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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2003~\decofourright\\Physique de laboratoire et de procédés industriels}}}

\vspace{0,25cm}

%\textbf{Coefficient 4}

\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%On tire au hasard une boule d'une urne contenant deux boules rouges notées R$_1$ et R$_2$, une boule verte notée V et deux boules bleues notées B$_1$ et B$_2$. On ne remet pas la boule tirée et on effectue un second tirage d'une boule.

%On appelle \textbf{résultat} un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage et le second, celle obtenue au second tirage, par exemple (R$_1$,~B$_2$). Tous les résultats sont équiprobables.

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer à l'aide d'un tableau ou d'un arbre l'ensemble des résultats possibles.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\backslashbox{T$_{1}$}{T$_{2}$}&R$_{1}$&R$_{2}$&V&B$_{1}$&B$_{2}$\\ \hline
R$_{1}$&&(R$_{1}$, R$_{2}$) 2&(R$_{1}$, V) 3&(R$_{1}$,B$_{1}$) $- 1$&(R$_{1}$, B$_{2}$) $- 1$\\ \hline
R$_{2}$&(R$_{2}$, R$_{1}$) 2&&(R$_{2}$, V) 3&(R$_{2}$, B$_{1}$) $- 1$&(R$_{2}$, B$_{2}$) $ - 1$\\ \hline
V &(V, R$_{1}$) 3&(V, R$_{2}$) 3 &&(V, B$_{1}$) 0 & (V, B$_{2}$) 0 \\ \hline 
B$_{1}$&(B$_{1}$, R$_{1}$) $- 1$&(B$_{1}$, R$_{2}$) $- 1$&(B$_{1}$, V) 0&&(B$_{1}$, B$_{2}$) $- 4$\\ \hline
B$_{2}$&(B$_{2}$, R$_{1}$) $- 1$&(B$_{2}$, R$_{2}$) $- 1$&(B$_{2}$, V) 0 &(B$_{2}$, B$_{1}$) $ - 4$&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\item %On complète la situation précédente par une règle du jeu :

%$\bullet~$ Pour chaque boule rouge tirée, on gagne 1 \euro{} ;

%$\bullet~$  Pour chaque boule verte tirée, on gagne 2 \euro{} ;

%$\bullet~$ Pour chaque boule bleue tirée, on perd 2 \euro{}.

%On note X la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain obtenu. (Une perte est considérée comme un gain négatif).
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X.
Les valeurs prises ont été marquées dans le tableau. L'ensemble des valeurs prises par X est : $\{- 4~;~- 1~;~0~;~2~;~3\}$.
		\item %Définir la loi de probabilité de X en remplissant un tableau.
Le tableau de la loi de probabilité de X est le suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X $ = x_{i}$		&$-4$	&$-1$	&0	&2	&3\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&$\dfrac{2}{20}$&$\dfrac{8}{20}$&$\dfrac{4}{20}$&$\dfrac{2}{20}$&$\dfrac{4}{20}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) ? Le jeu est-il équitable ?
E(X) $ = -4 \times \dfrac{2}{20} + (-1)\times \dfrac{8}{20} + 0 \times \dfrac{4}{20} + 2 \times \dfrac{2}{20} + 3 \times \dfrac{4}{20} = \dfrac{-8 - 8 + 0 + 4 +12}{20} = 0$.

L'espérance représente le gain moyen sur un grand nombre de partie ; on peut dire que le jeu  est équitable.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct 
%\Ouv{} (unité graphique 2~cm).

%Soit $P(z) =  z^3 - 4z^2 + 8z - 8$ où $z$ est une variable complexe.
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer P(2).
$P(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 8 \times 2 - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0$.
		\item %Trouver les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,

%\[P(z) = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right).\]
Développons $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = az^3 + bz^2  + cz - 2az^2 - 2bz - 2c = az^3 + (b - 2a)z^2 + (b + c)z - 2c$. 

Par identification avec $z^3 - 4z^2 + 8z - 8$, on obtient aussitôt $a = 1$ et $c = 4$, puis $b - 2 = - 4 \iff b = -2$.

Donc $P(z) = z^3 - 4z^2 + 8z - 8 = (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4 \right)$.
		\item %Résoudre alors l'équation $P(z) = 0$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
$P(z) = 0 \iff (z - 2)\left(z^2 - 2z + 4 \right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}
z - 2 = 0\\
z^2 - 2z + 4 = 0
\end{array}\right.$

La première équation a pour solution $2$, la seconde est une équation du second degré.

$\Delta = 4 - 4 \times 4 = -12 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)^2$.

Le discriminant est négatif il y a deux solutions complexes conjuguées :

$\dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$.

L'équation $P(z) = 0$ a trois solutions : $2,~1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item %On considère les nombres complexes $z_1 = 2,~z_2 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_3 =  1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer le module et un argument de chacun de ces trois nombres complexes.
$\left|z_{1}\right| = 2$ et un argument de $z_{1}$ est 0

$\left|z_{2}  \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, donc $\left|z_{2}  \right| = 2$.

On peut écrire $z_{2} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$. Un argument de $z_{2}$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$.

Comme $z_{3} = \overline{z_{2}},~\left|z_{3}  \right| = 2$ et un argument de $z_{3}$ est $- \dfrac{\pi}{3}$.
		\item %Écrire le quotient $\dfrac{z_3}{z_2}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et  $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$.
Comme $z_{2} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_{3} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$, on a $\dfrac{z_{3}}{z_{2}} = \dfrac{2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}}{2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

On peut directement reconnaître $\cos \left(- \dfrac{2\pi}{3}\right) = - \dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(- \dfrac{2\pi}{3}\right) =  \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, d'o\`u $\dfrac{z_{3}}{z_{2}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

On peut aussi calculer $\dfrac{z_{3}}{z_{2}} = \dfrac{ 1 - \text{i}\sqrt{3}}{ 1 + \text{i}\sqrt{3}} = \cdots = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
%Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_3}{z_2}$.
\end{enumerate}

\item %Dans le plan complexe rapporté au repère  \Ouv, on considère les points M$_1$, M$_2$ et M$_3$ d'affixes respectives $z_1,~z_2$ et $z_3$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que M$_1$, M$_2$ et M$_3$ appartiennent à un même cercle dont on  précisera le centre et le rayon. Placer ces points.
		On a vu que $z_{1},~z_{2}$ et $z_{3}$ ont le même module  : 2. Les trois points M$_1,~M_{2}$ et $M_{3}$ appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon 2.
		\item %Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme M$_2$ en M$_3$. Donner une mesure, en radian, de l'angle de cette rotation.
On sait déjà que OM$_{1}$ = OM$_{2}$ = 2 ; d'autre part $\left(\vect{\text{OM}_{2}},~\vect{\text{OM}_{3}}  \right) = - \dfrac{\pi}{3} -  \dfrac{\pi}{3} = - \dfrac{2\pi}{3}$.

M$_{3}$ est donc l'image de M$_{2}$ dans la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{2\pi}{3}$.

Autre méthode : on a également $z_{3} = z_{2}\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ ce qui assure le résultat.
	\item %Montrer que le triangle M$_1$M$_2$M$_3$ est isocèle.
On sait que M$_{2}$ et M$_{3}$ sont symétriques autour de l'axe des réels ; or M$_{3}$ appartient à cet axe : il est donc équidistant de M$_{2}$ et M$_{3}$, ce qui montre que le triangle M$_1$M$_2$M$_3$ est isocèle en M$_{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psdots(0,0)(1,1.732)(1,-1.732)(2,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,1.732){M$_{1}$}\uput[dr](1,-1.732){M$_{2}$}
\uput[ur](2,0){M$_{3}$}
\pspolygon(0,0)(1,1.732)(2,0)(1,-1.732)
\psline(1,1.732)(1,-1.732)
\pscircle(0,0){2}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :

%\[f(x) = 1 + \left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x.\]

%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 2 cm.
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x - 3}{8} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, donc par produit de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. En déduire une équation d'une droite $\mathcal{D}$ asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
On peut écrire $f(x) = 1 + \dfrac{x\text{e}^x}{8} - \dfrac{3}{8}\text{e}^x$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$.

Ce dernier résultat montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item %Calculer les coordonnées du point d'intersection A de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
$\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ ont un point commun de même ordonnée si $1 = 1 + \left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x \iff \dfrac{x - 3}{8}\text{e}^x = 0 \iff x - 3 = 0 \iff x = 3$, (car $\text{e}^x \neq 0$ pour tout réel $x$).

Le point commun est le point A(3~;~1).
		\item %Déterminer la position relative de la droite $\mathcal{D}$ et de la courbe $\mathcal{C}$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - 1 = \left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x$.
		
Comme 8 et $\text{e}^x$ sont supérieurs à zéro, le signe de $d(x)$ est celui de $x - 3$. Donc :


\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item si $x > 3$ $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{D}$ ;
\item si $x < 3$ $\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{D}$ ;
\item si $x = 3$ $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ont un point commun A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer $f'(x)$.
En dérivant le produit on obtient :

$f'(x) = \dfrac{1}{8}\text{e}^x + \left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x = \dfrac{x - 2}{8}\text{e}^x$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
On voit aussitôt que le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 2$.

Donc sur $]- \infty~;~2[$, $f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante.

Sur $[2~;~+ \infty[$, f'(x) > 0 : la fonction est croissante. 
		\item %Pour quelle valeur de $x$ le minimum de la fonction est-il atteint ? Préciser ce minimum.
Le résultat précédent montre que la fonction a un minimum 

$f(2) = 1 + \left(\dfrac{2 - 3}{8}\right)\text{e}^2 = 1 - \dfrac{\text{e}^2}{8}$.
		\item %En déduire que, pour tout réel $x$, on a : $f(x)> 0$.
La calculatrice donne $f(2) \approx 0,076 > 0$.

Conclusion : le minimum étant supérieur à zéro, la fonction est strictement positive.
	\end{enumerate}
\item %Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
Une équation de $\mathcal{T}$ est $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$.

On a $f(0) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$ ;

$f'(0) = - \dfrac{2}{8} = - \dfrac{1}{4}$.

Une équation de $\mathcal{T}$ est $y = - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{5}{8}$
\item %Tracer sur le même graphique, la droite $\mathcal{D}$, la tangente $\mathcal{T}$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir plus bas.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Pour deux réels $a$ et $b$, on considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

%\[g(x) = \left(\dfrac{ax + b}{8}\right)\text{e}^x.\]	

	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $g'(x) = \left(\dfrac{x - 3}{8}\right)\text{e}^x$.
On a $g'(x) = \dfrac{a}{8}\text{e}^x + \left(\dfrac{ax + b}{8}\right)\text{e}^x = \left(\dfrac{ax + a + b}{8}\right)\text{e}^x$.

Donc par identification : $a = 1$ et $a + b = - 3 \iff b = - 4$.

Conclusion : $g(x) = \left(\dfrac{x -  4}{8}\right)\text{e}^x$
		\item %En déduire une primitive de $f$ sur $\R$.
Une primitive $F$ de $f$ est donc $F(x) = x + \left(\dfrac{x -  4}{8}\right)\text{e}^x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Hachurer sur le graphique, le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = - 2$.
Voir plus bas. 
		\item %Calculer l'aire de la partie hachurée. Donner la valeur exacte en cm$^2$ puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
On a vu que pour tout $x,~f(x) > 0$, donc l'aire de la partie hachurée est égale , en unité d'aire, à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x)  \right]_{-2}^0 = F(0) - F(- 2) = -\dfrac{4}{8} - \left(- 2 + \left(\dfrac{-2 -  4}{8}\right)\text{e}^{-2} \right) =$

$ - \dfrac{1}{2} + 2 - \dfrac{3}{4}\text{e}^{-2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{4}\text{e}^{-2}$~(u. a.)

Une unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$. 

Donc l'aire est égale à : $6 + 3\text{e}^{-2} \approx 6,41$~cm$^2$ à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-1)(3,2)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.5,1){$y = 1$}
\uput[dr](2.7,0.5){$\mathcal{C}$}\uput[dr](2.7,-0.1){$\mathcal{D}$}
\psplot{-3}{3}{5 8 div x 4 div sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 sub 8 div 2.71828 x exp mul 1 add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{0}{x 3 sub 8 div 2.71828 x exp mul 1 add}
\psline(0,0)(-2,0)}
\psline[linewidth=1.5pt](-3,1)(3,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}