{et}\quad  h(x) = x\text{e}^x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
$H$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$ : elle est donc dérivable sur $\R$ et 

$H^{\prime}(x) = \text{e}^x + (x - 1)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 1) = x\text{e}^x = h(x)$.

Cette égalité montre que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\R$.
\item %Calculer l'aire du domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la parabole $\mathcal{P}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 2$. Le résultat sera exprimé en unité d'aire.
On a vu que pour $x > 0$ et en particulier sur $[0~;~\ln 2], \quad f(x) > g(x)$, donc l'aire du domaine  du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la parabole $\mathcal{P}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 2$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} [f(x) - g(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} x\text{e}^x\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} h(x)\:\text{d}x = \left[H(x)\right]_{0}^{\ln 2}
 = H(\ln 2) - H(0) = (\ln 2 - 1)\text{e}^{\ln 2} - (0 - 1)\text{e}^0 = 2(\ln 2 - 1) + 1$~(u. a.)
\end{enumerate}
\end{document}