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% Merci à Marc Incamps pour le sujet
%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 juin 2011}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie 14 juin 2011 ~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4,5 points}

\medskip
 
%Dans un restaurant, chaque client peut composer son menu en choisissant une seule entrée, un seul plat et un seul dessert parmi ceux proposés dans la carte ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|}\hline 
%\emph{Entrées}\\ 
%Crudités (3 euros)\\ Salade du chef (7 euros)\\
%\floweroneleft \floweroneright  \\
%\emph{Plats}\\ 
%Plat du jour (8 euros)\\
%Rôti de b{\oe}uf (10 euros)\\
%Filet de daurade (10 euros)\\
%\floweroneleft \floweroneright   \\ 
%\emph{Desserts}\\
%Glace (2 euros)\\
%Tartelette aux pommes (6 euros)\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
% 
%Dans la suite du problème, on suppose qu'un client compose son menu au hasard et on admet que tous les choix possibles sont équiprobables.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Combien de menus (entrée + plat + dessert) différents peut composer le client ? On représentera ces différentes possibilités à l'aide d'un arbre.

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{3}}
	  { 
		  \pstree{\TR{8}}{
		  		\TR{2}~[tnpos=r]{Coût 13~\euro}
				\TR{6}~[tnpos=r]{Coût 17~\euro}
				}
		  \pstree{\TR{10}}{
		  		\TR{2}~[tnpos=r]{Coût 15~\euro}
				\TR{6}~[tnpos=r]{Coût 19~\euro}
				}			
		  \pstree{\TR{10}}{
		  		\TR{2}~[tnpos=r]{Coût 15~\euro}
				\TR{6}~[tnpos=r]{Coût 19~\euro}
				}										  	   
	  }	  
	\pstree{\TR{7}}
	  {
		  \pstree{\TR{8}}{
		  		\TR{2}~[tnpos=r]{Coût 17~\euro}
				\TR{6}~[tnpos=r]{Coût 21~\euro}
				}				
		  \pstree{\TR{10}}{
		  		\TR{2}~[tnpos=r]{Coût 19~\euro}
				\TR{6}~[tnpos=r]{Coût 23~\euro}
				}				
		  \pstree{\TR{10}}{
		  		\TR{2}~[tnpos=r]{Coût 19~\euro}
				\TR{6}~[tnpos=r]{Coût 23~\euro}
				}		
	  }
}
\end{center}
Il y a donc $2 \times 3 \times 2 = 12$ menus différents. 
\item %Quelle est la probabilité que le menu composé comporte les crudités en entrée et une glace en dessert ? 
L'entrée et le dessert étant fixés, on peut choisir entre trois plats. Il y a donc trois menus. La probabilité est $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0,25$
\item  %Quelle est la probabilité que ce client paye 19 euros ?
Il y a 4 menus qui coûtent 19 euros. La probabilité est donc $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$. 
\item  %On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque menu, associe son prix en euros. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les six valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		$X \in \{13~;~;~15~;17~;~ 19~;~21~;~23\}$.
		\item ~%Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$X$&13&15&17&19&21&23\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(X = x_{i})$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{2}{12}$&$\dfrac{2}{12}$&$\dfrac{4}{12}$&$\dfrac{1}{12}$&$\dfrac{2}{12}$\\ \hline
\end{tabularx}
		\item %Calculer l'espérance E($X$) de la variable aléatoire $X$ (arrondir à $10^{-2}$ près).
		On a E$(X) = 13 \times \dfrac{1}{12} + 15 \times \dfrac{2}{12} + 17 \times \dfrac{2}{12}+ 19 \times \dfrac{4}{12}+ 21 \times \dfrac{1}{12}+ 23 \times \dfrac{2}{12} =  \dfrac{13 + 30 + 34 + 76 + 21 + 46}{12} = \dfrac{220}{12} = \dfrac{55}{3} \approx 18,33$~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5,5 points}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv d'unité graphique 2~centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : 

%\[\left(z - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 2z\sqrt{3} + 4\right) = 0\]
$\left(z - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + 2z\sqrt{3} + 4\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}&=&0\\
z^2 + 2z\sqrt{3} + 4\right&=&0
\end{array}\right.$

La première équation a pour solution  $\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.

Pour l'équation du second degré : $\Delta = 12 - 16 = - 4 = (2\text{i})^2 < 0$. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\dfrac{-2\sqrt{3} + 2\text{i}}{2} = -\sqrt{3} + \text{i}$ et $-\sqrt{3} - \text{i}$.

$S = \{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}~;~-\sqrt{3} - \text{i}~;~-\sqrt{3} + \text{i}\}$.
\item  %On considère les points A et B d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{A}}$.
$z_{\text{A}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 2 \left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.
		\item %Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.
$z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i} = 2\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6}  \right) = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. 
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv.
Voir à la fin 
		\item %Montrer que B est l'image de A par une rotation de centre O dont on déterminera l'angle.
$\left|z_{\text{A}}\right| = \left|z_{\text{B}}\right| = 2$, donc OA = OB.

D'autre part $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right) = \text{arg}\left(z_{\text{B}} \right) - \text{arg}\left(z_{\text{A}} \right)  = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{10\pi  +3\pi}{12} = \dfrac{13\pi}{12}$.
	\end{enumerate} 
\item  %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point D sur la figure et prouver que OADB est un losange.
On a $z_{\vect{\text{BD}}} = z_{\text{D}} - z_{\text{B}} = \sqrt{2} - \sqrt{3} +  \text{i}\left(1 + \sqrt{2}\right)+ \sqrt{3} - \text{i} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2} = z_{\vect{\text{OA}}}$.

On a donc $\vect{\text{OA}} = \vect{\text{BD}} \iff $ OADB est un parallélogramme.

On a vu que OA = OB, donc OADB parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de m\^eme longueur est un losange.
		\item %Prouver que OADB n'est pas un carré.
On a $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}} \right) = \text{arg}\left(z_{\text{B}} \right) - \text{arg}\left(z_{\text{A}} \right) = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{10\pi - 3\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12} \neq \dfrac{\pi}{2}$. Donc OADB n'est pas un carré.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(2;45)(2;150)(0;0)(-0.318,2.414)
\pspolygon(0;0)(2;45)(-0.318,2.414)(2;150)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\uput[r](2;45){A}\uput[l](2;150){B}\uput[dl](0;0){O}\uput[ul](-0.318,2.414){D}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

%\emph{Les parties B et C sont indépendantes de la partie A}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère l'équation différentielle notée 
%
%\[\left(E_{1}\right)\:\: :\quad  y' - 2y = \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 4,\]
%
% où $y$ désigne une  fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\R$.
  
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle notée ($E$) : $y' - 2y = 0$.
$y' - 2y = 0 \iff y' = 2y$ : on sait que les solutions de cette équation sont les fonctions $f(x) = C\text{e}^{2x},~C$ étant un réel quelconque. 
\item %On pose, pour tout réel $x,\, f(x) = y(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$, où $y$ est solution de l'équation ($E$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer, pour tout réel $x,\, f'(x) - 2f(x)$. En déduire que la fonction $f$ est solution de l'équation $\left(E_{1}\right)$.
On a $f'(x) - 2f(x) = y'(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 2\left(y(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2 \right) =$

$ y'(x) - 2y(x) - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2 \times \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 4$.

Or $y$ étant solution de ($E$), on a $y'(x) - 2y(x) = 0$, donc :

$f'(x) - 2f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^x - 4$.

Cette égalité signifie que la fonction $f$ est une solution de $\left(E_{1} \right)$.
		\item %Parmi les fonctions $f$ précédentes, déterminer celle qui vérifie 
		
%$f\left[\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right] = 0$.
Les fonctions $f$ sont donc de la forme :

$f(x) = C\text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$ avec $C \in \R$.

Donc $f\left[\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right] = 0  \iff C\text{e}^{2\times \ln\left(\frac{1}{2}\right)} - \dfrac{9}{2}\text{e}^{x\ln\left(\frac{1}{2}\right)} + 2 = 0 \iff C\text{e}^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)^2} - \dfrac{9}{2}\text{e}^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)} + 2 = 0 \iff C\times \dfrac{1}{4} - \dfrac{9}{2}\times \dfrac{1}{2}  + 2 = 0 \iff \dfrac{C}{4} = \dfrac{9}{4} - 2 \iff C = 9 - 8 = 1$.

Conclusion $f(x) = \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) =  \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x  + 2\]
%
%Sur le graphique donné en annexe, on a tracé sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~centimètres.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
On a $\text{e}^{2x} = \left( \text{e}^{x}\right)^2$. Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{2x} = 0$ et par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 2$.
\item %En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote $\Delta$ dont on précisera une équation.
 
%Tracer la droite $\Delta$ sur le graphique donné en annexe.
Géométriquement le résultat précédent signifie que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moins l'infini.

Voir la figure à la fin.
\item %Justifier que, pour tout réel $x,\, f(x) = \left(\text{e}^x - 4\right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$. 
Quel que soit le réel $x$, ~$\left(\text{e}^x - 4\right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right) = \text{e}^x \times \text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^x - 4\text{e}^x + 4 \times \dfrac{1}{2}\text{e}^x = \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x + 4 = f(x)$.
\item %En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x}  = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} - 4 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} - \dfrac{1}{2} = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x,\, f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - \dfrac{9}{4}\right)$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur cet intervalle et 

$f'(x) = 2\text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x =  2\text{e}^x\left(\text{e}^x - \dfrac{9}{4}\right)$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau complet des variations de la fonction $f$ (on calculera en particulier la valeur exacte de l'extremum).
On sait que pour tout réel $x,~\text{e}^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de  $\text{e}^x - \dfrac{9}{4}$.

Or $\text{e}^x - \dfrac{9}{4} > 0 \iff \text{e}^x   > \dfrac{9}{4} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien {} $x > \ln \frac{9}{4}$.

Donc $f$ est croissante sur $\left[\ln \frac{9}{4}~;~+ \infty \right[$.

De m\^eme $f$ est décroissante sur $\left]- \infty~;~\ln \frac{9}{4}\right]$.

Conclusion $f\left(\ln \frac{9}{4} \right) = \text{e}^{2\ln \frac{9}{4}} - \dfrac{9}{2}\text{e}^{\ln \frac{9}{4}}  + 2 = \left(\frac{9}{4} \right)^2 - \frac{9}{2}\times \frac{9}{4} + 2 = \frac{81}{16}- \frac{81}{8} + 2 = - \frac{49}{16} = - \np{3,0625}$.
\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$, puis tracer cette tangente $T$ sur le graphique donné en annexe.
La droite $T$ a pour coefficient directeur le nombre dérivé $f'(0) = 2 - \dfrac{9}{2} = - \dfrac{5}{2}$. Une équation de $T$ est donc $y =  - \dfrac{5}{2}x + b$. Le point de cordonnées $\left(0~;~1 - \frac{9}{2 } + 2\right) = \left(0~;~- \frac{3}{2}\right)$ appartient à $T$ soit $- \frac{3}{2} = b$.

Une équation de $T$ est donc $y = - \dfrac{5}{2} - \dfrac{3}{2}$. 
\item %La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\Delta$ se coupent en un point A.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Par simple lecture graphique, déterminer une valeur approchée de l'abscisse $x_{\text{A}}$ de ce point.
L'abscisse approximative de A est 1,5. 
		\item %Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 2$. En déduire la valeur exacte de $x_{\text{A}}$.
$f(x) = 2 \iff \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x  + 2 = 2 \iff \text{e}^{2x} - \dfrac{9}{2}\text{e}^x = 0 \iff \text{e}^x\left(\text{e}^x - \dfrac{9}{2} \right) = 0 \iff \text{e}^x - \dfrac{9}{2}  = 0$ \quad (car $\text{e}^x  \neq 0$) \quad \text{e}^x = \dfrac{9}{2} \iff x = \ln \frac{9}{2}$. (La calculatrice donne $\ln \frac{9}{2} \approx \np{1,50408}$ ; l'approximation graphique est bonne) 
		\item %Par lecture graphique, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
Sur $\left]- \infty~;~\ln \frac{9}{2}\right[$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessous de $(\Delta)$ ;

Sur $\left]\ln \frac{9}{2}~;~+ \infty \right[$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $(\Delta)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe : à rendre avec la copie}}

\vspace{4cm}

\psset{unit=1.6cm} 
\begin{pspicture*}(-4.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-3.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](1.5,1.75){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1.6}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4.5 mul sub 2 add}
\psline[linewidth=1.5pt](-4,2)(2,2)\uput[u](-3.9,2){$(\Delta)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}