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% Tapuscrit Denis Vergès
% Merci à Ousmane Patel pour le sujet
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique,  optique}%
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI La Réunion juin 2011~\decofourright\\Génie électronique,  électrotechnique, optique}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question suivie de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Soit A et B deux points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. On sait que $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{3}$  et $\left|z_{\text{B}}\right| = 3$. On sait aussi qu'un 
argument $z_{\text{A}}$ est égal à  $\dfrac{\pi}{3}$ et qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est égal à  $\dfrac{\pi}{4}$. 

La forme exponentielle du produit $z_{\text{A}} \times z_{\text{B}}$ est : 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $3\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ &\textbf{b.}\quad $3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$ & \textbf{c.}\quad $3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{7}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.
 
L'image du point C(2~;~4) par la rotation $r$ est le point D de coordonnées :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $\left(\sqrt{2}~;~2\sqrt{2} \right)$ &\textbf{b.}\quad $\left(- \sqrt{2}~;~- 3\sqrt{2} \right)$ & \textbf{c.}\quad $\left(- \sqrt{2}~;~3\sqrt{2} \right)$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item La forme algébrique du nombre complexe \dfrac{1}{2 + \text{i}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}\text{i}$ &\textbf{b.}\quad $\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}\text{i}$& \textbf{c.}\quad $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\text{i}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit  le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. Le nombre complexe $z^{\np{2011}}$ 		est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $5\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ &\textbf{b.}\quad $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$& \textbf{c.}\quad $3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Soit l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. La somme des racines de cette équation est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\quad $- 2$ &\textbf{b.}\quad 3\text{i}$ & \textbf{c.}\quad $2$ \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un jeu en ligne propose aux internautes d'effectuer des missions de difficulté croissante qui, si elles sont réussies, permettent de valider successivement le niveau 1, puis le niveau 2, et enfin le niveau 3.
 
De plus, les joueurs peuvent bénéficier d'un bonus de rapidité d'un montant de 3~\euro{} lorsque le dernier niveau validé l'a été en moins de deux minutes.
 
Une enquête portant sur \np{1200}~joueurs a été réalisée.

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 60\,\% de ces joueurs ont validé le niveau 1 uniquement, et parmi eux, 20\,\% ont obtenu le bonus de rapidité.
\item[$\bullet~~$] 120 joueurs ont validé les trois niveaux, et parmi eux, 6 ont obtenu le bonus de rapidité. 
\item[$\bullet~~$] Au total 186 joueurs ont obtenu le bonus de rapidité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau dans l'\textbf{ANNEXE 1, à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Joueurs ayant validé: &le niveau 1 uniquement &les niveaux 1 et 2& les trois niveaux& Total \\ \hline
avec bonus &&&&\\ \hline%
sans bonus &&&&\\ \hline%
Total      &&&&\np{1200}\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item On choisit un joueur au hasard dans ce groupe. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il ait validé les niveaux 1 et 2 sans bonus ? 
		\item Quelle est la probabilité qu'il ait validé les 3 niveaux avec bonus ?
	\end{enumerate} 
\item Chaque joueur doit payer une mise de 5~\euro{} pour participer au jeu. Le règlement du jeu est alors défini comme suit :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation du niveau 1 ne rapporte rien, 
\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation des niveaux 1 et 2 rapporte 4~\euro. 
\item[$\bullet~~$] sans bonus, la validation des trois niveaux rapporte 7~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
À cela s'ajoute le bonus de rapidité d'un montant de 3~\euro{} qui ne peut être attribué qu'une seule fois, dans les conditions précisées en introduction.
 
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le gain du joueur en euros. On rappelle que le gain est la différence entre la somme rapportée et la mise. Il peut être positif ou négatif. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la liste des valeurs prises par la variable aléatoire $X$. 
		\item Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate} 
\item  Donner une interprétation de E(X). 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 

\[f(x) = \ln x + ax + b,\]

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels, et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle ]0~;~10].
 
On sait que le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~10] est le suivant : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,3)
\psframe(7.5,3)
\psline(0,2)(7.5,2)\psline(0,2.5)(7.5,2.5)\psline(2.5,0)(2.5,3)\psline(2.6,0)(2.6,2.5)
\uput[u](1.25,2.5){$x$}\uput[u](2.6,2.5){$0$}\uput[u](4.5,2.5){$2$}\uput[u](7.3,2.5){$10$}
\rput(1.25,2.25){Signe de $f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(4.5,2.25){$0$}\rput(6,2.25){$-$}
\rput(1.25,1){Variations de $f$}\uput[u](2.9,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2){$- 2 + \ln 2$}
\uput[u](6.8,0){$- 6 + \ln 10$}
\psline{->}(2.75,0.5)(4.3,1.5)\psline{->}(4.7,1.5)(6.75,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire du tableau de variations le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]0~;~10]. 
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~10]. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
À l'aide de données numériques du tableau de variations, calculer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0~;~10],

\[f(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}x - 1.\] 
 
On considère la fonction $g$ définie sur ]0~;~10] par 

\[g(x) = (\ln x)^2 - x - 2\ln x\]

dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est fournie dans l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $0$. 
		\item  Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~10], $g'(x) = \dfrac{2f(x)}{x}$.
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur ]0~;~10].
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$ sur l'intervalle [0,1~;~10]. 
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 

\[G(x) = x (\ln x)^2 - 4x\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur ]0~;~10]. 
\item Sur l'\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}, figure la courbe $\mathcal{C}$. Tracer la droite $T$ et hachurer le domaine $\Delta$ limité par la droite $T$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
\item On admet que la droite $T$ est toujours située au dessous de la courbe $\mathcal{C}$. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Joueurs ayant validé: &le niveau 1 uniquement &les niveaux 1 et 2& les trois niveaux& Total \\ \hline
avec bonus &&&&\\ \hline%
sans bonus &&&&\\ \hline%
Total      &&&&\np{1200}\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(10.5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-10)(10.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-10)(10,8)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.133}{10}{x ln x ln mul x sub x ln 2 mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](8,-8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}