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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small BaccalaurŽéat STL Biochimie--GŽénie biologique}\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~BaccalaurŽéat STL Métropole juin 2004~\decofourright\\
Biochimie - GŽénie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice autorisŽée 

\vspace{0,25cm}

DurŽée de l'Žépreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Des rŽésultats expéŽrimentaux}

\medskip

On peut estimer l'‰âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :

$\bullet~$  d'une part, en Žétudiant les anneaux de croissance ;

$\bullet~$ d'autre part, en mesurant la radioactivitéŽ rŽésiduelle du carbone 14.

On a ainsi analyséŽ d'anciens morceaux de sŽéquoias et de pins par les deux
 méŽthodes.

Voici le tableau des rŽésultats obtenus : 

$t$, est l'‰âge, en milliers d'annŽées, donnŽé par la mŽéthode des anneaux de 
croissance ;

 $A_i$ est la radioactivitŽé rŽésiduelle expriméŽe en unitŽé de radioactivitŽé.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$&0,5&1&2&3&4&5&6,3&7,8\\ \hline
$A_i$&14,5&13,5&12&10,8&9,9&8,9&8&6,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Recopier et complèŽter le tableau suivant où $\ln A_i$, est le logarithme  néŽpŽérien de $A_i$. On arrondira les valeurs trouvŽées au centime le plus proche.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$				&0,5	&1	&2	&3	&4	&5	&6,3&7,8\\ \hline
$y_{i} = \ln A_{i}$	&2,67	&	&	&	&	&	&	&1,92\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer le nuage de points $M_i\left(t_{i}~;~y_i\right)$

On prendra	en abscisses : 1 cm pour 500~ans ; en ordonnéŽes : 5 cm pour une unitéŽ.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item DéŽterminer une Žéquation de la droite $D$ passant par le 
premier et le dernier point de ce nuage.
		\item Calculer les coordonnŽées du point moyen $G$ de ce nuage.
		\item Le point $G$ appartient-il ˆ $D$ ?
		\item Placer $G$ et $D$ sur le dessin précédent.
	\end{enumerate}
\item On trouve un autre tronc d'arbre que l'on estime (d'après la mŽéthode des anneaux de croissance) vieux de 5\,700 ans.

Donner alors la radioactivitŽé rŽésiduelle qu'on lui trouverait en utilisant
 la droite $D$ prŽécéŽdente :
 	\begin{enumerate} 
		\item graphiquement, en faisant apparaî”tre sur le dessin les traits permettant la  lecture du rŽésultat ;
		\item par le calcul, en prenant pour Žéquation de $D : y = -0,1 t + 2,72$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\textbf{Des rŽésultats théŽoriques}

\vspace{0,4cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Les êtres vivants contiennent du carbone 14 radioactif (constamment 
renouvelŽé) qui se maintient à la valeur de 15,3 unitŽés.

À leur mort, ce carbone 14 n'est plus renouvelŽé ; il est dŽésintégré à une vitesse  proportionnelle, à ˆ tout instant, au carbone 14 encore prŽésent dans l'organisme. On montre que le coefficient de proportionnalitŽé est voisin de 0,123.
 
Ainsi, la radioactivitŽé du carbone 14 prŽésent dans un organisme
à ˆ l'instant $t$ après sa mort ($t$ exprimŽé en milliers d'annŽées), 
 notéŽe $f(t)$, véŽrifie les deux conditions :

\[f'(t)=- 0,123f(t)\qquad 	\text{et} \qquad	f(0) = 15,3.\]

RéŽsoudre l'Žéquation difféŽrentielle $y'= - 0,123 y$    et $y(0) = 15,3$.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On Žétudie sur $[0~;~+ \infty[$ la fonction $f$ dŽéfinie par 

\[f(t) = 15,3 \text{e}^{-0,123t}.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
		\item En dŽéduire l'existence d'une asymptote (que l'on prŽécisera) à ˆ $\mathcal{C}$ courbe repréŽsentative de $f$ dans un repère orthogonal.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout nombre $t$ positif, calculer $f'(t)$, où $f'$ dŽésigne la dŽérivŽée de  $f$.
		\item ƒÉtudier le signe de $f'(t)$ et en dŽéduire les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\item Construire $\mathcal{C}$ en prenant :

$\bullet~$ 2 cm pour 5 milliers d'annŽées en abscisses,

$\bullet~$ 1 cm pour 1 unitŽé en ordonnŽées. 

(On placera les points d'abscisses: 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 et 30).
\item Placer sur le dessin préŽcŽédent la tangente T ˆ $\mathcal{C}$ au point
d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère que la fonction $f$ donnŽée dans la partie B donne la radioactivitŽé du carbone 14 dans un organisme après sa mort, en fonction de $t$ (en milliers d'annŽées).

\begin{enumerate} 
\item On trouve dans une grotte des dŽébris d'os prŽésentant une radioactivitŽé Žégale à 10,2 unitŽés. Estimer l'‰âge de ces dŽébris à l'aide d'une lecture graphique.

\item Lorsque la radioactivitŽé devient inféŽrieure à $1\,\%$ de sa valeur initiale, le calcul de $f(t)$ est entachŽé de trop d'incertitude pour permettre de dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. Trouver àˆ partir de quel âge, un organisme ne peut plus être datŽé au carbone 14.
\end{enumerate}
\end{document}