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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small STL  Chimie de laboratoire}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat
 série STL Métropole~\decofourright\\septembre 2002
 Chimie de laboratoire et de procédés industriels }}

\vspace{0,25cm}

%\textbf{Durée de l'épreuve : 3 heures} \hfill \textbf{Coefficient 4}

\end{center}

%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

%On considère les nombres complexes suivants : 

%\[z_{1} = \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)\quad  \text{et} \quad  z_{2} = \overline{z_{1}}.\] 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$, puis le module et un argument du nombre complexe $z_{2}$.
$\left|z_{1}\right|^2 = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left(\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow \left|z_{1}\right| = 3$.

On peut écrire : $z_{1} = 3\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{1}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

Comme $z_{2}$ est le conjugué de $z_{1}$, son module est le m\^eme et l'un de ses arguments est l'opposé de celui de $z_{1}$ :

$\left|z_{2}\right| = 3$ et un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{\pi}{6}$.
\item %Résoudre le système d'inconnues complexes $z$ et $z'$ : 

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%z - 2z' &=& 3\sqrt{3}\\
%2z - 2z' &=& 9\text{i} -3\sqrt{3}
%\end{array}\right.\] 
Par différence des deux équations on a $z = 9\text{i} - 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \iff z = - 6\sqrt{3} + 9\text{i}$.

Il suit $2z' = z - 3\sqrt{3} = - 6\sqrt{3} + 9\text{i} - 3\sqrt{3} = - 9\sqrt{3} + 9\text{i}$. Donc :

$z' = - \dfrac{9}{2}\sqrt{3} + \dfrac{9}{2}\text{i}$.
\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
 
%On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : 

%\[z_{1},~ z_{2},~ 3\text{i} \quad \text{et}~ \dfrac{3}{2}\left(- \sqrt{3}  + \text{i}\right).\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B, C et D.
A et B sont sur le cercle centré en O de rayon 3 et respectivement sur la droite d'équation $y = \frac{3}{2}$ et sur la droite d'équation $y = -\frac{3}{2}$. C se place aisément ; enfin D est le symétrique de B autour de O car $\dfrac{3}{2}\left(- \sqrt{3}  + \text{i}\right) = -  \dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}  - \text{i}\right)$. Voir plus bas
		\item %Démontrer que ces quatre points sont sur un cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon à préciser.
		On sait que $|3\text{i}| = 3$. D'autre part $\left|\dfrac{3}{2}\left(- \sqrt{3}  + \text{i}\right)\right|^2 = \dfrac{27}{4} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2 \Rightarrow  \left|\dfrac{3}{2}\left(- \sqrt{3}  + \text{i}\right)\right| = 3$.
		
		Conclusion : les modules des affixes des quatre points sont égaux à 3 ; ils appartiennent au cercle $\Gamma$ centré en O de rayon 3.
		\item %Construire $\Gamma$ puis justifier que le triangle BCD est rectangle.
Construction sur la figure.

On a vu que B et D sont symétriques autour du centre  du cercle $\Gamma$ et qu'ils appartiennent à ce cercle ; [BD] est donc un diamètre et le point C appartient au cercle : le triangle [BCD] inscrit dans un cercle dont l'un de ses côtés est un diamètre est un triangle rectangle en C
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\pscircle(0,0){3}
\psline(-3,1.5)(3,1.5)
\psline(-3,-1.5)(3,-1.5)
\psdots(2.598,1.5)(2.598,-1.5)(0,3)(-2.598,1.5)
\pspolygon(2.598,-1.5)(0,3)(-2.598,1.5)
\uput[ur](2.598,1.5){A}\uput[ur](2.598,-1.5){B}\uput[r](0,3){C}
\uput[ul](-2.598,1.5){D}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1.5,-2.7){$\Gamma$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Après des violents orages, des eaux de ruissellement contenant 4\,\% de pesticides se déversent dans un bassin aménagé pour la baignade. 
%
%Le système d'évacuation du bassin permet d'y maintenir un volume constant de \np{30000}~litres.
% 
%On admet que le volume de pesticides en litres dans ce bassin 
%est une fonction du temps définie par : $g(t) = f(t) + \np{1200}, t$ étant le temps en minutes et $f$ étant une solution de l'équation 
%différentielle
% 
%\[(\text{E})~~ :\quad  y' + 5 \times 10^{-3}y = 0.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle (E). 
$y' + 5 \times 10^{-3}y = 0 \iff y' = - 5 \times 10^{-3}y$.

On sait que les solutions de cette équation sont les fonctions : $t \longmapsto f(t) = C\text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t},~C \in \R$.
%En déduire l'expression générale de $g(t)$.
On a donc $g(t)b = \np{1200} + C\text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t},~C \in \R$
\item %On suppose qu'à l'instant $t = 0$, le volume des pesticides dans l'eau est nul.
 
%Déterminer la fonction $g$ satisfaisant à cette condition. 
On doit avoir $g(0) = \np{1200} + C\text{e}^{- 5 \times 10^{-3}\times 0} =  \np{1200} + C = 0 \iff C = - \np{1200}$.

Le volume de pesticides en litres est donc :

$g(t) = \np{1200}\left(1 -  \text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t}\right)$.
\item %Le corps médical considère que des affections cutanées peuvent survenir dès que le taux de pesticides dans le bassin atteint 2\,\%.
 
%Au bout de combien de minutes ce taux est-il atteint ? (on donnera d'abord le résultat exact puis une valeur approchée à une minute près).
2\,\% de \np{30000} représentent $0,02 \times  \np{30000} = 600$~litres de pesticides.

Ce volume est atteint au bout d'un temps lorsque :

$\np{1200}\left(1 -  \text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t}\right) = 300 \iff 4\left(1 -  \text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t}\right) = 1 \iff 1 -  \text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t} = \dfrac{1}{4} \iff \dfrac{3}{4} = \text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t}\iff 0,75 = \text{e}^{- 5 \times 10^{-3}t} \iff \ln 0,75 = - 5\times 10^{-3}t$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) soit enfin si $t = - \dfrac{\ln 0,75}{5\times 10^{-3}} = -\dfrac{\ln 0,75}{0,005}$.

On a $-\dfrac{\ln 0,75}{0,005} \approx 57,536$~(h) soit environ $57 + 60 \times 0,536$ soit environ 57~h  32~min.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A.} %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

%\[f(x) = x + (x - 1)\text{e}^x\]
%
%et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.   

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$,{ } $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 1) = + \infty$, d'o\`u par produit de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 1)\text{e}^x$ et enfin par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant l'écriture de $f(x)$ sous la forme :
		 
%$f(x) = x + x\text{e}^x - \text{e}^x$,

%déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, d'o\`u par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
		\item %Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = x$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $- \infty$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - x = (x - 1)\text{e}^x = x\text{e}^x - \text{e}^x$.

On a vu que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0$.

Ce résultat signifie graphiquement que la droite (D) d'équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Étudier la position relative de $D$ par rapport à $\mathcal{C}$ (on précisera les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $D$).
La position relative est donnée par le signe de $d(x) = (x - 1)\text{e}^x$. Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $d(x)$ est donc celui de $x - 1$ :

- Si $x > 1,~d(x) > 0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de son asymptote $D$ ;

- si $x < 1,~d(x) < 0$, donc la courbe $\mathcal{C}$ est au dessous de son asymptote $D$.

- si $x = 1$ la courbe et son asymptote ont un point commun (1~;~1). 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 + 1 \times \text{e}^x + (x - 1)\text{e}^x = 1 + \text{e}^x + x\text{e}^x - \text{e}^x = 1 + x\text{e}^x$  
		\item %On admet que le tableau de variations de $f'$ est le suivant :
		
%\medskip
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(8,2.5)
%\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)
%\psline(2,0)(2,3)
%\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$- \infty$} \uput[u](5,2){$- 1$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$} 
%\rput(1,1){$f'(x)$}
%\psline{->}(2.4,1.6)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.6,1.6)
%\uput[u](5,0){$1 - \dfrac{1}{\text{e}}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Justifier que pour tout $x$ de $\R$, on a $f'(x) > 0$.
% 
%En déduire le sens de variation de $f$, puis dresser le tableau de 
%variation de $f$.
Le minimum de la fonction $f'$ est $1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. Or $1 - \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,632 > 0$ : le minimum étant supérieur à zéro, on peut en conclure que sur $\R,~f'(x) > 0$, donc que la fonction $f$ est strictement croissante. D'o\`u le tableau :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$}  \uput[u](2.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(4,2.25){+} \rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5) \uput[u](2.4,0){$- \infty$}\uput[d](5.5,2){$+ \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Tracer $\mathcal{C}$ et $D$.
Voir à la fin. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} 

\begin{enumerate}
\item %Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = x\text{e}^x - 2\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $H'(x)$.
La fonction $H$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$H'(x) = 1\text{e}^x + x\text{e}^x - 2\text{e}^x =  x\text{e}^x - \text{e}^x = \text{e}^x(x - 1)$.
		\item %En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
Comme $x$ a pour primitive $\dfrac{x^2}{2}$ et comme une primitive de $\text{e}^x(x - 1)$ est $H$, on peut en déduire qu'une  primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $\dfrac{x^2}{2} + x\text{e}^x - 2\text{e}^x$. 
	\end{enumerate}
\item %Calculer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire $S$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.
On a vu que $f(1) = 1$ et que la fonction $f$ est croissante sur $\R$ : elle est donc positive sur l'intervalle [1~ ;~2].

L'aire $S$ en unité d'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$ est donc égale à l'intégrale :

$S = \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} + x\text{e}^x - 2\text{e}^x \right]_{1}^2 = \dfrac{2^2}{2} +  2\text{e}^2 - 2\text{e}^2 - \left(\dfrac{1^2}{2} + 1\text{e}^1 - 2\text{e}^1 \right) = 2  - \dfrac{1}{2} + \text{e} = \dfrac{3}{2} + \text{e}$.~(u. a.)
%Donner la valeur arrondie de $S$ au mm$^2$ près.
1 unité d'aire vaut $2 \times 1 = 2$~cm$^2$, donc 

$S= 2\left(\dfrac{3}{2} +\text{e}\right) = 3 + 2\text{e}$~cm$^2$ soit environ 8,44~cm$^2$ au mm$^2$ près. (résultat que l'on vérifie approximativement sur la figure) 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-5)(2,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-5)(2,10)
\psline(-4,-4)(2,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2}{x x 1 sub 2.71828 x exp mul add}
\uput[d](-1.75,-2.25){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](-1.75,-1.75){$D$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x 1 sub 2.71828 x exp mul add}
\psline(2,9.389)(2,0)(1,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}