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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL  Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat
 série STL Métropole juin 2003~\decofourright\\
 Chimie de laboratoire et de procédés industriels }}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures} \hfill \textbf{Coefficient 4}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1 cm.

On appelle i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\C$, l'équation :

\[z^2 + 3z + 9 = 0.\]

\item On considère désormais les nombres complexes $z_1,~ 
z_2$ et $z_3$ donnés par :

\[z_1 = \sqrt{3} + \text{i} ~;~z_2 = - \dfrac{3}{2} + 
\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~z_3 = -z_1.\]

	\begin{enumerate} 
		\item	 Déterminer le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$.
		\item On considère les points M$_1$, M$_2$ et M$_3$ images respectives
 des nombres complexes $z_1,~ z_2$ et $z_3$. Montrer que O est le milieu de 
 [M$_1$M$_3$]. Construire en utilisant la question 2 a les points
M$_1$, M$_2$ et M$_3$.
		\item Démontrer que le triangle M$_1$M$_2$M$_3$ est isocèle.
		\item Soit $M_4$ le point du plan d'affixe $z_4$. Déterminer $z_4$ pour  que le quadrilatère M$_1$M$_2$M$_3M_4$ soit un losange, puis construire $M_4$. 
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Un jeu de dominos est constitué de 28 dominos distincts. On rappelle qu'un domino est partagé en deux parties, chacune portant un nombre de 0 à 6 représenté par des points. Un double est un domino dont les deux parties portent le même nombre.

Exemples de dominos :

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center} \begin{pspicture}(15,3)
\psframe(0,0)(4,2.5) \psframe(5.5,0)(9.5,2.5) \psframe(11,0)(15,2.5)
\psline(2,0)(2,2.5) \psline(7.5,0)(7.5,2.5) \psline(13,0)(13,2.5) 
\qdisk(0.5,0.5){3pt} \qdisk(1.5,0.5){3pt} \qdisk(0.5,2){3pt} 
\qdisk(1.5,2){3pt}
\qdisk(8,0.5){3pt} \qdisk(8,2){3pt} 
\qdisk(9,0.5){3pt} \qdisk(9,2){3pt}
\qdisk(11.5,1.25){3pt} 
\qdisk(12.5,1.25){3pt} \qdisk(13.5,1.25){3pt} \qdisk(14.5,1.25){3pt} 
\qdisk(3,1.25){3pt}  
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Écrire la liste des 28 dominos distincts.
\item Un joueur tire un domino au hasard.
	\begin{enumerate} 
		\item	Quelle est la probabilité qu'il obtienne un double ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme
des nombres situés sur les deux parties soit divisible par 3 ?
(On rappelle que $0$ est divisible par tout entier non nul.)
		\item Soit X la variable aléatoire qui à chaque domino tiré associe
la différence entre le plus grand et le plus petit nombre.

Par exemple, si le domino tiré porte le nombre 1 et le nombre 4, X prend
la valeur $4 - 1 = 3$.

Déterminer les valeurs prises par X, puis la loi de probabilité de X.

En déduire l'espérance mathématique de X.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$, par :

\[g(x) = 1 - 2x + \text{e}^{2x}.\]

\begin{enumerate} 
\item	Pour tout $x$ de $\R$, déterminer $g'(x)$.
En déduire les variations de $g$ sur $\R$. (on ne demande pas les
limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition).
\item Démontrer que pour tout $x$ de $\R,~ g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère maintenant la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) =  x + 2 + x\text{e}^{-2x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans
le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités
graphiques 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer pour tout $x$ de $\R,~f'(x)$ et vérifier que 
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{\text{e}^{2x}}$.
		\item En utilisant la \textbf{Partie A}, déterminer le tableau
des variations de $f$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$ on a :
$f (x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, la droite D d'équation $y = x + 2$ est
asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et D.
	\end{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$ et D.
\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[F(x) =	\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{-2x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan
délimitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis sa valeur arrondie
à 0,1 près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}