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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Métropole juin 2012 \decofourright\\[4pt]Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un QCM, questionnaire à choix multiple. Chaque question est indépendante et comporte $4$ réponses possibles parmi lesquelles une seule est correcte. Aucune justification n'est demandée. Le candidat doit recopier cette réponse sur sa copie face au numéro de la question.\\ 
Une bonne réponse trouvée rapporte $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $4y^{\prime\prime} +  y = 0$. 

Pour toute solution $f$ de cette équation, on peut trouver des réels $A$ et $B$ tels que, pour tout réel~r$x$, 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x) = A\cos \left(\dfrac{1}{4}x\right) + B \sin \left(\dfrac{1}{4}x\right)$&
\textbf{c.~~} $f(x) = A\cos \left(\dfrac{1}{2}x\right) + B \sin \left(\dfrac{1}{2}x\right)$\\ 
\textbf{b.~~} $f(x)~A \cos(4x) + B \sin (4x)$&\textbf{d.~~}$f(x) = A \cos (2x) + B \sin (2x)$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&0&2&5\\ \hline
probabilité&0,12 &0,70 &0,18\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Les affirmations suivantes concernent des valeurs approchées à $0,01$ près de l'espérance mathématique E $(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ de $X$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~}  E$(X) \approx  2,3$  et  $\sigma(X) \approx  2,01$& \textbf{c.~~} E$(X) \approx 2,3$ et $\sigma(X) \approx 1,42$\\ 
\textbf{b.~~} E$(X) \approx 2,42 $  et  $\sigma(X) \approx 7,30$&\textbf{d.~~} E$(X) \approx 2,2$  et  $\sigma(X) \approx 1,52$\\
\end{tabularx} 
\medskip

\item L'équation $\ln ( x + 3) + \ln (2x - 1) = \ln 9$, dans laquelle $\ln$ désigne le logarithme népérien, a pour ensemble de solutions : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $S = \{- 4\}$ 				&\textbf{c.~~} $S = \left\{\dfrac{3}{2}~;~- 4\right\}$\\ 
\textbf{b.~~} $S = \left\{- \dfrac{5}{4}\right\}$ &\textbf{d.~~}$S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 

\item L'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \text{e}^{- x}\:\text{d}x$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $I =0$.&\textbf{c.~~} $I = 0,75$.\\
\textbf{b.~~} $I = 0,5$.&\textbf{d.~~} $I = - 0,5$.\\
\end{tabularx} 
\medskip 

\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2 \ln \left(\text{e}^x + 1\right)$ a pour dérivée la fonction $f^{\prime}$ définie par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
\textbf{a.~~}  $f'(x) = \dfrac{2}{\text{e}^x + 1}$&\textbf{c.~~} $f'(x) = 2\left(\text{e}^x + 1\right)$\\ 
\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$&\textbf{d.~~} $f'(x) = \text{e}^x + 1$.
\end{tabularx}
\medskip
  
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :
 
\[z^2 - 6z + 13 = 0\] 

On donnera les éventuelles solutions sous forme algébrique. 
\item On définit le polynôme $P$ par : 

\[P(z) = z^3 - 7z^2 + 19z - 13\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(1)$. 
		\item Trouver trois réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout complexe $z$ : 

\[P(z) = (z - 1)\left(az^2 + bz + c\right).\]
 
		\item Résoudre alors l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. On prendra comme unité graphique 2~cm. Placer les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = 3 - 2\text{i} \quad \text{et}\:\: z_{\text{C}} = 1.\]
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AB, AC et BC. 
		\item Déduire de ce qui précède que le triangle ABC est isocèle et rectangle en C. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D, quatrième sommet du parallélogramme ABCD. Placer le point D et représenter le parallélogramme ABCD. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (- 2x + 6)\text{e}^{-0,5x}.\]

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe.

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A\\Interprétations graphiques}
\end{center}
 
D'après le graphique observé,
 
\begin{enumerate}
\item 

Dresser un tableau de variation de $f$ 
Donner, en fonction de $x$, le signe de $f(x)$.
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie B\\ 
Résultats établis par le raisonnement ou le calcul}
\end{center}
 
\emph{Dans cette partie, on se propose d'établir par le calcul les résultats observés précédemment.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(x\text{e}^{-0,5x}\right) = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote?
	\end{enumerate} 
\item On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction! 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ est donnée par: 

\[f^{\prime}(x) = (x - 5)\text{e}^{- 0,5x}\]
 
		\item En déduire les variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Ces résultats confirment-ils les observations faites dans la partie A ? 
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $f(5)$. 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item  Ces résultats confirment-ils les observations faites dans la partie A ?
\end{enumerate} 

\begin{center}\textbf{Partie C}
\end{center}

On considère la portion de plan $\mathcal{P}$ comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{P}$ sur le graphique donné en annexe. 
\item On considère la fonction $F$,définie sur $\R$ par : $F(x) = (4x - 4)\text{e}^{-0,5x}$. Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Quelle est l'aire de $\mathcal{P}$ ? On l'exprimera en unités d'aire. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,12)
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\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}