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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI Antilles--Guyane 20 juin 2011~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Rappel : i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
Le plan est muni du repère orthonormé \Ouv{} (unité : 3 cm).

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation (E) : 

\[9z^2 - 6z + 2 = 0.\]
 
\item  	On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \dfrac{1}{z_{\text{A}}}$. 
Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{B}}$.
 
\item Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.

 En déduire le module et un argument de $z_{\text{B}}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv{} (\emph{faire une figure sur papier millimétré}). 
		\item Montrer que le triangle AOB est rectangle.
	\end{enumerate} 
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{8}}$ et C$'$ le point d'affixe $z_{\text{C}'}  = \dfrac{1}{z_{\text{C}}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$.
		\item Montrer que le point C$'$ est l'image de C par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item  	Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$. 
 
Déterminer l'affixe du vecteur de la translation qui transforme D en A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip 

On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, c'est-à-dire dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Chacune de ces faces est repérée par une lettre inscrite sur cette face (A, B, C ou D). Chacune des lettres figure sur une et une seule face.
 
Quand le dé s'immobilise après un lancer, une des faces est cachée et les trois autres sont visibles ; le résultat de ce lancer est la lettre inscrite sur la face cachée du dé.
 
Le dé est supposé parfaitement équilibré, c'est-à-dire qu'à chaque lancer les quatre résultats possibles sont équiprobables.

\smallskip
 
Un joueur lance le dé deux fois de suite. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] A$_{1}$ : \og le résultat du premier lancer est A \fg
\item[] A$_{2}$ : \og le résultat du second lancer est A \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de $\overline{\text{A}_{1}}$,  évènement contraire de A$_{1}$ ? 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement $\overline{\text{A}_{1}} \cap \text{A}_{2}$  ? 
\item Quelle est la probabilité de l'évènement A$_{1} \cap \text{A}_{2}$ ? 
\item Pour faire une partie (deux lancers successifs), le joueur doit payer 2 euros.
 
Si le résultat A est obtenu aux deux lancers, le joueur reçoit 12~\euro. 

Si le résultat A est obtenu à un seul des deux lancers, le joueur reçoit 3~\euro. 

Si le résultat A n'est obtenu à aucun lancer, le joueur ne reçoit rien.
 
Soit $G$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée, associe le gain (positif ou négatif) du joueur en euros, tenant compte des 2 euros payés et de la somme éventuellement reçue. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p(G = -2) = \dfrac{9}{16}$. 
		\item Quelles sont les valeurs prises par $G$ ? 
		\item Donner la loi de probabilité de $G$. 
		\item Quelle est la probabilité pour que le gain du joueur soit positif ? 
		\item Calculer l'espérance mathématique de $G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip  
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{On considère la fonction $h$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ est tracée ci-contre. La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{h}$ au point A de coordonnées (1~;~3); cette droite coupe l'axe des ordonnées au point B de coordonnées (0~;~1). On admet qu'il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre réel $x$ dans $]0~;~+\infty[,\, h(x) = a\ln x + b$.

\medskip
 
\emph{Dans la question suivante, toute recherche, même incomplète, ou initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation : }

\medskip

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(2.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-1)(2.5,4.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,0)(1,3)(0,3)
\psplot{-1}{1.75}{2 x mul 1 add}
\uput[dr](1,3){A}\uput[dr](0,1){B}\uput[ul](1.2,3.4){T}\uput[r](0.2,-0.8){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.134}{2.}{x ln 2 mul 3 add}
\end{pspicture}
}

\bigskip  
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, par :

\[g(x) = 2x\ln x + x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. 

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, on a $g'(x) = 2\ln x + 3$. 
\item Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'inéquation $2\ln x + 3> 0$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$. 
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. On y fera figurer les limites de $g$ ainsi que sa valeur en $1$. 
\item Prouver que $g(x) < 0$ pour tout $x$ appartenant à ]0~;~1[ et $g(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à $]1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie C}

\medskip 
On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = x^2 \ln x - x + 1.\]
 
On admet que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $1$. 
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $f(x) = x(x \ln x - 1) + 1$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$,  calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ est la fonction $g$, définie dans la partie B. 
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Pour chaque valeur, on inscrira dans le tableau l'arrondi au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,2&0,5&1		&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&	&	&$0$	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij{} (unité : 2~cm), tracer la courbe $\mathcal{C}$  représentative de la fonction $f$. On utilisera une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie D}

\medskip 

Soit $\Delta$ la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ (construite dans la partie C) et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique construit dans la partie C. 
		\item Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\Delta$ en centimètres carrés.
	\end{enumerate} 
\item 	On admet que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par: 

\[F(x) = \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} - \dfrac{x^2}{2} + x\] 

est une primitive de la fonction $f$ définie dans la partie C.
 
Déterminer la valeur exacte puis l'arrondi au millième de l'aire $\mathcal{A}$ de $\Delta$ en centimètres carrés. 
\end{enumerate}
\end{document}