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%Tapuscrit : Denis Vergès
\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI  Génie mécanique, des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Métropole septembre 2011~\decofourright\\Génie mécanique, des matériaux}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%\medskip
%
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique 2~cm.
% 
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

%\[P(z) = z^3 + 2z^2 - 16.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(2)$.
$P(2) =  2^3 + 2\times 2^2 - 16 = 8 + 8 - 16 = 0$. 2 est donc une racine de $P$.
		\item %Déterminer trois nombres réels $a,\: b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,

%\[ P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right).\]
$(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = az^3 + bz^2 + cz - 2az^2- 2bz - 2c = az^3 + (b - 2a)z^2 (c - 2b)z - 2c = 0$. Ce polynôme est égal à $P(z)$ si :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b - 2a &=& 2\\
c - 2b&=&0\\
- 2c&=&- 16
\end{array}\right.$ ou  $\left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b - 2 &=& 2\\
c - 2b&=&0\\
c&=&8
\end{array}\right.$ et enfin $\left\{\begin{array}{l c l}
a	&=&1\\
b	&=&4\\
c 	&=&8\\
c	&=&8
\end{array}\right.$

Conclusion : $P(z) = (z - 2)\left(z^2 + 4z + 8\right)$.
		\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $P(z) = 0$.
D'après le résultat précédent :

$P(z) = 0$ revient à $\left\{\begin{array}{l c l}
z - 2&=&0\quad \text{ou}\\
z^2 + 4z + 8&=&0
\end{array}\right.$

La première équation a pour solution $2$ (trouvée à la question 1.)

L'équation du second degré : $z^2 + 4z + 8 = 0$.

$\Delta = 4^2 - 4 \times 8 = 16 - 32 = - 16 = (4\text{i})^2 < 0$ : l'équation a donc deux solutions complexes :

$z_{2} = \dfrac{- 4 + 4\text{i}}{2} = - 2 + 2\text{i}$ et $z_{3} = - 2 - 2\text{i}$.

Les solutions de l'équation $P(z) = 0$ sont donc :

\[z_{1} = 2, \quad z_{2} = -2 + 2\text{i}, \quad z_{3} = - 2 - 2\text{i}.\]
	\end{enumerate} 
\item %On considère les points A, B et C d'affixes respectives: 

%\[z_{\text{A}} = 2 \quad ; \quad  z_{\text{B}} = -2 + 2\text{i}\quad ; \quad  z_{\text{C}} = - 2 - 2\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
Voir la figure à la fin de l'exercice. 
		\item %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
$\left|z_{\text{B}}  \right|^2 = (- 2)^2 + 2^2 = 4 \times 2$, donc $\left|z_{\text{B}}  \right| = 2\sqrt{2}$ ; on peut donc écrire en factorisant ce module :

$z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Or $\cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \frac{3\pi}{4} =  \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Donc un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{3\pi}{4}$.

$\left|z_{\text{C}}  \right|^2 = (- 2)^2 + (- 2)^2 = 4 \times 2$, donc $\left|z_{\text{C}}  \right| = 2\sqrt{2}$.

Donc $z_{\text{C}} = 2\sqrt{2}\left[- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]$.

Or $\cos \frac{-3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \frac{-3\pi}{4} =  - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Donc un argument de $z_{\text{C}}$ est $-\dfrac{3\pi}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = - \dfrac{1}{2}$.
 
%Montrer que les points A, B, C appartiennent à un même cercle de centre I dont on déterminera le rayon. 
On a IA$^2 = \left(2 +  \dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}$.

IB$^2 = \left(-2  +  \dfrac{1}{2}\right)^2 + 2^2 = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}$.

IC$^2 = \left(-2  +  \dfrac{1}{2}\right)^2 + (- 2)^2 = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}$.

On a donc IA = IB = IC $= \dfrac{5}{2}$ : les trois points A, B et C appartiennent au cercle de centre I de rayon $\dfrac{5}{2}$.
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(2,0)(-2,2)(-2,-2)(-0.5,0)
\uput[ur](2,0){A}\uput[ul](-2,2){B}\uput[dl](-2,-2){C}\uput[d](-0.5,0){I}\uput[ur](0,0){O}
\pscircle(-0.5,0){2.5}
\psline(-2,2)(0,0)(-2,-2)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%L'entreprise Anatoly fabrique des pièces (\np{1500}~unités par jour).
%
%Certaines pièces ont un ou deux défauts de fabrication. 
% 
%Sur un lot de 100 pièces choisies au hasard, on constate: 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item qu'une pièce sur 20 n'a pas la dimension voulue ; 
%\item que 10 pièces manquent de résistance ; 
%\item qu'au total, 88 pièces n'ont pas de défaut.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On considère que cet échantillon permet de modéliser l'ensemble de la fabrication des pièces. 
%
%On choisit une pièce au hasard.
% 
%On suppose que le choix d'une pièce se fait dans une situation d'équiprobabilité.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant: 

Une pièce sur 20, soit 5 sur 100 n'ont  pas la dimension voulue ; 95 ont une dimension correcte.

$100 - 5 = 95$ ont la dimension correcte.

Comme 88 pièces n'ont pas de défaut, il y a $95 - 88 = 7$ pièces qui ont un problème de résistance et une dimension correcte ; il y a $90 - 88 = 2$ pièces qui ont une résistance correcte et un problème de dimension.
 
\medskip
{\footnotesize\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Problème de dimension &Dimension correcte &Total \\\hline
Problème de résistance	&3	&7	&10\\ \hline 
Résistance correcte		&2	&88	&90\\ \hline  
Total 					&5	&95	& 100 \\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\item %Quelle est la probabilité de choisir une pièce ayant deux défauts ?
Il y a 3 pièces sur 100 qui ont les deux défauts ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{3}{100} = 0,03$. 
\item %La vente des pièces sans défaut rapporte un bénéfice de 5~euros à l'entreprise Anatoly. Les pièces de mauvaise dimension sont rectifiées pour un coût de 2~euros, puis vendues au prix habituel. Celles qui manquent de résistance sont jetées.
 
%Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie, associe le bénéfice réalisé. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité qu'une pièce rapporte 5~euros ?
Il y a 88 pièces sans défaut qui rapportent chacune  5~euros. La probabilité est donc égale à $\dfrac{88}{100} = 0,88$.
		\item ~%Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de $X$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = $&0&3&5\\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&0,1& 0,02&0,88\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item %Calculer l'espérance de $X$. Que représente ce nombre pour l'entreprise ?
On a E$(X) = 0\times 0,1 + 3 \times 0,02 + 5 \times 0,88 = 0,06 + 4,4 = 4,46$.

Ce nombre représente le bénéfice moyen espéré par pièce.
	\end{enumerate}  
%Un investisseur souhaite acheter soit l' entreprise Anatoly soit l'entreprise Basilia.
 
%Cette entreprise Basilia fabrique \np{1800}~pièces par jour et réalise un bénéfice moyen de 4~euros sur chaque pièce produite.
 
%En expliquant les raisons du choix, indiquer celle des deux entreprises qui rapportera le plus à l'investisseur.
L'entreprise Anatoly rapportera en moyenne par jour : $\np{1500} \times 4,46 = \np{6690}$~\euro ;

L'entreprise Basilia rapportera en moyenne par jour : $\np{1800} \times 4 = \np{7200}$~\euro.

Le bénéfice de l'entreprise Basilia sera supérieur à celui de l'entreprise Anatoly.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par: 
%
%\[f(x) = \text{e}^{- x} + \dfrac{1}{x}.\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A. Étude des limites et des variations de la fonction}\: \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item %Étudier les limites de $f$ en $+ \infty$ et en $0$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, donc par somme de limites  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini ;

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\text{e}^{- x} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées d'équation $x = 0$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
%Donner une équation de chacune des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$. 
\item %$f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$. Calculer $f^{\prime}(x)$.
$f$ somme de deux fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et :

$f^{\prime}(x) = - \text{e}^{- x} - \dfrac{1}{x^2}$. 
\item %Étudier le signe de la dérivée. 
$f^{\prime}(x) = - \left[\text{e}^{- x} + \dfrac{1}{x^2}\right]$ ; or $\text{e}^{- x} > $ quel que soit le réel $x$ et $\dfrac{1}{x^2} > 0$ quel que soit le réel de $]0~;~ +\infty[$ ; le crochet est positif et finalement $f^{\prime}(x) < 0$ sur $]0~;~+\infty[$.

La fonction $f$ est donc décroissante sur $]0~;~+\infty[$.
\item %Dresser le tableau de variation de f.
Des questions précédentes, on déduit le tableau de variation suivant :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.15,2){$0$}\uput[u](5.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](5.8,0){0}
\psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B. Étude de propriétés de la courbe } \boldmath$\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f(x) - \dfrac{1}{x}$ quand $x$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $d(x) =  f(x) - \dfrac{1}{x} = \text{e}^{- x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} = \text{e}^{- x}$.

On sait que $\text{e}^{- x} > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $d(x) > 0$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item %Soit $\mathcal{H}$ la courbe représentant la fonction inverse dans le repère \Oij.

%Déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la courbe $\mathcal{H}$.
Le résultat précédent signifie géométriquement que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{H}$.
	\end{enumerate}  
\item %Déterminer la valeur arrondie au centième du coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
Le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est égal à $f^{\prime}(1) = - \left[\text{e}^{- 1} + \dfrac{1}{1^2}\right] = - \left(\dfrac{1}{\text{e}} + 1\right) \approx 1,367 \approx 1,37$ au centième près. 
\item %En annexe, on a représenté la courbe $\mathcal{H}$. 
%Représenter la tangente $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ sur ce même graphique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C. Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Déterminer $F(x)$.
Une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction $\text{e}^{- x}$ est la fonction $- \text{e}^{- x}$ ;

Une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction $\dfrac{1}{x}$ est la fonction $\ln |x| = \ln x$ puisque $x > 0$ ;

Une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction $f$ est la fonction $F(x) = - \text{e}^{- x} + \ln x$.  
\item %Montrer que : $\displaystyle\int_{1}^2	f(x)\:\text{d}x = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}^2} + \ln (2)$.
$\displaystyle\int_{1}^2	f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_{1}^2 = F(2) - F(1) = - \text{e}^{- 2} + \ln 2 - \left(- \text{e}^{- 1} + \ln 1 \right) = \text{e}^{- 1} -  \text{e}^{- 2} + \ln 2 = \dfrac{\text{e}^1}{\text{e}^2} - \dfrac{1}{\text{e}^2} + \ln 2 = \dfrac{\text{e} - 1}{\text{e}^2} + \ln (2)$.
\item %On désigne par $\mathcal{E}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\mathcal{H}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.

	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer $\mathcal{E}$ sur le graphique. 
Voir la figure à la fin.
		\item %Calculer la valeur exacte de l'aire de cette partie $\mathcal{E}$, exprimée en unités d'aire.
On a vu que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{H}$, donc l'aire de  la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\mathcal{H}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$ est égale à l'intégrale :

$\mathcal{E} = \displaystyle\int_{1}^2 \text{e}^{- x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{- x}  \right]_{1}^2 = \text{e}^{- 1} - \text{e}^{- 2}$. 
		\item %Donner, en unités d'aire, une valeur approchée au centième près de cette aire.
On a  $\mathcal{E} =  \text{e}^{- 1} - \text{e}^{- 2} \approx \np{0,2325} \approx 0,23$~(unité d'aire).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie (problème)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(4,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(4,4.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0.25}{4}{1 x div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{4}{2.71828 x neg exp 1 x div add}
\uput[d](3.5,0.3){$\mathcal{H}$}\uput[u](4.2,0){$x$}\uput[l](0,4.2){$y$}\uput[u](3.5,0.35){$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.25}{4}{2.73576 1.36788 x mul sub}\uput[r](2.2,-0.2){T}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linecolor=white,linewidth=0.0pt]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2.71828 x neg exp 1 x div add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{2}{1}{1 x div}
}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2.71828 x neg exp 1 x div add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{1}{2}{1 x div}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}