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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  Métropole~\decofourright\\[5pt] 10 septembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\smallskip

Une entreprise fabrique en grande quantité des boîtes de Petri destinées à des laboratoires d'analyses microbiologiques.

Dans cet exercice, on étudie la qualité de la production de ces boîtes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'entreprise affirme que la probabilité qu'une boîte ait un défaut est égale à 0,03. On prélève au hasard $100$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$ boîtes, associe le nombre de boîtes présentant un défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $A$ : \og Le prélèvement contient exactement 4 boîtes ayant un défaut\fg.
\item  Déterminer la probabilité de l'évènement $B$ : \og Le prélèvement contient au plus 3 boîtes ayant un défaut \fg.
\end{enumerate} 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à une boîte de Petri prélevée au hasard, associe son diamètre en millimètre.
 
Le service qualité de l'entreprise estime que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 89,7$ et d'écart type $\sigma = 0,20$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(89,3 \leqslant Y \leqslant 90,1)$.
\item Déterminer la probabilité qu'une boîte de Petri ait un diamètre supérieur ou égal à $89,9$~mm.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
La machine de production a été réglée dans le but que 3\,\% au maximum des boîtes de Petri soient non conformes. On prélève un échantillon de $200$ boîtes de Petri et on constate que parmi celles-ci, 9 sont non conformes.
 
Suite à ce constat, doit -on accepter le réglage de cette machine ? Justifier.

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}  

\medskip
 
Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques destinés à fonctionner de manière continue. On a étudié la durée de vie, en jour, de ces composants.

La variable aléatoire $D$ associée à cette durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre 

$\lambda = \np{0,0005}$.

On rappelle que $P(D \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, on précisera si elle est vraie ou fausse en justifiant de manière claire et concise la réponse donnée.

\textbf{Affirmation 1 }: L'espérance de cette loi est égale à \np{2000}.

\textbf{Affirmation 2 }: La probabilité qu'un composant de ce type tombe en panne après les $500$ premiers jours est environ $0,221$.

\textbf{Affirmation 3 }: L'entreprise souhaite qu'au maximum 10\,\% des composants tombent en panne au cours de la période de garantie. Cette période de garantie doit être d'environ $210$ jours.

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip


Dans un laboratoire d'industrie laitière, on cultive une population de bactéries qui compte initialement \np{60000}~individus. On étudie l'évolution du nombre de bactéries en fonction du temps.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On émet l'hypothèse que la population augmente de 18\,\% toutes les heures et on modélise l'évolution de cette population par une suite $\left(u_n\right)$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de bactéries de la population étudiée après $n$ heures. On a alors $u_0 = \np{60000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les termes $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Exprimer alors $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer $u_6$ à l'unité près et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On souhaite déterminer à partir de combien d'heures la population de bactéries dépassera \np{200000}~individus. Pour cela, on utilise un algorithme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme de sorte qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le nombre d'heures cherché.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|c X|}\hline
\blue 1&$N \gets 0$\\
\blue 2&$U \gets \np{60000}$\\
\blue 3&Tant que $U < \ldots$ :\\
\blue 4&\hspace{0.3cm}|$N \gets N + 1$\\
\blue 5&\hspace{0.3cm}|$U \gets  \ldots$\\
\blue 6& Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Déterminer le nombre d'heures à partir duquel la population de bactéries dépassera \np{200000}.

Expliquer la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}  

\medskip

Des scientifiques étudient la croissance d'une plante vivace d'une variété donnée. Pour cela, ils ont relevé tous les mois la hauteur de plants témoins, mesurant tous $12$~cm au début de l'expérimentation.

Dans le tableau ci-dessous, $h$ désigne la hauteur moyenne des plants, exprimée en centimètre, au bout de $t$ mois.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ (exprimé en mois)			& 0 	&1 		&2 	&3 	&4 		&5 		&6\\ \hline
$h_i$ (exprimé en centimètre)	& 12 	&16,6 	&20 &22 &23,1 	&23,6 	&23,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur l'annexe le nuage de points $M_i\left(t_i~;~h_i\right)$ correspondant au tableau ci-dessus.
\item L'utilisation d'un ajustement affine du nuage de points semble-t-elle pertinente ?
\item On pose $y_i = \ln \left(\dfrac{24}{h_i} - 1\right)$.

Compléter la troisième ligne du tableau donné en annexe (arrondir les valeurs à $0,001$ près).
\item  On nomme $\mathcal{D}$ la droite d'ajustement de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

L'équation réduite de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = at + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. En utilisant la calculatrice, donner les valeurs de $a$ et $b$ à $0,001$ près.
\item  On admet que $h(t)  = \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8t}}$.

Estimer, au centimètre près, la hauteur du plant au bout de $10$ mois.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8x}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on admet que:

\[g'(x) = \dfrac{19,2\text{e}^{-0,8x}}{ \left(1 + \text{e}^{-0,8x}\right)^2}.\]

En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ puis interpréter graphiquement le résultat. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \text{e}^{-0,8x} = 0$.
		\item La taille de la plante pourra-t-elle atteindre 25 cm ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Annexe}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 4, question 1}

\medskip

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.75)(8.5,14.5)
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\multido{\n=0.5+1.0}{15}{\psline(0,\n)(8.5,\n)}
\end{pspicture*}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4, question 3}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$&0 	&1 		&2 	&3 	&4 		&5 		&6\\ \hline
$h_i$&12 	&16,6 	&20 &22 &23,1 	&23,6 	&23,8\\ \hline
$y_i$&		&		&	&	&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}