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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie ~\decofourright\\juin 2004 Biochimie - Génie biologique }} 
    
\vspace{0,25cm}

%Calculatrice autorisée 
%
%\vspace{0,5cm}
%
%Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2
%
%La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
%
%Les deux exercices peuvent être traités indépendamment l'un de l'autre.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%Une personne possède une cave de \np{2400} bouteilles de vin, rouge et blanc, de trois régions, Bordeaux, Bourgogne et Loire.
%
%La moitié de ses vins sont des Bordeaux, et il y a deux fois plus de bouteilles venant de Bourgogne que de bouteilles venant de Loire.
%
%$75\,\%$ des vins sont rouges et, parmi eux. $54\,\%$ viennent du Bordelais.
%
%Dans les vins de Loire, il y a autant de blancs que de rouges.

\begin{enumerate} 
\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}& Bordeaux & Bourgogne & Loire  & Total\\ \hline
Blanc &228 &172 &200 &600 \\ \hline
Rouge &972 &628 &200 &\np{1800} \\ \hline
Total &\np{1200} &800 &400 &\np{2400} \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item %On prend, au hasard, une bouteille dans cette cave.

%Calculer la probabilité des évènements suivants :

%A : \og le vin est blanc \fg{} ;
$p(\text{A}) = \dfrac{600}{\np{2400}} = \dfrac{1}{4} = 0,25$
%B : \og le vin vient de Bordeaux \fg,
$p(\text{B}) = \dfrac{1}{2} = 0,5$ (dans l'énoncé)
%puis la probabilité des évènements A$~\cap~$B et A$~\cup~$B.
$p(\text{A} \cap\text{B}) = \dfrac{228}{\np{2400}} = \dfrac{19}{200} = 0,095$.

$p(\text{A} \cup\text{B}) = \dfrac{\np{1200} + 172 + 200}{\np{2400}} = \dfrac{1572}{2400} = \dfrac{131}{200} = 0,655$.
\item %On choisit une bouteille de vin blanc.

%Calculer la probabilité que ce soit un Bordeaux.
$p = \dfrac{228}{600} = \dfrac{38}{100} = 0,38$.
\item %On choisit une bouteille de Bourgogne.

%Calculer la probabilité que ce soit un vin blanc.
$p' = \dfrac{172}{800} = \dfrac{43}{200} = 0,215$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  12 points}

\medskip

%On injecte dans le sang 100~mg d'un médicament A.
%
%Pendant l'élimination naturelle, la dose restant dans le sang à l'instant $t$ est donnée en mg par la fonction $f$ définie par :
%
%\[f(t) = 100\text{e}^{-0,4t}\]
%
%où $t$ est exprimé en heure.

%\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

%Étude de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$

\begin{enumerate} 
\item %Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}-0,4t = - \infty$, on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 0$.
\item %Calculer $f'(t)$ et justifier son signe.
$f$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle $f'(t) = -0,4 \times  100\text{e}^{-0,4t} = - 40\text{e}^{-0,4t}$.

Comme $\text{e}^{-0,4t} > 0$ quel  que soit le réel $t$, $f'(t) < 0$, donc la fonction est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item %Dresser le tableau de variations de $f$.
La fonction est décroissante de $f(0) = 100$ à $0$.
\item %On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal (unités : 1~cm pour 1~h en abscisse et 1~cm pour 10~mg en ordonnée). Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point A d'abscisse 0.
Une équation de T est : $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

$f(0) = 100$ et $f'(0) = - 40$, donc une équation de T est $y = - 40x + 100$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%On injecte une deuxième dose de 100~mg huit heures après la première.

\begin{enumerate} 
\item %Calculer la dose totale dans le sang juste après cette deuxième injection.
Au bout de 8 heures il reste de la première injection $f(8) = 100\text{e}^{-0,4 \times 8} = 100\text{e}^{-3,2}$.

La dose totale après la deuxième injection est donc égale à :

$100 + 100\text{e}^{-3,2} = 100\left(1 + \text{e}^{-3,2}\right) \approx 104$~mg.
\item %La dose restant dans le sang après la deuxième injection est donnée en mg par la fonction $g$ définie sur $[8~;~+ \infty[$ par 

%\[g(t) =100\text{e}^{-0,4t} \left(1 + \text{e}^{3,2}\right)\]

%où $t$ est exprimé en heure.

%Tracer T et $\mathcal{C}$ sur [0~;~8] puis la courbe $\mathcal{C}'$ représentative de $g$ sur [8~;~16].
Voir à la fin.
 \end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

%On répondra aux questions suivantes par lecture graphique.
%
%On considère que le médicament est efficace lorsque la dose restant dans le sang est supérieure à 20~mg.
\begin{enumerate} 
\item %Au bout de combien de temps la première injection perd-elle son effet ?
On trace la droite d'équation $y = 20$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir la figure. On trouve à peu près 4~h.
\item %Sur quels intervalles de temps le médicament agit-il ?
La première injection agit de 0 à 4~h.

On cherche l'intersection de la droite $y = 20$ avec la courbe $\mathcal{C}'$ : on obtient un point dont l'abscisse est le temps maximum où les deux injections agissent : de 8 à 12,12~h soit 12~h 7~min environ.

Finalement le médicament agit de 0 à 4~h puis de 8 à 12~h 7~min.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(16,110)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(16,110)
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\end{center}
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