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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{ juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Polynésie  juin 2012 \decofourright\\Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

En 2010, un groupe pharmaceutique spécialisé dans la recherche et le développement de médicaments emploie \np{13000}~personnes dans le monde, dont \np{1800} dans des laboratoires en France. Ces employés se repartissent dans l'administration, la vente et la recherche.
 
Parmi le personnel en France :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 62\,\% sont des femmes, 
\item[$\bullet~~$] il y a autant d'hommes que de femmes dans l'administration, 
\item[$\bullet~~$] le département de la recherche regroupe 400 personnes dont 40\,\% sont des femmes, 
\item[$\bullet~~$] parmi les personnes chargées de la vente, 150 sont des hommes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Quel pourcentage du groupe pharmaceutique représente le groupe français ? 
Donner le résultat arrondi à 0,1\,\% près. 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Personnel en France &\footnotesize Administration &Vente &Recherche &Total\\ \hline 
Femmes&&&&\\ \hline 
Hommes&&&&\\ \hline 
Total&&&& \np{1800}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\emph{Pour toute la suite, on arrondira tous les résultats à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath près.}
 
\item On choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant 
la même probabilité d'être choisies. On considère les évènements :
 
$F$ : \og la personne est une femme \fg
 
$A$ : \og la personne travaille dans l'administration \fg 

$V$ : \og la personne s'occupe des ventes \fg
 
$R$ : \og la personne est dans la recherche \fg
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(F), p(R)$. 
		\item Citer deux évènements incompatibles. Justifier. 
		\item Définir par une phrase les évènements : $F \cap  A,\:\: \overline{F} \cap  R$ et $F \cup V$.
		 
Calculer la probabilité de ces évènements.
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard une personne parmi le personnel chargé de la vente.
 
Quelle est la probabilité que ce soit une femme ? 
\item En 2010, ce groupe pharmaceutique a investi 5,2~milliards de dollars dans la recherche soit 16\,\% de son chiffre d'affaires. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est son chiffre d'affaires ? 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
Dès l'année 2011, et chaque année suivante, le groupe prévoit d'augmenter de 10\,\% son chiffre d'affaires.
 
En quelle année, le groupe aura-t-il, pour la première fois, doublé son chiffre d'affaires de 2010 ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

La souche d'\emph{Acetobacter} est cultivée dans un milieu liquide contenant les substrats appropriés et de l'acide para-aminobenzoïque (PABA), indispensable à cette bactérie. On étudie la croissance de cette souche.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne le nombre $n_{i}$ de bactéries par unité de volume à différents temps de culture $t_{i}$ (en heures).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline 
$n_{i}$&$1,38 \times 10^5$ &$2,51 \times 10^5$ &$5,75 \times 10^5$ &$1,32 \times 10^6$ &$3,02 \times 10^6$ &$6,92 \times 10^6$ &$1,51 \times 10^7$ &$2,51 \times 10^7$\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$&&&&&& 15,7&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$. Compléter le tableau sur la feuille annexe, les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au dixième.
\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal ; on prendra pour origine le point de coordonnées (4~;~9) et pour unités : 1~cm pour 1~heure en abscisse et 2~cm pour 1~unité en ordonnée.
\item On désigne par $G_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par $G_{2}$ celui des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique. 
		\item Déterminer une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme $z = at + b$ où $a$ sera arrondi à $10^{-2}$ près et $b$ sera arrondi à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate} 
\item On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points. On prendra comme équation réduite de cette droite : $z = 0,78t + 8,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par un calcul, le nombre de bactéries au bout de 12 heures. 
		\item Déterminer, par une lecture graphique, à partir de quelle heure le nombre de bactéries dépasse 300~millions.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Une étude mathématique différente conduit à supposer que la fonction $N$ qui, à $t$ (exprimée en heures), associe le nombre de bactéries $N(t)$, est solution de l'équation différentielle : 

\[N'(t) = 0,78N(t).\]
 
Le nombre de bactéries à l'instant initial est de \np{5432}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus. 
		\item Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution $N$ qui vérifie la condition $N(0) = \np{5432}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $N$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[N(t) = \np{5432}\text{e}^{0,78t}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $N$ en $+ \infty$. 
		\item Calculer $N^{\prime}(t)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $N$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de la fonction $N$ au point d'abscisse 6. On arrondira à l'unité près. 
		\item Sachant que $N'(t)$ représente la vitesse instantanée de formation des bactéries, déterminer cette vitesse à l'instant $t = 6$ heures.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer à partir de quel instant $t$, exprimé en heures, le nombre de bactéries dépasse 300~millions.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
 
Exercice 2

\vspace{1cm}
 
Partie A question 1.

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline 
$n_{i}$&$1,38 \times 10^5$ &$2,51 \times 10^5$ &$5,75 \times 10^5$ &$1,32 \times 10^6$ &$3,02 \times 10^6$ &$6,92 \times 10^6$ &$1,51 \times 10^7$ &$2,51 \times 10^7$\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$&&&&&& 15,7&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}