\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{colortbl} \usepackage{pifont} %\usepackage[squaren,Gray]{SIunits} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-func,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{fp,multido} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \def\e{\text{e}} \usepackage{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{babel} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STL Biotechnologies}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 26 novembre 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Sciences et technologies de laboratoires biotechnologies} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{26 novembre 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL biotechnologies Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[4pt]26 novembre 2019 }} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Une certaine quantité de pénicilline est injectée dans le sang d’un patient. On suppose que l’injection est instantanée et que la vitesse de son élimination est proportionnelle à la quantité restant dans le sang. On note $t$ le temps écoulé, en minute, après injection de la pénicilline, et $f(t)$ la quantité, en milligramme, de pénicilline présente dans le sang à l’instant $t$. La fonction $f$, ainsi définie, est solution de l’équation différentielle \[(E):\quad y'=-0,04y.\] Dans cet exercice, la quantité de pénicilline injectée est inconnue, mais on sait que le sang du patient contenait \np[mg]{3,03} de pénicilline, $40$ minutes après injection. \medskip \emph{Tous les résultats seront arrondis à $0,01$ près.} \medskip \textbf{Partie A – Solution de l’équation différentielle} \medskip \begin{enumerate} \item Donner l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $(E)$ définies sur $[0~;~+\infty[$. \item Déterminer l’unique solution $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$, de l’équation différentielle $(E)$ qui vérifie \mbox{$f(40) = 3,03$}. \end{enumerate} \medskip Pour la suite de l’exercice, on prendra $f(t)=15\,\e^{-0,04t}$. \medskip \textbf{Partie B – Étude de la fonction f} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la quantité de pénicilline initialement injectée dans le sang du patient ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Déterminer $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t)$. \end{enumerate} \item Déterminer, par le calcul, la durée pendant laquelle la quantité de pénicilline dans le sang sera strictement supérieure à \np[mg]{0,1}. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C – Quantité moyenne de pénicilline} \medskip L’utilisation d’un logiciel de calcul formel nous donne les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabular}[]{|c|m{4.9cm}|} \hline 1&\begin{minipage}[]{4.8cm} $ f(t)=15*\text{exp}(-0.04t)$ $\longrightarrow f(t)=15 \e^{\tfrac{1}{25}t}$\end{minipage}\\ \hline 2&Intégrale$(f,0,30)$ $\approx \np{262.05}$ \\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer, par le calcul, le résultat obtenu à la ligne 2. \item La quantité moyenne de pénicilline dans le sang du patient pendant les 30 premières minutes peut être obtenue grâce à l’expression suivante : \[ \displaystyle \dfrac{1 }{30}\int_0^{30}f(t)\mathrm{d}t\] Déterminer la quantité moyenne de pénicilline présente dans le sang du patient étudié lors des 30 premières minutes. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \emph{Toutes les représentations graphiques seront réalisées sur l’annexe de la page \pageref{annexe}.} \medskip \textbf{Partie A – Présentation de l’étude} \medskip Un objet est vidéoprojeté, en trois dimensions, à une distance comprise entre 2 et 10 mètres. L’expérience, étudiée dans cet exercice, consiste à demander à une personne d’estimer la distance à laquelle se trouve l’objet. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{3.85cm}|*{10}{c|}} \hline Distance réelle en m ($x_i$)&2& 2,5& 3& 3,5& 4& 5 &6 &7& 8& 10\\\hline Distance perçue en m ($y_i$)&1,9& 2,4& 2,8& 3,3& 3,7& 4,3& 4,7& 5& 5,4 &6\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle remarque peut-on faire sur la perception des distances ? \item Représenter le nuage des points de coordonnées $(x_i~;~y_i$) dans le repère en annexe,\textbf{ à rendre avec la copie.} \end{enumerate} \textbf{Partie B – Étude d’un premier modèle : la loi de Stevens} \begin{enumerate} \item On pose $t_i=\ln(x_i)$ et $z_i=\ln(y_i)$ \begin{enumerate} \item Compléter le tableau donné en annexe. On arrondira les valeurs à 0,1 près. \item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $z$ en $t$ par la méthode des moindres carrés sous la forme $z = at + b$. Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à 0,01 près. \end{enumerate} \item À l’aide de la question précédente, déterminer une relation entre $y$ et $x$ sous la forme $y=\alpha\e^{\beta t}$ où les coefficients $\alpha$ et $\beta$ seront arrondis à 0,01 près. \medskip Dans la suite de cette partie, on prendra la relation : \[y=1,25x^{0,72}\] Cette relation est appelée loi de Stevens. La courbe d’équation $y=1,25x^{0,72}$ est donnée en annexe. \item Selon ce modèle, déterminer la distance réelle, arrondie à 0,1 mètre, à laquelle serait placé un objet perçu à \np[m]{7}. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C – Étude d’un second modèle : le modèle logarithmique inspiré de la loi de Fechner} \medskip Le modèle logarithmique propose une autre relation entre la distance perçue et la distance réelle. Dans la situation étudiée, on a : \[y=2,6\ln(x)+0,1 .\] \begin{enumerate} \item Tracer sur le repère de l’annexe, la courbe d’équation $y=2,6\ln(x)+0,1$. \item Comparer les deux modèles. Argumenter votre réponse. \item Selon ce modèle, déterminer la distance réelle, arrondie à 0,1 mètre, à laquelle serait placé un objet perçu à \np[m]{7}. \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip La farine de blé est classée selon des \og types\fg{} définis en fonction du taux de cendres, c'est-à-dire en fonction du taux de minéraux présents dans la farine. Cette teneur en matière minérale est obtenue en brûlant de la farine et en rapportant la masse du résidu de cendres à la masse de farine brûlée. Quelques exemples de types de farines sont répertoriés dans le tableau ci-dessous : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Type de farine&Taux de cendres en \,\% &Nom commun\\\hline T55&entre 0,5 et 0,6&farine blanche\\\hline T65&entre 0,62 et 0,75&farine bise\\\hline T80&entre 0,75 et 0,9&farine semi-complète\\\hline T110&entre 1 et 1,2&farine complète\\\hline \end{tabularx} \smallskip L’exercice porte sur l'étude de la production de la \textbf{farine complète} d'une minoterie (établissement dans lequel sont préparées les farines de céréales). \medskip \emph{Tous les résultats seront arrondis à 0,001 près.} \emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \textbf{Partie A – Loi normale} \medskip Soucieuse de la qualité de la production de sa \textbf{farine complète}, la minoterie décide de procéder à un contrôle du taux de cendres. Celui-ci consiste à choisir au hasard un paquet de farine, à en prélever \np[g]{100}, à le brûler et enfin à en mesurer la masse de cendres. Le paquet est considéré comme \textbf{conforme} si le taux de cendres est celui répertorié ci-dessus. \begin{enumerate} \item Montrer que le paquet de farine complète de la production est conforme si la masse du résidu de cendres est comprise entre \np[mg]{1000} et \np[mg]{1200}. \item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un prélèvement de \np[g]{100} d’un paquet de farine, associe la masse du résidu obtenu en mg. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance \np{1100} et d'écart-type 40. Déterminer la probabilité qu'un paquet pris au hasard dans la production de farine complète soit con\-forme. \item La minoterie affirme que sa production ne contient pas plus de 5\,\% de paquets de farine complète non conformes. Or, lors d'un contrôle qualité sur un échantillon de 150 paquets, on observe 10 paquets de farine complète non conformes. \begin{enumerate} \item Indiquer si les conditions $n\geqslant30$, $np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$ sont satisfaites. \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de paquets de farine complète non conformes dans un échantillon de 150 paquets prélevés. \item Énoncer la règle de décision sur l'hypothèse selon laquelle 5\,\% des paquets de farine complète de la minoterie sont non conformes. \item Conclure sur l’affirmation de la minoterie. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B – Loi binomiale} \medskip On admet que 5\,\% des paquets de la production de farine complète ne sont pas conformes. On choisit, au hasard, un lot de 100 paquets de farine complète dans la production. On admet que la production est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 100 paquets. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 paquets de type T110, associe le nombre de paquets non conformes. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 paquets non conformes. \item Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 96 paquets conformes. \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(X \leqslant 3)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. \item En déduire $P(X\geqslant 4)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip La consommation finale brute d’énergie représente la consommation totale d’énergie sur une année, elle est exprimée en tonnes-équivalent-pétrole : TEP. \begin{minipage}[]{7cm} En France, la part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie a progressé selon les données du tableau ci-contre : \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[]{7cm} \begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|} \hline &2015&2016\\\hline Part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie (en \,\%)&15,2&16,52\\\hline \end{tabular} \end{minipage} \medskip La directive 2009/28/CE du Parlement européen relative à la promotion de l'utilisation de l’énergie produite à partir de sources renouvelables définit pour chaque pays de l’Union européenne l’objectif à atteindre concernant la part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie. L’objectif de la France est d’atteindre une part d’énergies renouvelables dans la consommation finale brute de 30\,\% en 2023. \medskip \emph{Tous les résultats seront arrondis à 0,01 près.} \medskip \textbf{Partie A – Modélisation à partir de 2015} \medskip À partir de 2015, la part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie augmente environ de 8,7 \,\% par an. On désire modéliser la situation par une suite $\left(u_n\right)$, $u_n$ représentant la part des énergies renouvelables en $(2015+n)$. Ainsi $u_0=15,2$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $u_1 \approx 16,52$ . \item Calculer $u_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \item Justifier que la suite est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. \item Donner, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire la part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie en 2020. \item \begin{enumerate} \item Déterminer à partir de quelle année la part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie dépassera 30\,\% (justifier en explicitant la méthode utilisée). \item L’objectif fixé à la France par cette directive est-il atteint ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée du terme de la suite $\left(u_n\right)$ correspondant à l’année 2038. \item Que peut-on en déduire sur la viabilité de ce modèle à long terme ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B – L’objectif pour 2035} \medskip L’objectif fixé par l’Union européenne est qu’en 2035 la part des énergies renouvelables soit de 40\,\%. On estime qu’à partir de 2015 la part des énergies renouvelables dans la consommation finale brute d’énergie doit augmenter de 28\,\% \textbf{tous les cinq ans}. On considère l’algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline $u\leftarrow 15,2$\\ Pour $n$ allant de 1 à 4\\ \hspace{2em}$u\leftarrow u\times 1,28$\\ Fin Pour\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de la variable $u$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ? \item Interpréter ce résultat compte tenu de l’objectif fixé pour la France en 2035. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 2} Partie B, question \textbf{1.a.} \medskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{2cm}|*{10}{c|}} \hline $t_i=\ln \left(x_i\right)$&0,7 &0,9&1,1&1,3&1,4&1,6&1,8&1,9&2,1&2,3\\\hline $z_i=\ln \left(y_i\right)$ & & & & & & & & & &\\\hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \textbf{Partie A, question 2.} \textbf{Partie C, question 1.} \bigskip \rput{90}(8.5,-8){\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.6cm,showorigin=false} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(11,8) \multido{\n=-0.4+0.2}{55}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-0.5)(\n,6.6)} \multido{\n=-0.4+0.2}{36}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-0.5,\n)(10.6,\n)} \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,6.6)} \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(10.6,\n)} \psaxes[linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(10.61,6.6) \def\courbe{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 0.72 exp 1.25 mul}} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 0.72 exp 1.25 mul} \uput[ul](10.5,0){\footnotesize Distance réelle en m} \uput[r](0,6.4){\footnotesize Distance perçue en m} %\uput[r](8,6.4){\blue\footnotesize $y=1,25x^{0,72}$} \pstextpath[r](0.5,0.2){\courbe}{\blue\footnotesize $y=1,25x^{0,72}$\qquad\qquad} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture}} \label{annexe} \end{document}