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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Centres étrangers  -- 18 mai 2022}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 commun à tous les candidats (4 points)\\[7pt]LE CARBURE DE SILICIUM SIC\\[7pt](physique et mathématiques)}
\end{center}

\smallskip

Le carbure de silicium, de formule SIC, a été découvert par Jons Jacob Berzelius en 1824 lors d'une expérience pour synthétiser du diamant. Il est devenu un matériau
incontournable pour la fabrication d'instruments d'optique. Par exemple, il a été utilisé pour garantir la stabilité thermomécanique du télescope spatial infrarouge Hershel, développé par l'agence spatiale européenne et lancé en 2009. En particulier la face optique des miroirs peut être revêtue de carbure de silicium par dépôt chimique en phase vapeur (ou CVD pour l'anglais \og chemical vapor deposition \fg) afin de masquer toute porosité résiduelle et obtenir une surface polissable parfaite.

Dans ce procédé, un solide inerte servant de support est exposé à une ou plusieurs espèces chimiques en phase gazeuse qui se décomposent à sa surface pour former le matériau désiré. Parmi celles-ci, le méthyltrichlorosilane de formule CH$_3$SiCl$_3$ est très souvent choisi. Par la suite, pour des raisons de simplification, il sera noté MTS.

\medskip

On considère une enceinte vide, de volume constant, thermostatée à la température
$T_2 = \np{1200}$ K, dans laquelle, au temps $t = 0$ min, on introduit une certaine quantité de MTS. 

À cette température, la transformation permettant la formation de carbure de silicium peut être considérée comme totale.

L'équation de la réaction modélisant la transformation chimique au cours de laquelle le MTS se décompose est la suivante:

\[\text{CH}_3\text{SiCl}_3  \text{(g)} \to  \text{SiC}(s) + 3 \text{HCl (g)}\]

On suit par un procédé adapté l'évolution de la concentration en MTS au cours du temps.
On obtient ainsi le graphe suivant:

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=20cm}
\begin{pspicture}(-8,-0.05)(50,0.32)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.05](0,0)(0,0)(50,0.32)
\uput[u](45,0){$t$ (min)}
\rput{90}(-7,0.15){Concentration en MTS (mol.L$^{-1}$)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{50}{0.3 2.71828 0.035 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

D'après concours centrale-supélec 2016

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le temps de demi-réaction $t_{1/2}$ dans ces conditions expérimentales en expliquant votre démarche.
\item On rappelle que $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}$ avec $k$ la constante de vitesse de la réaction. 

Déterminer la valeur de $k$ dont on précisera l'unité.
\item Déterminer graphiquement la valeur de la vitesse de disparition du MTS à l'instant $t = 10$~min.
\item La vitesse de disparition du MTS est de $1,0 \times  10^{-2}$ mol.L$^{-1}$. min$^{-1}$ à $t = 1$ min et de $3,5 \times 10^{-3}$ mol.L$^{-1}$. min$^{-1}$ à $t = 30 $min.

Conclure en discutant de l'évolution au cours du temps de la vitesse de disparition du MTS lorsque la concentration évolue.
\end{enumerate}

On modélise la concentration en MTS exprimée en mol.L$^{-1}$. min$^{-1}$ en fonction du temps $t$ exprimé en minute, par la fonction $C$, définie sur l'intervalle [0~;~50] par:

\[C(t) = 0,30 \cdot \text{e}^{-0,035t}\]

\begin{enumerate}[resume]
\item On note $C'$ la fonction dérivée de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~50].
Déterminer l'expression de $C'(t)$ pour $t$ appartenant à [0~;~50].
\item On rappelle que la vitesse de disparition de MTS est égale à l'opposé de la fonction dérivée $C'$. On note $C''$ la fonction dérivée de $C'$.

On admet que $C''(t) = 3,675 \cdot 10^{-4}\text{e}^{-0,035t}$ pour $t$ appartenant à [0~;~50].

Etudier le sens de variation de la vitesse de réaction au cours du temps.

Comparer le sens de variation avec le résultat de la question 4.
\item On considère que la transformation chimique de décomposition de MTS peut être stoppée lorsqu'il ne reste que 10\,\% de la concentration initiale de MTS.

Déterminer l'instant $t$ à partir duquel la transformation chimique peut être stoppée. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à la minute près.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3  (4 points)\\[7pt](mathématiques)}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes.\\
Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions sont évaluées.\\
 Chacune d'elles est notée sur un point. Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.}

\medskip

\textbf{Pour les questions 1 et 2 uniquement:}

On donne, ci-dessous $\mathcal{C}_h$, la courbe représentative d'une fonction $h$, définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$. 

On a tracé une partie de la droite, notée $T$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $-2$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-5,-6)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=1pt,griddots=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-6)(6,4)
\uput[u](5.8,0){$x$}
\uput[r](0,3.75){$y$}
\psecurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6,-2.1)(-5,-2)(-4,-2.1)(-3,-2.5)(-2,-4)(-1.5,-4.5)(-1,-4.3)(0,-2.65)(1,-1)(2,0)(3,1)(4,1.8)(5,2)(6,1.9)
\uput[d](-4.5,-2){\blue $\mathcal{C}_h$}\uput[ur](-3,-2){$T$}
\psplot[linewidth=1.25pt]{-3.5}{-0.8}{2 x mul 8 add neg}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

Les points A$(-3~;~-2)$ et B$(-2~;~-4)$ appartiennent à la droite $T$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la droite $T$.
\item En déduire la valeur exacte de $h'(-2)$.
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite $T$ avec chacun des axes du repère.
\end{enumerate}

\textbf{Question 2 : exploitation du graphique}

\medskip

Soit $H$ une primitive de $h$ sur l'intervalle $[-5~;~5]$.

À l'aide du graphique, donner le sens de variation de la fonction $H$ sur l'intervalle 
$[-5~;~5]$.

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ suivante:

\[y' = -0,04y + 0,8 \qquad (E)\]

Déterminer $f$ la solution de l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle $[0~;+\infty[$, qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.

\medskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par 

\[f(x)= (x + 1)\e^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x) = -x\e^{-x}$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Pour les questions 5 et 6 uniquement :}

On note $L$ le niveau sonore en dB et $I$ l'intensité sonore en W $\cdot \text{m}^{-2}$ d'un son. On désigne par Log la fonction logarithme décimal. On a la relation suivante:

\[L = 10 \text{Log}\left(\dfrac{I}{I_0}\right), \quad\text{où}  \:I_0 =  10^{-12} \text{W}\cdot \text{m}^{-2}.\]

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le niveau sonore $L$ d'un son d'intensité sonore $I = 10^{-5}W\cdot \text{m}^{-2}$ ?
\item Une sirène d'alarme a un niveau sonore de $130$ dB.

Quelle est son intensité sonore $I$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6 :}

On souhaite faire baisser le niveau sonore de $10$ dB.

On note $L' = L - 10$ et on note $I'$ l'intensité sonore correspondant à $L'$.

C'est-à-dire :

\[L'= 10\text{Log}\left(\dfrac{I'}{I_0}\right).\]

Exprimer $I'$ en fonction de $I$.
\end{document}