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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL  Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL  juin 2004~\decofourright\\ Chimie de laboratoire et de procédés industriels }} \end{center}
    
%\vspace{0,5cm}
%
%Calculatrice autorisée \hfill 3 heures 

\vspace{0,25cm}

%\begin{center}
%
%Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient  : 4
%
%\end{center}
\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%Une partie de dé est organisée selon les règles suivantes :
%
%on mise 2 \euro~ puis on lance un dé parfaitement équilibré ;
%
%pour la sortie du 6 on reçoit 6 \euro{} ; 
%
%pour la sortie du 5 on reçoit 2 \euro{}  ;
%
%pour la sortie du 4 on reçoit 1 \euro{} 
%
%et dans les autres cas on ne reçoit rien.
%
%On appelle gain d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

\begin{enumerate} 
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain.
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
$X \in \{-2~;~-1~;~0~;~4  \}$
		\item %Établir la loi de probabilité de $X$
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $ = x_{i}$&$-2$&$-1$&$0$&4\\  \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{3}{6}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{1}{6}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Déterminer l'espérance mathématique E($X$).
E($X) = -2 \times \dfrac{3}{6} - 1 \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{-6 - 1 + 4}{6} = - \dfrac{3}{6} = -0,50$~\euro{}.

On perd en moyenne 50 centimes par partie. 
	\end{enumerate}
\item %Un joueur se présente il a en poche 2,50\,\euro.
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue d'une partie ?
		Après une partie il peut lui rester : 6,50 ou 2,50 ou 1,50 ou 0,50~\euro.
		\item %Déterminer la probabilité qu'il puisse jouer deux parties.
Il peut jouer une seconde partie sauf dans les deux derniers cas de probabilité $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Il lui reste donc une chance sur trois de jouer une deuxième partie. 
		\item %On suppose qu'il gagne assez à la première partie pour pouvoir jouer une deuxième partie. Quelles sont les différentes sommes possibles qu'il peut avoir en poche à l'issue des deux parties ?
		On reprend les sommes obtenues après une partie ; après la seconde partie il lui restera 10,50 ou 6,50 ou 5,50 ou 4,50 ou 2,50 ou 1,50 ou 0,50\, \euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Résoudre le système suivant d'inconnues complexes $z$ et $z'$ :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%z + \text{i}z'&=&-1\\
%z - z' &= & 2 + \text{i}\\
%\end{array}\right.\]
%
%On donnera les solutions sous forme algébrique.
Par différence on obtient $z'(1 + \text{i}) = - 3 - \text{i} \iff z' = - \dfrac{3 + \text{i}}{1 + \text{i}} = - \dfrac{(3 + \text{i})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} = - \dfrac{3  + 1  - 3\text{i} + \text{i}}{1 + 1} = - \dfrac{4 - 2\text{i}}{2} = - 2 + \text{i}$.

Le seconde équation donne $z = - 2 + \text{i} + 2 + \text{i} = 2\text{i}$.

La solution est donc $\left(2\text{i}~;~- 2 + \text{i} \right)$.
\item %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv d'unité graphique 3 cm.
	\begin{enumerate} 
		\item %Placer dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 1,~z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} =  -2 +  \text{i}$.
Voir plus bas.
		\item %Calculer les modules des nombres complexes : $z_{\text{B}} - z_{\text{C}}$  et $z_{\text{B}} - z_{\text{A}}$.
On a $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}} \right| = \left|2\text{i} + 2 - \text{i} \right| = \left|2 + \text{i}  \right| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

De m\^eme $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = \left|2\text{i} + 1   \right|  = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

%Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
On a donc CB $ = \sqrt{5}$ et AB $ = \sqrt{5}$, donc BC = BA : le triangle ABC est isocèle en B.
		\item %On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l'affixe du point I puis calculer la distance BI.
On a $z_{\text{I}} = \dfrac{1}{2}\left(- 1 -2 +  \text{i}  \right) = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}$.

BI $ = \left|z_{\text{I}} - z_{\text{B}} \right| = \left|- \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} - 2\text{i}  \right| = \left|- \dfrac{3}{2} - \text{i} \dfrac{3}{2} \right| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
		\item %Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle ABC.
Le triangle ABC étant isocèle en B, la droite (BI) médiane est aussi hauteur de ce triangle, donc 
l'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABC est égale \`a $\dfrac{\text{AC} \times \text{BI}}{2}$.

AC $ = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right|c = \left|- 2 + \text{i} + 1 \right| = \left|- 1 + \text{i} \right| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Donc $\mathcal{A} = \dfrac{\sqrt{2} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{3}{2}$~(u. a.)

L'unité d'aire valant $3 \times 3 = 9$~cm$^3$, on a $\mathcal{A} = 9 \times \dfrac{3}{2}  = 13,5$~cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psdots(-1,0)(0,2)(-2,1)
\uput[u](-1,0){A} \uput[r](0,2){B}\uput[ul](-2,1){C}
\pspolygon(-1,0)(0,2)(-2,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

%\[f(x) = \left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item  %On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal  \Oij{} d'unité graphique 2 cm.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On peut écrire $f(x) = x^2\left(1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{x^2} \right)\text{e}^x$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{5}{x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{7}{x^2} = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{x^2} = 1$, et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, on a par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %On rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  x^n\text{e}^x = 0$ pour tout $n$ entier naturel.

%En remarquant que $f(x) =  x^2\text{e}^x - 5x\text{e}^x + 7\text{e}^x$, déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

%En  déduire que $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2\text{e}^x  = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} 5x\text{e}^x = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} 7\text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.

Ceci signifie que l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale \`a $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f'(x) =  (x^2 - 3x + 2)\text{e}^x$.
$f$ somme de fonctions dérivable sur $\R$ est dérivable et pour tout réel :

$f'(x) = (2x - 5)\text{e}^x + \left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x = \left(x^2 - 3x + 2\right)\text{e}^x$.
		\item %Déterminer le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.

%Dresser le tableau de variations de $f$ (on donnera les valeurs exactes de $f(1)$ et de $f(2)$).
Comme $\text{e}^x > $ pour tout réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme 

$x^2 - 3x + 2$.

Or $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ et on sait que ce trinôme est positif  sauf entre ses racines 1 et 2. D'o\`u le signe de $x^2 - 3x + 2$, donc de $f'(x)$ et le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$1$} \uput[u](8,2.5){$2$} \uput[u](10.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+} \rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$} \rput(8,2.25){$0$} \rput(9.5,2.25){$+$}\uput[d](5,2){$3\text{e}$}\uput[u](8,0){$\text{e}^{2}$}\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) \psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5)
\uput[u](2.1,0){$0$} \uput[d](10.5,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

On a $f(1) = (1 - 5 + 7) \text{e}^1 = 3\text{e}$ ;

$f(2) = (4 - 10 + 7)\text{e}^{2} = \text{e}^{2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
Une équation de T est $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

$f(0) = 7\text{e}^0 = 7$ et $f'(0) = 2\text{e}^0 = 2$.

Donc une équation de T est $y = 2x + 7$. 
		\item %Que peut-on dire de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 ? et au point d'abscisse 2 ?
En ces deux points le nombre dérivé égal au coefficient directeur de la tangente \`a $\mathcal{C}$ est nul : cela signifie que les tangentes en ces deux points sont horizontales ; cela correspond \`a deux extremums.
	\end{enumerate}
\item %Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&$- 2$	&$- 1$	&0	&1		&2 		&2,5\\ \hline
$f(x)$	&2,84	&4,78	&7	&8,15	&7,38	&9,13\\ \hline
\end{tabularx}\]

%On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près par défaut.
\item %Construire la droite T et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir \`a la fin.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item %Hachurer sur le dessin la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 1$  et les deux axes du repère. On appelle  $\mathcal{A}$ son aire, en cm$^2$.
Voir \`a la fin. 
		\item %En utilisant la partie 1 montrer que pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] on a :

%\[7 \leqslant  f(x) \leqslant  3\text{e}.\]
Le tableau de variations montre que sur $]- \infty~;~1]$, donc \emph{a fortiori} sur [0~;~1], la fonction $f$ est strictement croissante de $f(0) = 7$ \`a $f(1) = 3\text{e}$.

On a donc $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow  7 \leqslant  f(x) \leqslant  3\text{e}$.
\item %En déduire l'encadrement suivant :

%\[7 \leqslant \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant  3\text{e}.\]
Tous les nombres précédents étant positifs leurs intégrales sur [0~ ;~1] sont rangées dans le m\^eme ordre :

$\displaystyle\int_{0}^1 7\:\text{d}x  \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x  \leqslant\displaystyle\int_{0}^1 3\text{e}\:\text{d}x$ soit 

$[7x]_{0}^1 \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant [3\text{e}x]_{0}^1$ et enfin 

$7 \leqslant \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant  3\text{e}$.
\item %En utilisant l'encadrement ci-dessus justifier que l'aire $\mathcal{A}$ est comprise entre 28 et 33 cm$^2$.
On a vu que sur [0~;~1], la fonction est positive : donc l'aire en unité d'aire, de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite d'équation $x = 1$  et les deux axes du repère est égale \`a l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.

D'après la question précédente :

$7 \leqslant \mathcal{A}~(\text{u. a.}) \leqslant 3\text{e}$

Or l'unité d'aire est égale \`a $2 \times 2 = 4$~cm$^2$.

Finalement $4 \times 7 \leqslant \mathcal{A}~(\text{cm}^2) \leqslant 4 \times 3\text{e} \iff 28 \leqslant \mathcal{A}~(\text{cm}^2) \leqslant 12\text{e}$.

Comme $12\text{e} \approx 32,6$, on a l'encadrement \`a l'unité près :

\[28 \leqslant \mathcal{A}~(\text{cm}^2) \leqslant 33.\]
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 

%\[g(x)  = \left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x.\]

%Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$g$ est dérivable sur $\R$ et 

$g'(x) = (2x - 7)\text{e}^x + \left(x^2 - 7x+ 14\right)\text{e}^x = \left(x^2 - 5x + 7\right)\text{e}^x = f(x)$

Donc $g$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item %En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis la valeur arrondie à l'unité près.
$\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = [g(x)]_{0}^1 = g(1) - g(0) = \left(1^2 - 7\times 1 + 14\right)\text{e}^1 - \left(\left(0^2 - 0x+ 14\right)\text{e}^0 \right) = 8\text{e} - 14$.

Donc $\mathcal{A}~(\text{cm}^2) = 4(8\text{e} - 14) = 32\text{e} - 56$~cm$^2$.

On a $32\text{e} - 56 \approx 30,98$ qui est bien dans l'intervalle [28~ ;~33].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-1)(3,11)
\uput[d](3,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\psline(-3,1)(2,11)\uput[l](1.5,10){T}\uput[dl](0,0){O}
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\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x dup mul 5 x mul sub 7 add 2.71828 x exp mul}
\psline(1,0)(0,0)}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}