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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Métropole }}
\rfoot{\small{15 septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 15 septembre 2011~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ l'équation $(z - 2)\left(z^2 + 2\sqrt{2} z + 4\right) = 0$. 
\item On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer A dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B, image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$. 
		\item Construire le point B en laissant les traits de construction apparents.
	\end{enumerate} 		 
\item Montrer que l'affixe $z_{\text{I}}$ du point I, milieu du segment [AB], est égale à 

$\dfrac{2 -\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$, puis placer ce 
point I.

\item Justifier que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ ? 
\item Quelles sont les mesures en radians des trois angles du triangle AOI ? Justifier la réponse. 
\item Calculer la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.}

\medskip
 
\emph{On notera sur la copie le numéro et la lettre de la question, suivis de la réponse choisie.}

\vspace{0,5cm}
 
Une entreprise reçoit un lot de 200 boîtes de guirlandes électriques de 16 types différents. Les boîtes peuvent contenir 1, 2, 3 ou 4 guirlandes. Les guirlandes peuvent être formées de 8, 10, 12 ou 16 ampoules. Le tableau suivant donne la répartition des boîtes suivant le nombre de guirlandes par boîte et le nombre d'ampoules par guirlande. Par exemple, d'après le tableau ci-dessous, il y a 18 boîtes contenant 3 guirlandes de 10 ampoules.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\diagbox{\footnotesize Nombre d'am- \\\footnotesize poules par guirlande}{\footnotesize Nombre de guirlandes\\\footnotesize  par boîte}&1&2&3 &
4\\ \hline
8 	&9 	&13 &16 &6\\ \hline
10 	&12 &15 &18 &8\\ \hline
12 	&13 &16 &15 &9\\ \hline 
16 	&11 &11 &13 &15\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une boîte dans le lot. On admet qu'en prenant pour univers l'ensemble des boîtes, on est dans une situation d'équiprobabilité.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité d'avoir une boîte qui contient 3 guirlandes est :
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
0,19& 	0,225& 	0,275& 0,31\\
\end{tabularx} 

		\item La probabilité d'avoir une boîte qui contient des guirlandes de 16 ampoules ou une boîte qui contient 2 guirlandes, est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
0,47& 	0,275& 	0,525& 	0,25\\
\end{tabularx} 
 
		\item 
		La probabilité d'avoir une boîte qui contient 2 guirlandes ayant au moins 12 ampoules, est :
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
0,08& 	0,135& 	0,2& 	0,395\\
\end{tabularx} 
 
		\end{enumerate} 		
\item On note X la variable aléatoire qui, à chaque boîte tirée, associe le nombre d'ampoules par guirlande contenue dans la boîte. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'événement (X= 12)?
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
0,275& 	0,31& 	0,265& 0,19 \\
\end{tabularx} 

		\item Quelle est l'espérance mathématique de la variable aléatoire X? 
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
0,915& 	2,465& 	11,5&  11,59\\
\end{tabularx} 
 
		\item Quelle interprétation peut-on donner de l'espérance mathématique de la variable aléatoire X ?
		
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item le nombre moyen de guirlandes par boîte 
\item le nombre moyen d'ampoules par guirlande dans une boîte 
\item le gain moyen que l'on peut espérer sur la vente d'une boîte 
\item le nombre moyen d'ampoules par boîte.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 3)\text{e}^{-x}\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses, et 1~cm sur l'axe des ordonnées, donnée en ANNEXE à rendre avec la copie.

\bigskip

 \textbf{Partie A : Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et donner une interprétation graphique de cette limite. 
\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$, calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $- 1$ est $y = \text{e}(1 - x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la position de \boldmath$T$\unboldmath par rapport à } \boldmath$\Gamma$\unboldmath

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[g(x) = (x + 3)\text{e}^{-x} - \text{e}(1 - x).\] 

On admet que $g$ est strictement croissante sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(-1)$. 
\item En déduire le signe de $g(x)$, puis la position de $T$ par rapport à $\Gamma$. 
\item Tracer la droite $T$ sur l'annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 
		
$F(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item En déduire une primitive $G$ de la fonction $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $D$ le domaine limité par la droite $T$, la courbe $\Gamma$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$, et l'axe des abscisses. Hachurer ce domaine sur le graphique. 
		\item Calculer, en unités d'aires, la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $D$. Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$, à $10^{-2}$ près, exprimée en cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE  à rendre avec la copie}  

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-4,-7)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridlabels=0pt]
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[u](3.5,0.25){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.267}{4}{x 3 add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}