\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{19 juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biochimie--Génie biologique~\decofourright\\[4pt]Métropole 19 juin 2009}} \vspace{0,25cm} Calculatrice autorisée \vspace{0,25cm} Durée de l'épreuve : 2 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Questionnaire à choix multiples :} \medskip \emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point. } \medskip \emph{On inscrira sur la copie le numéro et les lettres de la réponse choisie. } \medskip \textbf{A.} Dans une entreprise de 200~employés, on dénombre 108~femmes, 100~cadres et 25~femmes cadres. On choisit, au hasard, une personne de cette entreprise. Chaque personne a la même probabilité d'être choisie. \begin{enumerate} \item La probabilité que ce soit une femme est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{27}{50}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{1}{108}$&\textbf{c.}\quad environ 0,009\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que ce soit une femme ou un cadre est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{208}{200}$&\textbf{b.}\quad $0,915$&\textbf{c.}\quad $0,165$\\ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité que ce soit un homme est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $0,46$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{108}{200}$&\textbf{c.}\quad 0,54\\ \end{tabularx} \medskip \item On choisit maintenant une femme. La probabilité qu'elle ne soit pas cadre est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{83}{108}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{1}{83}$&\textbf{c.}\quad 0,415\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \medskip \medskip \textbf{B.} Quelle est la limite en $+ \infty$ des fonctions proposées ? \medskip \begin{enumerate} \item $f(x) = - 2 + 4\text{e}^{2x}$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $-2$&\textbf{b.}\quad $+ \infty$&\textbf{c.}\quad $- \infty$\\ \end{tabularx} \item $g(x) = x\left(3 - \dfrac{\ln x}{x} \right)$ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $+ \infty$&\textbf{b.}\quad $- \infty$&\textbf{c.}\quad $3$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \textbf{C.} Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 3$ et de raison $q = 0,5$. \begin{enumerate} \item Le terme $u_{3}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{3}{8}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{27}{8}$&\textbf{c.}\quad 4,5\\ \end{tabularx} \medskip \item La somme $S_{3} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.}\quad $\dfrac{45}{8}$&\textbf{b.}\quad $\dfrac{15}{8}$&\textbf{c.}\quad $\dfrac{7}{4}$\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Deux étudiants ont pesé la masse d'une culture de levure de boulangerie (\emph{saccharomyces cerevisiae}) et ont noté la mesure $m_{i}$ de cette masse aux instants $t_{i}$. \medskip L'expérience a duré 8 heures. Ils ont obtenu les résultats suivants : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$ (en heures) &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $m_{i}$ (en grammes)&0,60 &0,69 &0,75 &0,88 &0,99 &1,06 &1,21 &1,43 &1,57 \\ \hline \end{tabularx} \medskip Les deux étudiants cherchent à modéliser la croissance de cette levure, c'est-à-dire à exprimer l'évolution de $m$ en fonction de $t$, au moyen d'une fonction dont la courbe est \og voisine \fg{} du nuage de points obtenu expérimentalement et qui est représenté sur le graphique donné en annexe. Celui-ci sera complété dans la \textbf{partie B} et rendu avec la copie. \medskip \textbf{Dans toute la suite les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-2}$ près.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le premier étudiant pense à un ajustement affine, mais comme le résultat ne lui semble pas satisfaisant. Il décide d'utiliser un changement de variable. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant dans lequel $\ln m_{i}$ désigne le logarithme népérien de $m_{i}$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_{i}$ (en heures)& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline $y_{i} = \ln m_{i}$&$-0,51$ & & & & & & & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Représenter le nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $\left(t_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal. Unités graphiques : 2~cm pour 1~heure en abscisses, 1~cm pour $0,1$ en ordonnées. \item Tracer la droite (D) passant par les points $M_{0}$ et $M_{8}$ d'abscisses respectives $0$ et $8$ et déterminer son équation sous la forme $y = at + b$. On admet dans la suite de cette partie que cette droite donne une approximation satisfaisante du nuage de points $M_{i}$. \item En déduire l'expression de $m$ en fonction de $t$. Montrer qu'elle peut s'écrire : \[m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t} \qquad (1) \] \item Déterminer à quel instant, selon ce modèle (1), la masse $m$ de levure aura atteint trois grammes. On donnera le résultat en heures et minutes. \item Quelqu'un affirme que, selon ce modèle, la masse de levure augmente chaque heure d'une même quantité. Est-ce exact ? On justifiera la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le deuxième étudiant se souvient que, dans des cas comparables qu'il a déjà rencontrés, la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité de matière qui se reproduit. Il cherche donc une fonction solution de l'équation différentielle : \[m'(t) = c m(t) \quad \text{où }\: c\: \text{ est un nombre réel.}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus. \item Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution $m(t)$ qui vérifie les conditions $m(0) = 0,60$ et $m(8) = 1,57$. \end{enumerate} \item On admet que la fonction ainsi obtenue peut s'écrire (après arrondi) : \[m(t) = 0,6\text{e}^{0,12t} \qquad (2) \] \begin{enumerate} \item Calculer $m'(t)$. En déduire le sens de variation de $m$ lorsque $t$ varie de 0 à 8. \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ obtenue avec ce modèle (2) sur le graphique de l'annexe. Tracer la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ et expliquer comment elle a été tracée. \item Sachant que $m'(t)$ représente la vitesse instantanée (en g/h) d'augmentation de la masse, calculer la vitesse à l'instant $0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe} \vspace{0,5cm} \textbf{à rendre avec la copie d'examen} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft}\textbf{Évolution de la masse de levure en fonction du temps}\end{flushleft} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=6cm} \begin{pspicture}(-1,-0.1)(9,2.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-1,-0.1)(9,2.2) \multido{\n=-1+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,2.2)} \multido{\n=-0.1+0.1}{24}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1,\n)(9,\n)} \uput[u](8,0){$t$ en heures} \uput[r](0,2.1){$m$ en grammes} \uput[dl](0,0){O} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0.6)(1,0.69)(2,0.75)(3,0.88)(4,0.99)(5,1.06)(6,1.21)(7,1.43)(8,1.57) \end{pspicture} \end{center} \end{document}