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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat STI Génie mécanique, civil, énergétique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft ~Baccalauréat STI -- Nouvelle--Calédonie novembre 2004~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil, énergétique }}
\end{center} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, 
unité graphique : $2$~cm.

On appelle $a,\: b,\: c$ les nombres complexes suivants 

\[ a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad  b = \sqrt{2} + 
\text{i}\sqrt{2} \quad \text{et} \quad  c = ab.\]

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Écrire $b$ et $c$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel positif et $\theta$ un nombre réel.
\item Donner la forme algébrique des nombres complexes $a$ et $c$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$.
\item On considère les points B d'affixe $b$ et C d'affixe $c$.

Placer les points B et C dans le repère \Ouv{} et montrer que le 
triangle OBC est équilatéral.
\item On appelle D le point d'affixe $d = b + c$. Placer le point D sur la 
figure et montrer que le quadrilatère OBDC est un losange.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 4 points}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\medskip

Une entreprise fabrique des appareils susceptibles de présenter deux 
types de pannes \og a \fg{} ou \og b \fg. On admettra que $5\:\%$ des appareils sont concernés par la panne \og a \fg, $3\,\%$ par la panne \og b \fg{} et $1\:\%$ par les deux pannes.

On prélève au hasard un appareil dans la production. On note A 
l'évènement : l'appareil présente la panne \og a \fg{} et B l'évènement : l'appareil  présente la panne \og b \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité pour cet appareil de présenter la panne  \og a \fg{} ou la panne \og b \fg{} est $0,07$.
\item Quelle est la probabilité pour cet appareil de présenter la panne \og a \fg{} et pas la panne \og b \fg{}?
\item Quelle est la probabilité pour cet appareil de ne présenter aucune des deux pannes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie}

\medskip

L'entreprise fabrique un grand nombre d'appareils par semaine. Chaque appareil a un coût de fabrication de $200$~\euro. La réparation d'une panne \og a \fg{} coûte  $60$~\euro{} à l'entreprise, la réparation d'une panne \og b \fg{} coûte $40$~\euro{} et la réparation des deux pannes coûte $100$~\euro.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque appareil, associe  son prix de revient total (coût de fabrication et coût de la réparation éventuelle).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs prises par la variable 
aléatoire $X$ ?
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
\item Que représente E($X$) pour l'entreprise ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\bigskip

\textbf{I. Première partie}

\medskip

Le but de cette partie est de trouver des solutions de l'équation différentielle (L) :

\[y' -  2y = - 2x -5\]

où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $h$ la fonction définie pour tout nombre réel 
$x$ par $h(x) = x + 3$. Montrer que $h$ est solution de l'équation (E).
\item Résoudre l'équation différentielle (E$_0) : \quad y'-2y = 0$. On 
notera $g$ la  solution générale de (E$_0$).
\item Recherche d'une solution particulière de l'équation (E).

On considère la fonction $\varphi$ définie pour tout réel $x$ par $\varphi(x) =  g(x) + h(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\varphi$ est solution de l'équation différentielle (E).
		\item Déterminer la solution particulière $\varphi_0$ de l'équation (E) qui vérifie  $\varphi'(0) = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{II. Deuxième partie : étude d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par 

\[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]

On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère  orthogonal \Oij, unités graphiques : $3$~cm  sur l'axe des abscisses et $1$~cm sur  l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étude en $-\infty$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$) en $- \infty$.
		\item Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par rapport à la  droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item étude en $+ \infty$.
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ non nul, 

\[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(\text{e}^{-x}\right) + 1 + 
\dfrac{3}{x}\right]x.\]

		\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Donner la valeur exacte de son maximum.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse 0.
\item Tracer dans le repère \Oij{} les droites $\Delta$ et (T) puis la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III. Troisième partie :  calcul d'une aire}

\medskip

Soit $a$ un nombre appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer en unité d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), la droite $\Delta$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x =  a$.
\item Déterminer $a$ pour que $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{document}