\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{textcomp}
% Tapuscrit Olivier Reboux
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-node,pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie mécanique, génie des mat\'eriaux}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole 21 juin 2011~\decofourright\\Génie mécanique, génie des matériaux}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv (unité
graphique : 2~cm).
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z - \text{i}z\sqrt{3} = 4$. On donnera
  la forme algébrique de la solution.
\item On considère les nombres complexes $z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$
  et $z_2 = z_1 \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$.  On note $A$ le point d'affixe $z_1$ et B le
  point d'affixe $z_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument des nombres complexes $z_1$ 
    et $z_2$.
		\item Sur papier millimétré, placer les points $A$ et $B$ dans le
    repère \Ouv.
		\item Montrer que le triangle $OAB$ est un triangle rectangle isocèle en $O$. 
	\end{enumerate}
\item Soit le nombre complexe $ z_3$ défini par $z_3 = z_1 + z_2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
		\item Placer le point $C$ d'affixe $z_3$ dans le repère \Ouv.  
		\item \emph{Dans la question qui suit, toute trace de recherche, même
    incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en
    compte dans l'évaluation.}

Quelle est la nature du quadrilatère $OACB$ ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des vis de longueur théorique 40~mm et de
diamètre théorique 4~mm. Pour vérifier la qualité de la production, on
prélève un échantillon de \np{1000} vis dans la production de la machine
fabriquant ces vis. La composition de cet échantillon est donnée
par le tableau \ref{tab_STIGM_11E}.

  \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}c|}
    \hline
    \multicolumn{1}{|c|}{\backslashbox{$D$}{$L$}}
    & 39,5 & 39,6 & 39,7 & 39,8 & 39,9 &  40 & 40,1 & 40,2 & 40,3 &
    40,4 &  40,5 & \text{Total} \\
    \hline
    3,9 & 0 & 3 & 7 & 19 & 23 & 56 & 30 & 10 & 3 & 1 & 0 & 152 \\
    \hline
    4 & 2 & 5 & 10 & 50 & 97 & 275 & 135 & 95 & 16 & 3 &  2 & 690 \\
    \hline
    4,1&  1 & 2 & 7 & 10 & 30 & 43 & 40 & 20 & 5 & 0 & 0 & 158 \\
    \hline
    \text{Total} & 3 & 10 & 24 & 79 & 150 & 374 & 205 & 125 & 24 & 4 &
    2 & \np{1000} \\
    \hline
\end{tabularx}
\caption{$D$ : Diamètre en mm et $L$ : Longueur en  mm}
\label{tab_STIGM_11E}

\medskip


On admet que cet échantillon permet de modéliser la production de la
machine.  

On choisit une vis au hasard.  

On suppose que le choix d'une vis se fait dans une situation
d'équiprobabilité.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $P_1$ de choisir une vis de diamètre 
    4 mm et de longueur 40,3~mm ?
		\item Quelle est la probabilité $P_2$ de choisir une vis de diamètre
    4,1~mm ?
		\item Quelle est la probabilité $P_3$ de choisir une vis dont la longueur est comprise entre 39,8 mm et 40,2 mm et dont le diamètre est de 4 mm ?
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute vis choisie,
  associe sa longueur en mm.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$.  

    Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Les indications écrites dans la notice de la machine, partie
  fiabilité, précisent que, pour une fabrication de vis de longueur
 40 mm, 80\,\% des vis devraient avoir une
  longueur comprise entre 39,9 mm et 40,1 mm.  Dans le cas contraire, un réglage de la
  machine par le service maintenance s'imposerait.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(39,9 \leqslant X \leqslant 40,1)$.
		\item Expliquer la décision, prise par le service maintenance,
    d'effectuer un réglage de la machine.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^x + 3.
\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
$\ortho$ orthogonal. 

Unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.  

\bigskip

\textbf{Partie A Étude des variations de la fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
		\item Que peut-on en déduire concernant la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$, on a : $f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 4\right) + 3$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x)$ peut s'écrire : $f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right)$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Recherche de points de la courbe, d'une tangente et tracé de
  la courbe}
  
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $\ln(4)$. Déterminer son ordonnée.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $X^2 - 4X + 3 = 0$.
		\item En déduire les solutions de l'équation $f(x) = 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^x$). Préciser les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au
  point $O$ d'abscisse $0$.
\item Dans le repère $\ortho$, construire les éventuelles asymptotes,
  les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe
  des abscisses, la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}_f$.
  \end{enumerate}
  
\bigskip
  
\textbf{Partie C Calcul d'aire}

\medskip

On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par : 
 \[
F(x) = \frac{1}{2}\text{e}^{2x} - 4 \text{e}^x + 3x.
 \]  
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
 \item Calculer une valeur approchée de l'aire, exprimée en
   cm$^2$, de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = -1$ et l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
% \begin{Corrige}
%   \Partie{Étude des variations de la fonction}
%   \begin{enumerate}
%   \item
%     \begin{enumerate}
%     \item Comme $\lim_{x \to -\infty} \e^{x} = 0$, on en déduit que
%       $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$.
%     \item On en déduit que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une
%       asymptote horizontale d'équation $y = 3$.
%     \end{enumerate}
%   \item
%     \begin{enumerate}
%     \item $\e^x(\e^x-4) +3 = \e^{2x}-4\e^{x}+3 = f(x)$.
%     \item $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$, donc $\lim_{x \to
%         +\infty} \e^x -4 = +\infty$. On en déduit que $\lim_{x \to
%         +\infty} f(x) = +\infty$.
%     \end{enumerate}
%   \item \begin{enumerate}
%     \item $f'(x) = 2\e^{2x} -4\e^x = 2\e^{x}(\e^x-2)$.
%     \item $2\e^{x}$ est toujours positif. $\e^x -2$ est positif, pour
%       $x > \ln(2)$. On en déduit le tableau de variation
%       \ref{tab_STIGM_11F_C}.
%       \begin{table}[!h]
%         \centering
%         \begin{variations}
%           x & -\infty & & \ln(2) & & + \infty \\
%           \filet
%           f'(x) & & - & 0 & + &  \\
%           \filet
%           \m{f} & \h{3} & \d & -1 & \c & \h{+\infty} \\
%         \end{variations}
%         \caption{ }
%         \label{tab_STIGM_11F_C}
%       \end{table}
%     \end{enumerate}
%   \end{enumerate}
%
%\Partie{Recherche de points de la courbe, d'une tangente et tracé de
%  la courbe}
%\begin{enumerate}
%\item $ f(\ln(4)) = 16 - 16 + 3 = 3$.
%\item
%  \begin{enumerate}
%  \item $\Delta = 16 -12 = 4 > 0$. Donc deux solutions réelles :
%    \[
%    X_ 1 =\frac{4-2}{2} = 1 \text{ et } X_2 = \frac{4+2}{2} =3.
%    \]
%  \item $x = \ln(X)$, donc $x_1 = 0$ et $x_2 = \ln(3)$.
%
%    Le coordonnées des deux points d'intersection de la courbe avec
%    l'axe des abscisses sont : $(0\,;\,0)$ et $(\ln(3) \,;\,0)$.
%  \end{enumerate}
%\item Une équation de la tangente au point d'abscisse $0$ et :
%  $y = f'(0)(x - 0) + 0 = -2x$.
%\item Voir la figure \ref{fig_STIGM_11F_C}.
%\begin{figure}[!h]
% \centering
% \begin{pspicture}(-8,-3)(4,8)
%   \psset%
%   {%
%     xunit=2,%
%     yunit=1,%
%     PointSymbol=none,%
%     PointName=none,%
%     algebraic,%
%   }% 
%   \psclip%
%   {\psframe[linestyle=none](-4,-2)(2,8)}%
%   {%
%     \pscustom
%     %Aire sous une courbe
%     [%
%     fillstyle=solid,%
%     fillcolor=SandyBrown,%
%     ]%
%     {%
%     \psplot[plotpoints=250]{-1}{0}{EXP(2*x)-4*EXP(x)+3}%
%     \psline(0,0)(-1,0)
%     }%
%     \psplot[plotpoints=250]{-4}{2}{EXP(2*x)-4*EXP(x)+3}%
%     \psplot[plotpoints=2]{-4}{2}{3}
%     \psplot[plotpoints=2]{-4}{2}{-2*x}
%     \psplot[plotpoints=2,arrows=<->]{0}{1}{-1}
%   }%
%   \endpsclip% 
%   \psaxes%
%   [%
%   Dx=1,%
%   Dy=1,%
%   ysubticks=2,%
%   xsubticks=4,%
%   labelsep=-0.5cm,%
%   xlabelPos=axis,%
%   ylabelPos=axis,%
%   subticksize=1,%
%   xticksize=-2 8,%
%   yticksize=-4 2,%
%   tickcolor=lightgray,%
%   ]%
%   {->}(0,0)(-4,-2)(2.3,8.3)[$x$,-90][$y$,180]
% 
% \end{pspicture}
%\caption{}\label{fig_STIGM_11F_C}
%\end{figure} 
%\end{enumerate}
%\Partie{Calcul d'aire}
%\begin{enumerate}
%\item $F'(x) = \e^{2x} -4\e^{x} + 3 = f(x)$. Donc $F$ est une
%  primitive de $f$.
%\item $\mathfrak{A} = \int_{-1}^{0} f(t) \dd t = F(0) - F(-1) =
%  -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\e^{-2} +4\e^{-1} + 3 = 2,5 +
%  4\e^{-1}-\frac{1}{2}\e^{-2} \text{ u. a.} = 5 +8 \e^{-1} - \e^{-2}
%  \si{\square\centi\m} \approx 1,81$ 
%\end{enumerate}
% \end{Corrige}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "bac_11"
%%% End: 
\end{document}