\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Nouvelle -- Calédonie 27 novembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STL} \lfoot{\small{Nouvelle -- Calédonie }} \rfoot{\small{27 novembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Nouvelle -- Calédonie -- 27 novembre 2020}} \medskip L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L'usage de la calculatrice sans mémoire,\og type collège \fg est autorisé. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points} \bigskip \emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point; une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point. Donner sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est attendue par question.} \medskip Dans les deux premières questions. on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-2x}.\] On note $f'$ sa fonction dérivée. La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'origine O est donnée ci- dessous. Soit les points A(0~;~2) et B$(1~;~ -1)$. La droite (AB) est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A. \begin{center} \psset{xunit=2cm,yunit=0.4,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3,-4)(3,11) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(-3,-4)(3,11) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1.01,1.01) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1.01,1.01) \psplot[plotpoints=1000]{-3}{2}{2 x 3 mul sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 2 add 2.71828 2 x mul exp div} \uput[d](2.9,0){$x$}\uput[ur](0,2){A} \uput[l](0,10.8){$y$}\uput[dl](1,-1){B} \uput[l](-2.1,-2.5){\blue $(\mathcal{C})$} \end{pspicture*} \end{center} \medskip \textbf{Question 1 :} \smallskip $f'(0) =$ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}2 &\textbf{b.~~} $-3$&\textbf{c.~~} $- 1$&\textbf{d.~~}$- \dfrac{3}{2}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question 2 :} \smallskip L'ensemble des solutions de l'équation $f' (x) = 0$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}$S = \{2\}$&\textbf{b.~~}$S = \{3\}$&\textbf{c.~~}$S = \{- 2\}$&\textbf{d.~~}$S = \left\{- \dfrac{3}{2}\right\}$ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Dans les deux questions suivantes} on s'intéresse à la greffe de cornée en France. Les données utilisées portent sur l'année 2015 et sont extraites du bilan d'activité 2016 de l'agence de biomédecine sur le prélèvement, la greffe et l'inscription en attente de greffe. 47,6\,\% des inscrits en 2015 en Île-de-France ont reçu une greffe de cornée la même année. On choisit au hasard $100$ inscrits en 2015. Ce choix est assimilable à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes greffées dans ce groupe. $X$ suit une loi binomiale de paramètres $100$ et $0,476$. \emph{Les résultats sont arrondis à $0,001$ près} \medskip \textbf{Question 3 :} \smallskip La probabilité d'avoir au moins 40 personnes greffées est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}0,077 &\textbf{b.~~} 0,651 &\textbf{c.~~} 0,948 &\textbf{d.~~} 1,027 \end{tabularx} \end{center} \textbf{Question 4 :} \smallskip Les conditions sont satisfaisantes pour approximer la loi de $X$ par une loi normale d'une variable aléatoire $Y$. $P(37 \leqslant Y \leqslant 58) \approx $ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,038 &\textbf{b.~~} 0,872 &\textbf{c.~~} 0,853 &\textbf{d.~~} 0,964 \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points} \bigskip Suite à un incident nucléaire, des traces de contamination ont été découvertes lors des contrôles réalisés de manière systématique à la sortie des zones nucléaires, notamment grâce au passage sous des portiques d'accès. Le tableau ci-dessous donne les résultats fournis, heure par heure, par un appareil de mesure de la radioactivité. Les nombres entiers $N_i$ représentent le nombre de particules recueillies par l'appareil en une seconde. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ en heures &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $N_i$ &170 &102&63 &39 &24 &16 &9\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On pose $z_i = \ln{}\left(N_i\right)$ pour $i$ entier variant de 0 à 6. Compléter, dans l'annexe 1 (\textbf{à rendre avec la copie}), le tableau donnant les valeurs de $z_i$ arrondies au centième \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_i~;~z_i\right)$ dans le repère orthogonal de l'annexe 1. \item Donner l'équation de la droite de régression linéaire de $z$ en $t$. On arrondira les coefficients à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} Dans la suite, on prendra pour équation de la droite de régression linéaire: \[z = -0,48t +5,12.\] \begin{enumerate}[resume] \item Représenter la droite de régression linéaire dans le repère précédent. \item En déduire une expression de $N$ en fonction de $t$. \item L'appareil de mesure possède deux voyants (un rouge et un vert). Tant que le nombre de particules recueillies est strictement supérieur à 3, le voyant rouge est allumé. Lorsque le nombre de particules recueillies est inférieur ou égal à 3, le voyant rouge s'éteint et le voyant vert s'allume. Déterminer, par le calcul, le nombre d'heures nécessaires pour voir le voyant vert s'allumer. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points} \bigskip On introduit initialement $200$ bactéries dans un milieu clos. Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution de la population de bactéries. \bigskip \textbf{Partie A : un premier modèle} \medskip Au XVII\up{e} siècle, Thomas Malthus propose un modèle décrivant l'évolution d'une population isolée connaissant le taux de natalité et le taux de mortalité. On note $u_n$ la population de bactéries présentes dans ce milieu $n$ heures après l'introduction des bactéries. Ainsi $u_0 = 200$. Selon le modèle proposé par Malthus, la suite $\left(u_n\right)$ vérifie, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = u_n + au_n- bu_n\] où $a$ représente le taux de natalité et $b$ représente le taux de mortalité de la population. Les réels $a$ et $b$, étant des taux, sont compris entre $0$ et $1$. \smallskip On suppose que $a = 0,12$ et $b = 0,07$, c'est-à-dire: \[u_{n+1}= u_n+ 0,12u_n - 0,07u_n.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de bactéries 1 heure après le début de l'expérience. \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$. \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Compléter le tableau de valeurs de cette suite (premier tableau de l'annexe 2 à rendre avec la copie). Les résultats seront donnés à l'entier près. \item \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$. Justifier la réponse. \item Ce modèle paraît-il réaliste ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Donner un exemple de taux de natalité $a$ et de taux de mortalité $b$ qui, selon le modèle de Malthus, amènerait la population à disparaitre. Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : un deuxième modèle} \medskip En 1840, Pierre François Verhulst propose un modèle différent selon lequel les taux de natalité et de mortalité dépendent de la population. On note $v_n$ la population de bactéries dans ce milieu $n$ heures après l'introduction de $v_0 =200$ bactéries, et on admet que, pour tout entier naturel $n$ : \[v_{n+1} = 1,12v_n - \np{0,0001}v_n^2.\] \smallskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme ci-dessous: \begin{enumerate} \item Compléter le deuxième tableau de l'annexe 2 en exécutant cet algorithme à la main. Les résultats seront donnés à l'entier près. \item À la fin de son exécution, la variable $N$ contient la valeur $34$. Quel est le rôle de cet algorithme ? Comment peut-on interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice ? \end{enumerate} \item Le graphique ci-dessous donne la représentation des premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$. Que peut-on conjecturer quant à l'évolution de cette population à long terme ? \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme}}&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Graphique}}\\ \hline \begin{tabular}{|l|}\hline $V \gets 200$\\ $N \gets 0$\\ Tant que $V < \np{1100}$\\ \quad $V \gets 1,12\times V - \np{0,0001}\times V^2$\\ \quad $N \gets N + 1$\\ Fin Tant que\\ \hline \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \multicolumn{1}{c}{~}\\ \end{tabular} &\psset{xunit =0.1cm,yunit=0.005cm} \begin{pspicture}(-15,-50)(70,1450) \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,1400)} \multido{\n=0+200}{8}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(70,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200](0,0)(0,0)(70,1400) \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,200)(5,315.827)(10,469.518)(15,646.44)(20,818.398)(25,958.965)(30,1057.82)(40,1156.19)(50,1187.43)(60,1196.47)(70,1199.01) \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points} \bigskip \textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E) :\qquad 5y' + 7,9y = 0\] \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$, définie sur $[0~;~ +\infty[$, qui vérifie la condition : $f(0) = 0,001$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : loi de Lambert Beer} \medskip Un faisceau lumineux incident, d'intensité $I_0$, traverse une solution contenue dans un tube transparent. À la sortie du tube, l'intensité $I$ du faisceau lumineux est mesurée par un détecteur. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,3) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=lightgray](0,1.4)(2.5,1.4)\psline{->}(0.8,1.2)(1.5,1.2) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=lightgray](3.5,1.4)(6,1.4)\psline{->}(4.3,1.2)(5,1.2) \uput[u](1.15,1.2){$I_0$}\uput[u](4.65,1.2){$I$} \psline(2.5,2.4)(2.5,0.5)\psline(3.5,2.4)(3.5,0.5) \psarc(3,0.5){0.5}{180}{360} \pscustom[fillstyle=vlines] {\psline(2.5,2)(2.5,0.5) \psarc(3,0.5){0.5}{180}{360} \psline(3.5,0.5)(3.5,2) } \end{pspicture} \end{center} La loi de Lambert Beer décrit l'intensité $I$ du faisceau lumineux à la sortie en fonction de l'intensité du faisceau incident $I_0$, de la concentration $c$ de la substance absorbante et de l'épaisseur $d$ du milieu traversé par la lumière selon la relation: \[I(c) = I_0\text{e}^{-\epsilon dc}\quad \text{où }\: \epsilon\:\text{ est le coefficient d'extinction molaire du soluté.}\] Initialement, la cuvette ne contient que du solvant ($c =0$ mol.L$^{-1}$), on augmente la concentration de la substance en ajoutant du soluté de façon continue. Dans cette expérience : \setlength\parindent{1.25cm} \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item l'épaisseur $d$ du milieu traversé est de 1 cm \item le coefficient d'extinction molaire $\epsilon$ du soluté est de 1,58 L.mol$^{-1}$.cm$^{-1}$ \item l'intensité du faisceau incident est $I_0 = 0,001$ W.sr$^{-1}$ (Watt par stéradian) \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $l$, fonction de la variable $c$, ainsi définie est la solution particulière de l'équation différentielle (E) déterminée dans la question 2 de la partie A. \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, on prendra $I(c)=0,001 \e^{-1,58 c}$. \begin{enumerate}[resume] \item Étudier sur $[0~;~ +\infty[$, les variations de la fonction $I$. Est-ce cohérent avec le contexte ? Justifier. \item Déterminer la valeur exacte, puis arrondie à $0,01$ mol.L$^{-1}$, de la concentration $c$ permettant de récupérer 75\,\% de l'intensité du faisceau incident à la sortie de la cuvette. \item L'absorbance de la substance est définie par $A(c) = \ln{}\left( \dfrac{I_0}{I(c)}\right)$. Donner, sous forme simplifiée, l'expression de l'absorbance en fonction de $c$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : valeur moyenne} \medskip On admet que l'intensité moyenne du faisceau lumineux lorsque la concentration varie de 0,5 mol.L$^{-1}$ à 1,3 mol.L$^{-1}$ est égale à : $m = \dfrac{5}{4}\displaystyle\int_{0,5}^{1,3} I(c)\:\text{d}c$. Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près, de $m$. \newpage \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 1 ( à rendre avec la copie)} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 2} Question 1 \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ en heures &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $N_i$ &170 &102&63 &39 &24 &16 &9\\ \hline $z_i = \ln{}\left(N_i\right)$&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Questions 2. et 4. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,6) \psgrid[xunit=1cm,yunit=0.75cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray](-1,-1)(9,12) \psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.5)(9,6) \uput[u](8.9,0){$t$} \uput[l](0,5.9){$z$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{center} \textbf{\large ANNEXE 2 ( à rendre avec la copie)} \end{center} \textbf{Exercice 3} Partie A, question 2. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0 &1 &5 &10 &20 &40 &60 &100\\ \hline $u_n$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip Partie B, question 1. a. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $V$ &200& & & &\\ \hline $N$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline \end{tabularx} \end{document}