\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : François Hache \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 10 septembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STL} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{8 septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Métropole -- La Réunion -- 8 septembre 2020}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points} \bigskip \emph{Pour chacune des quatre affirmations de l'exercice, déterminer si elle est vraie ou fausse, puis justifier de manière claire et concise la réponse donnée.} \medskip Dans tout l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur $[-1~;~3]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. La tangente à $\mathcal{C}$ au point A(1~;~0) passe par le point de coordonnées (0~;~3). La fonction $F$ désigne une primitive de la fonction $f$ sur $[-1~;~3]$. \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.25,4) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 2 add} \psline(1,0)(0,0)} \multido{\n=-1.5+0.1}{48}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-3)(\n,4)} \multido{\n=-1.5+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-3)(\n,4)} \multido{\n=-3.0+0.2}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](-1.5,\n)(3.25,\n)} \multido{\n=-3.0+1.0}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](-1.5,\n)(3.25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2.49,-2.99)(3.25,3.99) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{2}{3 3 x mul sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 2 add} \uput[l](2.8,1){\red $\mathcal{C}$}\uput[ur](1,0){A} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Affirmation 1 :} L'équation $f(x) = 0$ admet 3 solutions dans $[-1~;~3]$. \smallskip \textbf{Affirmation 2 :} L'équation $f'(x) = 0$ admet 3 solutions dans $[-1~;~3]$. \smallskip \textbf{Affirmation 3 :} $1 \leqslant \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant 2$. \smallskip \textbf{Affirmation 4 :} La fonction $F$ est décroissante sur [0~;~1]. \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points} \bigskip Les deux parties sont indépendantes. \medskip Une agence de sondage s'est vu confier par le ministère une enquête sur la proportion de personnes consommant du café quotidiennement selon leur âge. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Les résultats sur un échantillon de personnes sont donnés ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tranche d'âge &[20~;~30[ &[30~;~40[ &[40~;~50[ &[50~;~60[ &[60~;~70[\\ \hline $x_i$& 25 &35 &45 &55 &65\\ \hline $y_i$&42&50&65&72&84\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Pour chaque tranche d'âge, on note $x_i$ le centre de la classe et $y_i$ le taux (en pourcentage) de personnes consommant quotidiennement du café. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère fourni en \textbf{annexe 1}. \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax +b$, obtenue par la méthode des moindres carrés. \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 1}. \end{enumerate} \item Le modèle d'ajustement précédent est-il adapté pour la tranche d'âge [80~;~90[ ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La consommation annuelle de café dans le monde était de $9,564$ millions de tonnes en 2018. Entre 2012 et 2018, cette consommation a augmenté d'environ 1,3\,\% en moyenne par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ la consommation mondiale de café (en million de tonnes) pour l'année $2018 + n$ . On a donc $c_0 = 9,564$. Dans la suite de l'exercice, on suppose que la consommation annuelle continue d'augmenter de 1,3\,\% tous les ans. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $c_1$ et arrondir au millième. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item Justifier que $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$. \item En déduire la consommation annuelle de café en 2032 (en million de tonnes) selon ce modèle. Arrondir au millième. \end{enumerate} \item On souhaite savoir à partir de quelle année la consommation annuelle de café dépassera $16$ millions de tonnes. Pour cela, on considère l'algorithme incomplet fourni \textbf{annexe 2}, où $N$ indique l'année et $C$ la consommation de café (en million de tonnes). Compléter l'algorithme pour obtenir le résultat attendu et donner le résultat. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points} \bigskip \emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans une fabrique de bonbons, les bonbons TROPBONS constituent le produit phare. Chaque paquet contient $200$~bonbons conditionnés en dix paquets individuels de vingt bonbons. Le paquet d'emballage pèse $4$ grammes et les paquets individuels $1$~gramme. On modélise la masse d'un bonbon (en gramme) par une variable aléatoire $B$ qui suit une loi normale de moyenne $5$ et d'écart type $0,08$. Les bonbons sont rejetés à la vérification si leur masse n'est pas comprise entre $4,77$~g et $5,23$~g. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit un bonbon au hasard avant vérification. Quelle est la probabilité qu'il soit accepté 7 Donner un arrondi au millième. \item Un responsable qualité affirme qu'au moins 99\,\% des bonbons pèsent plus de 4,8g. A-t-il raison ? Justifier. \item Quelle est la masse moyenne d'un paquet de $200$ bonbons ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse à la qualité des bonbons avant leur mise en sachets. On admet que la probabilité qu'un bonbon soit impropre à la vente est égale à $0,004$. On prélève au hasard $200$ bonbons en fin de chaîne de production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le nombre de bonbons impropres à la vente. Les paquets de bonbons doivent contenir au plus trois bonbons impropres à la vente. On tire au hasard 200 bonbons. En justifiant soigneusement la démarche, déterminer la probabilité que le paquet qui les contient soit accepté par le service qualité. Arrondir au millième. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soucieuse de l'environnement, la fabrique de bonbons s'interroge sur la suppression des paquets individuels. Avant de prendre la décision, le service développement durable lance une enquête sur un échantillon de 800 consommateurs pour estimer l'influence sur les ventes d'une éventuelle suppression des sachets individuels. Parmi ces 800 consommateurs, le nombre de clients qui achèteraient ce produit avec les sachets individuels est de 735 et le nombre de clients qui achèteraient le produit sans sachets individuels est de 720. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les intervalles de confiance à 95\,\% de la proportion de clients qui achèteraient le produit avec ou sans sachets individuels. Arrondir au millième. \item Au niveau de confiance de 95\,\%, peut-on penser que la suppression des sachets entraînera une baisse de la consommation ? Justifier. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points} \bigskip \emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip Un bassin d'eau contenant \np{50000}~m$^3$ a subi une pollution aux nitrates. Des mesures ont permis d'estimer qu'à l'instant $t_0$ la concentration en nitrate est de \np{10000}~mg/L. Un travail de dépollution est mis en œuvre et on note $f(t)$ la concentration en nitrate dans l'eau, en mg/L, à l'instant $t$ exprimé en heure, en prenant $t_0 = 0$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle \[ E :\quad y' + 0,2 y = 8\] sur $[0~;~ +\infty[$ , où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $E$. \item \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $f(0) = \np{10000}$. \item En déduire l'expression de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet dans cette partie que sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$,\: $f(t) = \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item Vérifier que la concentration de polluant est décroissante dans le temps. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants, qui pourront être utilisés sans justification : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $f(t) = \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$\\ $\gets \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$\\ ~\\ \hline Limite $f(t),\: +\infty$\\ $\gets 40$\\ ~ \\\hline \end{tabular} \end{center} Préciser la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Que signifie cette limite dans le contexte de l'exercice ? \item Une eau est considérée comme potable lorsque la concentration en nitrate est inférieure à $50$~mg/L. Combien de temps au minimum doit-on attendre pour atteindre cette concentration ? On donnera le résultat en heure minute, arrondi à la minute. \end{enumerate} \newpage \textbf{\Large Annexe} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{Annexe 1} \begin{center} \psset{unit=0.1cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(120,120) \multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+20}{6}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(120,\n)} \multido{\n=0+20}{6}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(120,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(120,120) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(0,0)(120,120) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Annexe 2} \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $N \gets 0$\\ $C \gets 9,564$\\ Tant que \dotfill\\ \qquad $N \gets N + 1$\\ \qquad $C \gets \ldots $\\ Fin Tant que\\ $N \gets 2018 + N$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}