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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Métropole }}
\rfoot{\small{15 septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{ \gray \decofourleft ~Corrigé du baccalauréat STI Métropole ~\decofourright\\
15 septembre 2011 Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ l'équation $(z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2} z + 4\right) = 0$.
Dans $\C, \quad (z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2} z + 4\right) = 0 \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
z - 2&=&0\\
z^2 + 2\sqrt{2} z + 4&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z &=&2\\
z^2 + 2\sqrt{2} z + 4&=&0
\end{array}\right.$

Résolution de l'équation du second degré : $\Delta = 8 - 4 \times 4 = - 8 = \left(2\text{i}\sqrt{2} \right)^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes :

$z_{2} = \dfrac{-2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{3} = \dfrac{-2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.

Les solutions de l'équation sont donc : 

$z_{1} = 2, \quad z_{2} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{3} = - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.
\item On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer A dans le repère \Ouv.
Voir la figure. 
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B, image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$.
Par définition complexe de la rotation on a :
		
$z_{\text{B}} - z_{\text{O}} = \text{e}^{\frac{3\pi}{4}}\left(z_{\text{A}} - z_{\text{O}} \right)$, soit avec  $\text{e}^{\frac{3\pi}{4}} = \cos \dfrac{3\pi}{4} + \text{i} \sin \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}+ \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,

$z_{\text{B}} = \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+ \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\times 2 = -\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.
		\item %Construire le point B en laissant les traits de construction apparents.
L'écriture exponentielle $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{\frac{3\pi}{4}}$ montre que OB = 2 (évident puisque la rotation conserve les distances) et qu'un de ses arguments est $\dfrac{3\pi}{4}$.

Il suffit donc de tracer le cercle de centre O, de rayon 2 et la bissectrice du second secteur angulaire : le point commun d'abscisse négative et d'ordonnée positive est le point B. 
	\end{enumerate} 		 
\item %Montrer que l'affixe $z_{\text{I}}$ du point I, milieu du segment [AB], est égale à 
%$\dfrac{2 -\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$, puis placer ce 
%point I.
On a $z_{\text{I}} = \dfrac{1}{2}\left(z_{\text{A}} + z_{\text{B}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(2 - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}\right) = \dfrac{2 -\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$.

Le point I est le point commun au segment [AB] et à sa médiatrice.
\item %Justifier que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ ?
Le triangle AOB est isocèle en O, puisque OA = 2 = OB. I étant le milieu de [AB], la demi-droite [OI) est médiane et donc bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ 
\item %Quelles sont les mesures en radians des trois angles du triangle AOI ? Justifier la réponse.
D'après la question précédente 
On a $\widehat{\text{AOI}} = \dfrac{1}{2}\widehat{\text{AOB}} = \dfrac{3\pi}{8}$  ; dans le triangle AOB, la médiane [OI) est aussi hauteur, donc le triangle AOI est rectangle en I ;  par complément à $\dfrac{\pi}{2}$, \: $ \widehat{\text{OAI}} = \dfrac{\pi}{8}$.
\item %Calculer la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
Dans le triangle AOI rectangle en I, par définition du cosinus :

AI = AO$\cos \dfrac{\pi}{8} \iff \cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OA}}$.

Or d'après la question 3. $\text{AB}^2 = \left(2 - \left(- \sqrt{2}\right)\right)^2 + \left(\sqrt{2} \right)^2 = 4 + 2 +  4\sqrt{2} + 2 = 8 +  4\sqrt{2} = 4\left(2 + \sqrt{2}\right)$. D'o\`u $\text{AB} = 2\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ et enfin AI $ = \dfrac{1}{2}\text{AB} =  \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Donc $\cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\text{AI}}{\text{OA}} =  \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psarc(0,0){2}{0}{-180}
\psarc(0,2){1.7}{-180}{-150}
\psarc(-2,0){1.7}{50}{80}
\psdots(2,0)(2;135)(0;0)(0.293,0.707)
\psline[linewidth=0.15pt](-1.414,1.414)(-1.78,1.78)
\uput[d](2,0){A}\uput[ul](2;135){B}\uput[ur](0.293,0.707){I}\uput[dl](0,0){O}
\rput{-112.5}(0.293,0.707){\psframe(0,0)(0.15,0.15)}
\pspolygon(2;0)(0;0)(2;135)\psline(0.293,0.707)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.}
%
%\medskip
% 
%\emph{On notera sur la copie le numéro et la lettre de la question, suivis de la réponse choisie.}
%
%\vspace{0,5cm}
% 
%Une entreprise reçoit un lot de 200 boîtes de guirlandes électriques de 16 types différents. Les boîtes peuvent contenir 1, 2, 3 ou 4 guirlandes. Les guirlandes peuvent être formées de 8, 10, 12 ou 16 ampoules. Le tableau suivant donne la répartition des boîtes suivant le nombre de guirlandes par boîte et le nombre d'ampoules par guirlande. Par exemple, d'après le tableau ci-dessous, il y a 18 boîtes contenant 3 guirlandes de 10 ampoules.
%
%\medskip
%%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\backslashbox{\footnotesize Nombre d'am- \\\footnotesize poules par guirlande}{\footnotesize Nombre de guirlandes\\\footnotesize  par boîte}&1&2&3 &
%4\\ \hline
%8 	&9 	&13 &16 &6\\ \hline
%10 	&12 &15 &18 &8\\ \hline
%12 	&13 &16 &15 &9\\ \hline 
%16 	&11 &11 &13 &15\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On tire au hasard une boîte dans le lot. On admet qu'en prenant pour univers l'ensemble des boîtes, on est dans une situation d'équiprobabilité.

	\begin{enumerate}
		\item %La probabilité d'avoir une boîte qui contient 3 guirlandes est :
Il y a $16 + 18 + 15 + 13 = 62$ boîtes contenant 3 guirlandes sur 200 boîtes.

La probabilité est donc égale à $\dfrac{62}{200} = \dfrac{31}{100} = 31\,\% = 0,31$.		 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%0,19& 	0,225& 	0,275& 0,31\\
%\end{tabularx} 

		\item %La probabilité d'avoir une boîte qui contient des guirlandes de 16 ampoules ou une boîte qui contient 2 guirlandes, est :
		Il y a $11 + 11 + 13 + 15 + 13 + 15 + 16 = 94$ boîtes contenant 16 ampoules ou 2 guirlandes
		
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%0,47& 	0,275& 	0,525& 	0,25\\
%\end{tabularx} 
La probabilité d'avoir une boîte qui contient des guirlandes de 16 ampoules ou une boîte qui contient 2 guirlandes, est donc égale à $\dfrac{94}{200} = \dfrac{47}{100} = 0,47$. 

		\item %La probabilité d'avoir une boîte qui contient 2 guirlandes ayant au moins 12 ampoules, est :
		
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%0,08& 	0,135& 	0,2& 	0,395\\
%\end{tabularx} 
Il y a  $16 + 11 = 27$ boîtes de 2 guirlandes contenant au moins 12 ampoules.

La probabilité d'avoir une boîte qui contient 2 guirlandes ayant au moins 12 ampoules, est donc égale à $\dfrac{27}{200} = \dfrac{13,5}{100} = 0,135$.
		\end{enumerate} 
		
\item %On note X la variable aléatoire qui, à chaque boîte tirée, associe le nombre d'ampoules par guirlande contenue dans la boîte. 

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement (X = 12) ?
		 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%0,275& 	0,31& 	0,265& 0,19 \\
%\end{tabularx} 
Il y a $13 + 16 + 1 5 + 9 = 53$ boîtes contenant 12 ampoules par guirlande.

La probabilité de l'évènement (X = 12) est donc égale à $\dfrac{53}{200} = 0,265$.
		\item %Quelle est l'espérance mathématique de la variable aléatoire X? 
%		
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%0,915& 	2,465& 	11,5&  11,59\\
%\end{tabularx} 
On a de même $p(\text{X} = 8 = \dfrac{9 + 13 + 16 + 6}{200} = \dfrac{44}{200}$ ;

$p(\text{X} = 10 = \dfrac{12 + 15 + 18 + 8}{200} = \dfrac{53}{200}$ ;

$p(\text{X} = 16 = \dfrac{11 + 11 + 13 + 15}{200} = \dfrac{50}{200}$ ;

donc E$(\text{X}) = 8 \times \dfrac{44}{200} + 10 \times \dfrac{53}{200} + 12 \times \dfrac{53}{200} + 16 \times \dfrac{50}{200} = \dfrac{352 + 530 + 636 + 800}{200} = \dfrac{2318}{200} = 11,59 \approx 12$.
 		\item %Quelle interprétation peut-on donner de l'espérance mathématique de la variable aléatoire X ?
		
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item le nombre moyen de guirlandes par boîte 
%\item le nombre moyen d'ampoules par guirlande dans une boîte 
%\item le gain moyen que l'on peut espérer sur la vente d'une boîte 
%\item le nombre moyen d'ampoules par boîte.

%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
C'est le nombre moyen d'ampoules par guirlande dans une boîte pour un grand nombre de boîtes tirées. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = (x + 3)\text{e}^{-x}\]
%
%et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses, et 1~cm sur l'axe des ordonnées, donnée en ANNEXE à rendre avec la copie.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (x + 3) = - \infty$, d'o\`u par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et donner une interprétation graphique de cette limite.
On a $f(x) = x\text{e}^{-x} + 3\text{e}^{-x}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ et que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$, donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Géométriquement, ce résultat montre que l'axe des abscisses est asymptote à $\Gamma$ au voisinage de plus l'infini.  
\item %Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$, calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$.
$f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$ ; elle est donc dérivable sur $\R$ et :

$f^{\prime}(x) = 1\text{e}^{-x} + (x + 3) \times (- 1) \text{e}^{-x} = (- x - 2)\text{e}^{-x}$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de $- x - 2$.

Donc $- x - 2 > 0 \iff - 2 > x \iff x < - 2$ entra\^{\i}ne que  $f^{\prime}(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur $]- \infty~;~- 2[$.

On montre de même que $f$ est décroissante sur $]- 2~;~+ \infty[$.
\item %Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Avec $f(- 2) =  \text{e}^{2}$ qui est un maximum, on en déduit le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.4,2){$- \infty$}\uput[u](4,2){$- 2$}\uput[u](6.4,2){$+ \infty$}
\uput[u](1.4,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\text{e}^{2}$}\uput[u](6.6,0){$0$}\rput(0.5,1){$f$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $- 1$ est $y = \text{e}(1 - x)$.
On a $f(- 1) = 2\text{e}^{1} = 2\text{e}$.

Le coefficient directeur de la tangente en ce point $\left(- 1~;~2\text{e}\right)$ est égal à 

$f^{\prime}(- 1) = - 1\text{e}^{1} = - \text{e}$.

L'équation de la tangente $T$ est : 

$y - f(1) = f^{\prime}(1)(x - 1)$ soit $y - 2\text{e} = - \text{e}(x + 1) \iff y = 2\text{e} - \text{e}x - \text{e}- \iff$

$ y = - \text{e}x + \text{e} \iff y = \text{e}(1 - x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la position de \boldmath $T$ \unboldmath par rapport à } \boldmath$\Gamma$\unboldmath

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[g(x) = (x + 3)\text{e}^{-x} - \text{e}(1 - x).\] 
%
%On admet que $g$ est strictement croissante sur $\R$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g(-1)$.
$g(-1) = 2\text{e}^{1} - \text{e}(1 + 1) = 0$. 
\item %En déduire le signe de $g(x)$, puis la position de $T$ par rapport à $\Gamma$.
Étant admis que la fonction $g$ est croissante sur $\R$, on en déduit donc que $g(x) < 0$ si $x < - 1$ c'est-à-dire que $(x + 3)\text{e}^{-x} <  \text{e}(1 - x)$ soit géométriquement que $\Gamma$ est au dessous de $T$.

De même on en déduit que $\Gamma$ est au dessus de $T$ si $x > - 1$.
\item %Tracer la droite $T$ sur l'annexe.
Voir l'annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
		
%$F(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
$F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si et seulement si $F^{\prime}(x) = f(x)$.

Or $F^{\prime}(x) = a\text{e}^{-x} - (ax + b)\text{e}^{-x} = (-ax  + a - b)\text{e}^{-x}$.

Donc $F^{\prime}(x) = f(x)$ si $(-ax  + a - b)\text{e}^{-x} = (x + 3)\text{e}^{-x}$ ou en simplifiant par $\text{e}^{-x} \neq 0$ quel que soit le réel $x$,

$-ax  + a - b = x + 3$ soit en identifiant ces deux fonctions affines : $a = - 1$ et $b = - 4$.
		\item %En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$.
Comme $F(x) = (- x - 4)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $f$ et qu'une primitive de $\text{e}(1 - x)$ est $\text{e}\left(x - \dfrac{x^2}{2}\right)$, on déduit qu'une primitive sur $\R$ de $g$  est la fonction $G$ définie par :

$G(x) = (- x - 4)\text{e}^{-x} - \text{e}\left(x - \dfrac{x^2}{2}\right) = (- x - 4)\text{e}^{-x} + \text{e}\dfrac{x^2}{2} - \text{e}x$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $D$ le domaine limité par la droite $T$, la courbe $\Gamma$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$, et l'axe des abscisses. Hachurer ce domaine sur le graphique.
Voir la figure.

		\item %Calculer, en unités d'aires, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $D$. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$, à $10^{-2}$ près, exprimée en cm$^2$.
On a vu que  pour $x > - 1$, $\Gamma$ est au dessus de $T$. Donc, l'aire
de la partie du domaine hachurée comprise entre les droites 
d'équation $x=0$ et $x= 1$ est donnée par :
$$\displaystyle\int_{0}^1 g(x)dx=G(1)-G(0)=-5e^{-1}+e\times
\frac12-e-(-4+0)=-\frac5e-\frac{e}{2}+4$$
De plus, $f(x)>0$ pour $x>1$ donc l'aire de la partie hachurée comprise
entre les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ est donnée par :
$$\displaystyle\int_{1}^2 f(x)dx=F(2)-F(1)=(-2e^{-2}-4e^{-2})-(-\times
e^{-1-4e^{-1}})=-6e^{-2}+\frac5e$$
Finalement, obtient :
$$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{0}^1 g(x)dx+\displaystyle\int_{1}^2
f(x)dx=-\frac5e-\frac{e}{2}+4-6e^{-2}+\frac5e=4-\frac{e}{2}-6e^{-2}$$
D'après les unités des axes, une unités d'aire a une aire de
$1\times2=2cm²$. Ainsi, l'aire hachurée mesurée en $cm^2$ est de :  

\[2(4-\frac{e}{2}-6e^{-2}) \cong 3.66\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE  à rendre avec la copie}  

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridlabels=0pt]
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](3.5,0.25){$\Gamma$}\uput[ur](2.5,-4){$T$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.267}{4}{x 3
add 2.71828 x exp div}
\psplot{-2}{3.5}{2.71828 1 x sub mul}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 3 add
2.71828 x exp div}
\psline(2,0)(1,0)(0,2.71828)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}