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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL La Réunion  juin 2009~\decofourright\\[4pt] Biochimie--Génie biologique}} 
    
\vspace{0,25cm}

Calculatrice et formulaire autorisés 

\vspace{0,25cm}

Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient  : 2

\end{center}

\vspace{0.5cm} Attention : Le texte encadré ci-dessous est commun aux exercices indépendants 1 et 2

\vspace{0.15cm} 

\begin{tabular}{|p{13.5cm}|}\hline
\emph{L'Artemia salina} est un petit crustacé qui fait partie du plancton marin. Ses qualités nutritionnelles en font une nourriture de choix pour la plupart des écloseries de poissons dans le monde.\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

Dans des conditions physico-chimiques appropriées (pH, température, oxygénation, éclairage),
un magasin d'aquariophilie fait l'élevage des Artemia.

\medskip

À l'aide d'un appareil à imagerie numérique (Zooscan), on a pu mesurer, pour des temps $t_{i}$ exprimés en jours, le nombre $N_{i}$ d'\emph{Artemia} exprimé en centaines :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$& 0& 3	& 6	& 9		& 12 &15	& 18	& 21	& 24\\ \hline
$N_{i}$& 5& 20	& 50& 150	& 370& 610	& 740	& 800	& 820\\ \hline

\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  On pose : $y_{i} = \ln \left(\dfrac{825}{N_{i}} - 1 \right)$.

Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-1}$ près :

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$&0	&3	&6	&9	&12 &15	& 18&21	&24\\ \hline
$y_{i}$&5,1	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~ y_{i}\right)$ dans un repère orthonormé d'unité graphique 1~cm.
		\item Calculer les coordonnées, arrondies à $10^{-1}$ près, du point moyen G du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer la droite (D) passant par G et le point A(0~;~5,1).
		\item  Déterminer son équation sous la forme $y = at + b$. On donnera les valeurs de $a$ et de $b$ arrondies à $10^{-1}$ près.
 	\end{enumerate}
\item On admet que la droite (D) constitue un ajustement convenable du nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le nombre d'Artemia que l'on peut prévoir au bout de 10 jours d'élevage.
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
En utilisant l'équation de la droite (D) et la relation $y = \ln\left(\dfrac{825}{N} - 1\right)$, 
 démontrer que le nombre $N$ d'Artemia que l'on peut prévoir après $t$ jours d'élevage est donné en centaines par la formule : $N(t) = \dfrac{825}{1 + \text{e}^{-0,4t + 5,1}}$.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(t) = \dfrac{825}{1 + 164\text{e}^{-0,4t}}.\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
		
En déduire l'existence d'une asymptote $(\Delta)$ pour la courbe ($\mathcal{C}$) de $f$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(t) = \dfrac{\np{54120}\text{e}^{-0,4t}}{\left(1 + 164\text{e}^{-0,4t}\right)^2}$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+\infty[$.
	
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur 
$[0~;~+\infty[$.
    \end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 12,75. On arrondira cette valeur à l'unité.
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir le résultat à l'unité):
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$&0	&3	&6	&9	&12	&15	&18	&21	& 24\\ \hline
$y_{i}$& 5	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item  Construire dans un même repère la courbe $(\mathcal{C})$, l'asymptote $(\Delta)$ et la tangente (T) en prenant 1~cm pour 1~unité en abscisse et 1~cm pour 50~unités en ordonnée.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B}  On modélise l'évolution de la population d'\emph{Artemia salina} par la fonction $f$.
	
\medskip

\begin{enumerate}
\item  En utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ déterminer au bout de combien de temps la population aura atteint \np{41250}~individus.
\item  Retrouver par le calcul ce résultat. On donnera la valeur exacte de la solution puis une
valeur arrondie à $10^{-2}$.
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Comment interprétez-vous les résultats des questions A. 1. a. et A. 1. b. ?
\end{enumerate}
\end{document}