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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL) spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  ~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane  20 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}


L’utilisation d’un antiseptique permet de diminuer la population de bactéries.

 Le tableau ci-dessous donne le nombre de bactéries en fonction du temps en minutes.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{4.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Temps en minutes : $t_i$ &0 &2 &4 &6& 8& 10\\
\hline
Nombre de bactéries : $n_i$& \np{15 000}& \np{11 000} &\np{8 400}&\np{6 600}  &\np{5 500}& \np{4 600}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées $(t_i~;~n_i)$
en prenant \np[cm]{1}  pour 1 minute en abscisses et \np[cm]{1}  pour \np{1000} bactéries en ordonnées.
\item On estime qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. On choisit d’effectuer un changement
de variable en posant : $y_i=\ln(n_i)$
\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant dans l’\textbf{annexe à rendre avec la copie, page \pageref{annexe}}, en donnant
des valeurs approchées arrondies à 0,001 près des résultats.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Temps en minutes : $t_i$ &0& 2& 4& 6& 8& 10\\\hline
$y_i=\ln(n_i)$& 9,616&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres
carrés de $y$ en $t$. Les coefficients seront arrondis à 0,001.
\end{enumerate}

\item Dans la suite, on suppose que la droite d’ajustement affine de $y$ en $t$ obtenue par la méthode
des moindres carrés a pour équation $y=-0,12t+9,55$. 

On admet que le modèle reste valable au-delà de 10 minutes.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une estimation du nombre de bactéries au bout de 15 minutes. On arrondira
le résultat à la centaine près.
		\item Au bout de combien de temps peut-on estimer que le nombre de bactéries sera inférieur
à 100 ? On donnera le résultat à la minute près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 5 points}

\medskip

En décembre 2017, Vincent emprunte \np{5 000} \,\euro{} à ses parents pour acheter une voiture.

Il décide de les rembourser le premier jour de chaque mois. Le 1\up{er} janvier 2018, il effectue un
premier versement de 100\,\euro. Pour limiter la durée du prêt, il décide ensuite d’augmenter les
versements de 2\,\% chaque mois.
\begin{enumerate}
\item  Quel montant verse-t-il le 1\up{er} février 2018 ?
\item On modélise la situation par une suite $u$ On note $u_n$ le montant versé le n-ième mois. On a
donc $u_1=100$.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la suite $u$ est géométrique, préciser sa raison.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer, à 0,01 près, le montant que Vincent versera le 1\up{er} décembre 2018.
		\item Vincent aura-t-il remboursé un quart de ce qu’il doit à ses parents le 30 décembre 2018 ?
	\end{enumerate}
\item On considère l’algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$n \longleftarrow 1$\\
$u \longleftarrow  100$\\
$S \longleftarrow  100$\\
Tant que $S < \np{5000}$\\
\hspace{3em}$n \longleftarrow  n + 1$\\
\hspace{3em}$u \longleftarrow  1,02 \times u$\\
\hspace{3em}$S \longleftarrow  S + u$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item  Exécuter pas à pas cet algorithme en remplissant le tableau en\textbf{ annexe à rendre avec la
copie, page \pageref{annexe}}, avec les premières valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$.

 On arrondira les résultats au centime.
 
 \smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Valeurs de $n$	&1		&2	&3	&4\\\hline
Valeurs de $u$ 	&100	&	&	&\\\hline
Valeurs de $S$ 	&100	&	&	&\cellcolor{lightgray}\\\hline
\end{tabularx}

		\item Que représente le nombre inscrit dans la cellule grisée ?
		\item Que représente la valeur de la variable $n$ après l’exécution complète de l’algorithme ? 

\emph{Il n’est pas attendu de la calculer.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 5 points}

\vspace{0.5cm}
Une catastrophe a rendu impropre à la consommation l’eau potable d’une commune. L’eau du
réseau contient une substance chimique dont l’évolution de la concentration en fonction du
temps $t$ écoulé depuis le début de la pollution est modélisée par la fonction $f$ telle que :
\[ f(t)=30\e^{-0,06t}\]
La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$.

$f(t)$ est en mg$\cdot \mathrm{L}^{-1}$ et $t$ en heures.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l’équation différentielle (E) : $y'+\np{0.06}y=0$
\item Justifier que la fonction $f$ est une solution de l’équation différentielle (E).
\item Calculer $f(0)$. Interpréter ce résultat.
\item Quelle est la concentration, à $10^{-2}$ près, de la substance chimique dans l’eau au bout d’une
journée ?
\item L’eau sera à nouveau consommable si la concentration de la substance chimique dans l’eau
est inférieure à \np [mg\cdot L^{-1}]{0,05}. Au bout de combien de temps pourra-t-on de nouveau
consommer l’eau du robinet ?
\item On admet que la concentration moyenne de la substance chimique dans l’eau, lors des douze
premières heures, est donnée par la formule :
\[C=\dfrac{1}{12}\int_{0}^{12} f(t)\mathrm{d}t\]
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(t)=-500\e^{-0,06t}$ est une primitive
de $f$.
		\item Calculer la valeur exacte de $C$.
		\item  Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la concentration moyenne de la substance
chimique dans l’eau, lors des douze premières heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise fabrique en grande série des éprouvettes de volume théorique 20 mL, destinées à être utilisées en laboratoire.

\emph{Les résultats seront donnés par des valeurs approchées, arrondies à 0,001.}

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque éprouvette, associe son volume en mL.

$X$ suit une loi normale dont la densité est représentée ci-dessous.

On admet que l’écart-type de $X$ est $\sigma = 0,01$.

\begin{center}
\psset{xunit=100cm,yunit=0.14cm,arrowsize=5pt,yAxis=false,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.012,-10)(0.07,40)
%\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
\psaxes[Dx=0.01,Ox=19.96]{->}(0,0)(-0.009,0)(0.09,40)
\psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0.04,sigma=0.01]{0}{0.09}
\psline[linewidth=0.75pt](0.04,0)(0.04,39.8942)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(0,0.013383)
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=0.04,sigma=0.01]{0}{0.02}
\psline[linewidth=0.4pt](0.02,5.3991)(0.02,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  En utilisant le graphique, donner l’espérance de $X$.
\item Que représente l’aire de la partie grisée sur le graphique ?
\item Calculer la probabilité que le volume de l’éprouvette soit compris entre \np[mL]{19,975}  et
\np[mL]{20,025}.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Une éprouvette est dite conforme si son volume est compris entre \np[mL]{19,975}  et \np[mL]{20,025}.

Un laboratoire commande un lot de \np{1 000} éprouvettes. Ces éprouvettes sont prélevées dans le stock de manière aléatoire. On considère le stock suffisamment grand pour que le prélèvement soit assimilé à un tirage aléatoire avec remise. L’entreprise assure que la probabilité qu’une éprouvette ne soit pas conforme, dans un tel stock, est de 0,012.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence observée
d’éprouvettes non conformes dans un lot de \np{1000} éprouvettes.
\item Dans ce lot de \np{1000} éprouvettes, le laboratoire a trouvé 9 éprouvettes non conformes.

L’annonce faite par l’entreprise est-elle acceptable ?

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe à numéroter et à remettre avec la copie à la fin de
l’épreuve même non complétée }

\smallskip

\textbf{(placer à l’intérieur de la copie pour agrafage)}


\vspace{2cm}

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\textbf{\textsc{Exercice} 1 Question 2. a.}
\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{4.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps en minutes : $t_i$ 	&0 		&2 	&4 	&6	&8	& 10\\\hline
$y_i=\ln(n_i)$				&9,616	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{3cm}

\textbf{\textsc{EXERCICE }2 Question 3. a.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Valeurs de $n$&1& 2& 3& 4\\\hline
Valeurs de $u$ &100&&&\\\hline
Valeurs de $S$ &100&&&\cellcolor{lightgray}\\\hline
\end{tabularx}
\label{annexe}
\end{document}