\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{multirow} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pst-math,pstricks-add} \usepackage[squaren, Gray, cdot]{SIunits} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.1cm, right=2.1cm, top=1.9cm, bottom=2.7cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \makeatletter \def\hlinewd#1{% \noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 % \futurelet\reserved@a\@xhline} \makeatother \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STL biotechnologies}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies de laboratoire (STL) spécialité Biotechnologies} \lfoot{\small{métropole}} \rfoot{\small{27 novembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt] 27 novembre 2018}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \begin{center}\emph{La partie A est indépendante des parties B et C.}\end{center} Dans tout l'exercice, $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels. \bigskip \textbf{Partie A : Questionnaire à choix multiples} \medskip \emph{Pour chaque question, \textbf{une seule} des réponses proposées est exacte. Chaque bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point. Reporter, sur la copie, le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left(3x^2 + 4\right)\text{e}^{2x-1}$. La fonction $f’$ dérivée de $f$ est donnée par : \begin{enumerate} \item $f’(x) = 6x\text{e}^{2x-1}$ b) $f’(x) = 6x \times \ln (2x - 1)$ c) $f’(x) = \left(6x^2 + 6x + 8\right)\text{e}^{2x-1}$ d) $f’(x) = 12x\text{e}^{2x-1}$ \end{enumerate} \item On considère l'équation différentielle suivante $(E) :\quad 2y' - 3y = 1.$ Une solution $f$ de $(E)$ est donnée par : \begin{enumerate} \item $f(x) = \np{2018}\text{e}^{\frac{3}{2}x} - \dfrac{1}{3}$ \item $f(x) = \text{e}^{-\frac{3}{2}x} - \dfrac{1}{3}$ \item $f(x) = \np{2018}\text{e}^{- 3x} + \dfrac{1}{3}$ \item $f(x) = \text{e}^{\frac{3}{2}x} + \dfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE B } \medskip Sur l'annexe 1, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les solutions de l'équation $f(x) = 0$. \item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $[-1~;~2,5]$. \end{enumerate} \item Exprimer l'aire, en unité d'aire, du domaine hachuré sur l'annexe 1 à l'aide d'une intégrale. \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE C} \medskip On admettra, dans la suite, que la fonction étudiée dans la partie B est définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer, par le calcul, les valeurs de $f(0)$ et $f’(0)$. Retrouver une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en détaillant les calculs, la valeur exacte de $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x$. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Le métabolisme de base d'un organisme correspond aux besoins énergétiques incompressibles de l'organisme, c'est-à-dire l'énergie minimale quotidienne permettant à l'organisme de survivre. Il dépend essentiellement de la taille, du poids, de l'âge, du sexe. \medskip Le tableau ci-dessous donne, en fonction de l'âge, le métabolisme de base en kcal (kilocalorie) d'une femme mesurant 1,60~m et pesant 55~kg : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Âge $t_i$ (en année) & 23& 27& 34& 40& 48& 62\\ \hline Métabolisme de base $m_i$ (en kcal) &\np{1325}&\np{1297} &\np{1259} &\np{1233} &\np{1204} &\np{1165}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On effectue les changements de variable : $x_i = \ln \left(t_i\right)$ et $y_i = \ln \left(m_i\right)$ où ln désigne la fonction logarithme népérien. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau donné en annexe 2 (à rendre avec la copie). \item Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère de l'annexe 2. Pourquoi un ajustement affine est-il envisageable ? \item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme $y = ax + b$ (Arrondir $a$ à $10^{-2}$ près et $b$ à $10^{-3}$ près). \item Représenter cette droite $\mathcal{D}$ dans le repère de l'annexe 2. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer, à partir de l'équation obtenue à la question \textbf{l. c.}, que \[m \approx \np{1990} \times t^{-0,13}.\] \item Donner une estimation, arrondie à 1 kcal, du métabolisme de base de cette femme à $70$~ans. \item À quel âge, arrondi à 1 an, son métabolisme de base était-il de \np{1180}kcal ? \end{enumerate} \item \textbf{La formule de Black et al. et les besoins caloriques quotidiens } \begin{enumerate} \item De nos jours, la formule de Black et al. (1996) est la formule de référence pour une estimation de la valeur du métabolisme de base exprimée en kcal. Pour une femme, la formule est : \[m = 230 \times p^{0,48} \times h^{0,5} \times t^{-0,13}\] où $m$ est le métabolisme de base en kcal, $p$ est la masse en kg, $h$ est la taille en m et $t$ est l'âge en année. La formule établie en \textbf{2. a.} donnant le métabolisme de base d'une femme mesurant $1,60$~m et pesant $55$~kg est-elle cohérente avec la formule de Black et al. ? \item Les besoins caloriques quotidiens moyens dépendent du métabolisme de base et de l'activité ; aussi pour les calculer, on multiplie le métabolisme de base par $1,37$ pour des femmes sédentaires, par $1,55$ pour des femmes actives et par $1,80$ pour des femmes sportives. Calculer les besoins caloriques quotidiens, arrondis à 1 kcal, d'une lycéenne sportive âgée de $17$~ans mesurant $1,72$~m et pesant $60$~kg. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \begin{center} \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. } \textbf{Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à \boldmath$10^{-3}$\unboldmath\: près.} \end{center} La dureté d'une eau est liée à la présence de calcaire dans le sous-sol. Plus une eau est calcaire, plus elle est riche en calcium. Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille dépasse $60$~mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est moyennement dure ou calcaire. \bigskip \textbf{Partie A: Loi binomiale} \medskip Dans un stock important de bouteilles, 7\,\% des bouteilles contiennent de l'eau calcaire. On prélève au hasard $75$ bouteilles dans le stock pour vérifier la concentration en calcium. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $75$~bouteilles. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de bouteilles d'eau calcaire de ce prélèvement. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale, de paramètres $n = 75$ et $p = 0,07$. \item Quelle est la probabilité que, lors d'un tel tirage, il y ait $5$ bouteilles d'eau calcaire? \item Quelle est la probabilité que, lors d'un tel tirage, il y ait $65$ bouteilles d'eau non calcaire? \item Calculer $P(X \leqslant 10)$ et interpréter le résultat. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B: Approximation de la loi binomiale par une loi normale } \medskip On souhaite approcher la variable aléatoire $X$ définie en partie A par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les conditions $n \geqslant 30$,\: $np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$ sont-elles vérifiées pour la variable aléatoire $X$ ? \item Montrer que $Y$ suit la loi normale d'espérance $5,250$ et d'écart-type $2,210$. \end{enumerate} \item Calculer $P(Y \leqslant 10)$. Au regard de la question \textbf{A. 4}, ce résultat était-il prévisible ? Justifier la réponse. \item Déterminer, en utilisant la loi de $Y$, la probabilité approchée d'avoir entre $3$ et $5$ bouteilles d'eau calcaire. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Intervalle de fluctuation asymptotique} \medskip Dans cette question, on s'intéresse à la concentration en calcium de l'eau d'une grande quantité de bouteilles devant être livrées à une chaîne d'hypermarchés. Le fournisseur affirme qu'il y a dans son stock 6\,\% de bouteilles d'eau calcaire. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 bouteilles dans cette livraison. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des bouteilles d'eau calcaire dans un échantillon de $100$ bouteilles prélevées comme indiqué ci-dessus. \item Dans l'échantillon prélevé, il y a $8$ bouteilles d'eau calcaire. Peut-on remettre en cause l'affirmation du fournisseur ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip En région Île de France, les alertes à la pollution atmosphérique se multiplient. Le décret du 21 octobre 2010 relatif à la qualité de l'air et un arrêté inter-préfectoral de 2016 définissent les procédures d'information-recommandations et d'alerte du public en cas d'épisode de pollution. \bigskip \textbf{PARTIE A: Pollution à l'ozone} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multirow{2}{*}{Procédure}& Information-&\multicolumn{1}{|c}{~}& Alerte &\multicolumn{1}{c|}{~}\\ \cline{3-5} & recommandations&1\up{er} seuil&2\up{e} seuil&3\up{e} seuil\\ \hline Seuil de concentration en ozone& $180~\mu$g.m$^{-3}$ &$240~\mu$g.m$^{-3}$ &$300~\mu$g.m$^{-3}$ &$360~\mu$g.m$^{-3}$ \\ \hline \end{tabularx} \smallskip \emph{Lecture du tableau précédent }: \setlength\parindent{9mm} \emph{\begin{itemize} \item[$\bullet~~$] si la concentration en ozone est supérieure ou égale à $180 ~\mu$g.$^{-3}$ et strictement inférieure à $240~\mu$g.$^{-3}$, la procédure d'information-recommandations est déclenchée ; \item[$\bullet~~$] si la concentration en ozone est supérieure ou égale à $240~\mu$g.$^{-3}$ et strictement inférieure à $300~\mu$g.$^{-3}$, le premier seuil d'alerte est déclenché. \item[$\bullet~~$] etc. \end{itemize}} \setlength\parindent{9mm} \medskip Les mesures en cas d'alerte visent à réduire les émissions de gaz à effet de serre et donc la concentration d'ozone. L'abaissement de la vitesse autorisée sur les voies de circulation est une de ces mesures. Ces mesures permettent, en théorie, de réduire de 12,5\,\% la concentration d'ozone par jour. Le 17 juillet, en Île de France, on relève une concentration d'ozone de $330~\mu$g. m$^{-3}$. Une alerte est déclenchée et les mesures sont activées. Dans la suite, on modélise l'évolution de cette concentration d'ozone après activation des mesures. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que, selon ce modèle, la concentration en ozone le 18 juillet sera de $288,75~\mu$g.m$^{-3}$. \item À quelle date le premier seuil d'alerte sera-t-il levé en suivant ce modèle ? \item On donne l'algorithme ci-dessous : \[\begin{array}{|l|}\hline n \gets 0\\ C \gets 330\\ \text{Tant que }\:C > 180\\ \hspace{0.9cm} n\gets n+1\\ \hspace{0.9cm} C \gets C \times 0,875\\ \text{Fin Tant que }\\ \hline \end{array}\] Quelle est la valeur de $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? Interpréter le résultat dans le contexte de la partie A. \item Pour la protection de la santé humaine, l'objectif de qualité à atteindre est une concentration d'ozone inférieure ou égale à $120~\mu$g.m$^{-3}$. Recopier et modifier l'algorithme précédent afin qu'il détermine le nombre de jours nécessaires pour atteindre l'objectif. Donner ce nombre de jours. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Les particules fines PM10} \medskip Le seuil d'information-recommandations aux particules fines PM10 en suspension (diamètres inférieurs ou égaux à $10~\mu$m) est fixé à $50~\mu$g. m$^{-3}$ d'air et le seuil d'alerte à $80~\mu$g. m$^{-3}$. À proximité de l'autoroute A7, les relevés suivants de particules fines PM10 en suspension ont été effectués : \begin{center} \begin{tabular}{l l} 13 juillet 2017 :& $213~\mu$g. m$^{-3}$ ; \\ 14 juillet 2017 :& $16~\mu$g. m$^{-3}$.\\ \end{tabular} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour chaque date, préciser si un seuil a été dépassé et si oui, préciser ce seuil. \item \begin{enumerate} \item Quel est le pourcentage de baisse observée de la concentration en particules fines PM10 entre le 13 et le 14 juillet 2017 ? On arrondira le pourcentage à $10^{-2}$ près. \item Proposer une explication à cette baisse. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)} \bigskip \psset{unit=3cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(2.75,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](-1.5,-1.5)(2.75,3) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-1.5,-1.5)(2.75,3) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{2.75}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub x sub 2 add} \psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2.75}{2 x sub} \pscustom[fillstyle=hlines]{\psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{x 3 exp x dup mul 2 mul sub x sub 2 add} \psline(2,0)(-1,0) } \uput[d](-0.9,2.9){$\mathcal{T}$}\uput[l](-1.1,-0.75){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture*} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 (Exercice 2)\\[5pt] (À rendre avec la copie)} \medskip \end{center} \textbf{Question 1. a.} \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_i = \ln \left(t_i\right)$ (arrondi à $10^{-1}$)&3,1&&&&&\\ \hline $y_i = \ln \left(m_i\right)$ (arrondi à $10^{-2}$)&&&&&&7,06\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{Questions 1. b. et 1. d.} \medskip \begin{center} \psset{xunit=6cm,yunit=30cm,comma=true} \begin{pspicture}(1.7,0.24) \multido{\n=0.00+0.05}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.24)} \multido{\n=0.00+0.5}{4}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,0.24)} \multido{\n=0.00+0.01}{25}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1.7,\n)} \multido{\n=0.00+0.05}{5}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(1.7,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.02,Ox=3,Oy=7]{->}(0,0)(0,0)(1.7,0.24) \uput[d](1.7,0){$x$}\uput[l](0,0.24){$y$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}