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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STL spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{21 juin 2018}}

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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies ~\decofourright\\[5pt] Polynésie  21 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.25cm}


\emph{Dans cet exercice, tous les résultats, sauf mention contraire, seront arrondis à $10^{-2}$.}

\smallskip

\textbf{On rendra les annexes 1 et 2 avec la copie.}

\smallskip

Le tableau ci-dessous donne la production d’eau potable d’origine souterraine dans un pays, en
millions de m$^3$, entre 2004 et 2014 :
\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\centering{Année}				&2004	&2006	&2008	&2010	&2012	&2014\\\hline
Rang de l’année : $x_i$			&0		&2		&4		&6		&8		&10\\\hline
Volume d’eau potable produit
 en millions de m$^3$ : $y_i$	&7,5 	&11,9	&14,5	&15,9	&17		&17,9\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

On pose :  $z_i = - 2 + \ln \left(y_i\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En \textbf{annexe 1}, on donne une capture d'écran de tableur correspondant aux données ci-dessus.
\begin{enumerate}
\item  Parmi les formules ci-dessous, indiquer sur la copie, la formule, à entrer dans la cellule B4,
qui, recopiée vers la droite, complète la dernière ligne du tableau.
\begin{description}
\item[Formule 1 :] = $-$2 + LN(\$B\$3)
\item[Formule 2 :] = $-$2 + LN(B3)
\item[Formule 3 :] = $-$2 + LN(B2)
\end{description}
\item Compléter la ligne 4 du tableau de l’\textbf{annexe 1}.
\end{enumerate}

\item Dans le repère du plan donné en \textbf{annexe 2}, représenter le nuage de points  $M_i\left(x_i~;~z_i\right)$.
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G sur \text{l’annexe 2}.
\item On souhaite réaliser un ajustement affine de ce nuage de points par la droite D
d’équation $z = ax + b$ , obtenue par la méthode des moindres carrés.
\begin{enumerate}
\item À l’aide de la calculatrice, donner les valeurs de $a$ et $b$ arrondies à $10^{-3}$.
\end{enumerate}
\emph{Pour la suite de l’exercice, on prendra $z = 0,08x + 0,21$ pour équation de la droite }D.
\begin{enumerate}[resume]
\item Construire la droite D sur \textbf{l’annexe 2}.
\item Déterminer avec ce modèle d’ajustement, l’année à partir de laquelle le volume d’eau potable
d’origine souterraine produit atteindra 24 millions de m$^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill(5 points)}
\vspace{0.5cm}

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$.}

\medskip

Une entreprise fabrique des lames de microscope. Une enquête permet d’estimer que la probabilité
qu’une lame de microscope, prélevée au hasard dans la production, ne soit pas conforme au cahier
des charges est égale à 0,05.

\smallskip

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 200 lames de microscope dans la
production, associe le nombre de lames de microscope qui ne sont pas conformes au cahier des
charges. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler chaque
prélèvement à un tirage avec remise.

\smallskip

On prélève au hasard 200 lames de microscope.
\begin{enumerate}
\item 
		\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Calculer l’espérance mathématique de $X$, puis l’écart type de $X$.
		\item Calculer la probabilité de l’événement suivant : \og Exactement 6 lames de microscope parmi
		les 200 ne sont pas conformes au cahier des charges \fg.
		\item L’entreprise peut-elle garantir à ses clients qu’au maximum 1 lame de microscope parmi les
		200 n’est pas conforme au cahier des charges ? Pourquoi ?
		\end{enumerate}
\item On décide d’approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale
d’espérance \textmu=10{} et d’écart type $\sigma= 3,08$ .
\begin{enumerate} 
\item Justifier le choix des valeurs prises par \textmu{} et $\sigma$.                
\item Déterminer la probabilité $P(7 \leqslant Y \leqslant 10)$. Traduire le résultat obtenu par une phrase.
\end{enumerate}
\item Le responsable de la chaîne de production annonce au directeur de l’entreprise que 5\,\% des lames
de microscope produites ne sont pas conformes au cahier des charges.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence des
lames de microscope qui ne sont pas conformes pour un échantillon de 250 lames de
microscope produites.
\item Un contrôleur qualité de l’entreprise prélève un échantillon de 250 lames de microscope
produites dans lequel il trouve 17 lames de microscope qui ne sont pas conformes. Cet
échantillon remet-il en cause l’annonce du responsable de la chaîne de production ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}

Un sportif fait le test suivant : il court à une vitesse de \np[km\cdot h^{-1}]{6} , on déclenche alors un chronomètre à
$t =0$ minute, puis le sportif augmente sa vitesse de 10\,\% chaque minute, jusqu’à arrêt de l’effort.

En parallèle, un dispositif permet d’évaluer sa production d’acide lactique après chaque minute
d’effort. (\emph{L’acide lactique est un déchet qui se forme dans les cellules privées d’oxygène et qui limite
les performances physiques.})
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ la vitesse, en km$\cdot \mathrm{h}^{-1}$, de ce sportif, $n$ minutes après le
déclenchement du chronomètre. On a : $v_0 = 6$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser les valeurs de son premier terme et de sa
raison.
\item  Déterminer la vitesse de ce sportif 5 minutes après le déclenchement du chronomètre, arrondie à
\np[km\cdot h^{-1}]{0,1}.
\item On considère l’algorithme suivant :
\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$n\longleftarrow 0$\\
$v\longleftarrow 6$\\
Tant que $v \leqslant 12$\\
\hspace{2em}$n\longleftarrow n +1$\\
\hspace{2em}$v\longleftarrow 1,1\times v$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Indiquer, dans un tableau, les valeurs successives prises par les variables $n$ et $v$ lors du
déroulement de l’algorithme, jusqu’à l’arrêt de celui-ci. Les valeurs prises par $v$ seront
arrondies à $10^{-1}$.
\item Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ? Interpréter ce
résultat par rapport à la situation étudiée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On estime que la production d’acide lactique de ce coureur lors de l’effort est modélisée par
une fonction $f$ définie sur $[0~;~13]$. Cette fonction qui au temps $t$, exprimé en minutes, associe la
production d’acide lactique du coureur, exprimée en millimole par litre, à l’instant $t$, est une solution
de l’équation différentielle (E) : $ y'-0,17y = 0$ sur l’intervalle $[0~;~13]$.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l’équation différentielle (E) sur $[0~;~13]$.
\item On sait que $f (0) = 2$. En déduire une expression de $f (t)$ pour tout $t$ de $[0~;~13]$.
\item Pour la suite de l’exercice, on prend pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0~;~13]$, $ f (t )= 2\e^{0,17t}$ .
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(t)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~13]$.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur papier millimétré, dans un repère
orthonormé d’unités \np[cm]{1}  pour 1 minute sur l’axe des abscisses et \np[cm]{1} pour 1 millimole
par litre sur l’axe des ordonnées.
		\item On estime que le sportif arrête son effort lorsque le taux d’acide lactique dépasse 15
millimoles par litre. Au bout de combien de minutes ce sportif arrêtera-t-il son effort ? On
donnera ce résultat à la minute supérieure et on évaluera alors la vitesse obtenue à
 \np[km\cdot h^{-1}]{0.1}près.
	\end{enumerate}
\item Un autre sportif, produisant moins d’acide lactique, est soumis au même test. Son taux d’acide
lactique est donné par la fonction $g$ définie sur $[0~;~13]$ par  $g(t) = 2\e^{kt}$ où $k$ est un réel positif.

En comparant cette situation avec la précédente, que peut-on dire sur le coefficient $k$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill (4 points)}

\vspace{0.5cm}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~3]$ par $f( x)=x\e^ {-x^2}$,  $f'$  sa fonction dérivée. On nomme $(\mathcal{C})$ la
courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d’origine $O$.

Soit le point $B(0,5~;~0,5)$. La droite $(OB)$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $O$.

On nomme $I$ l’aire située entre la courbe $(\mathcal{C})$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x =1$. Ci-dessous, on a représenté la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(OB)$ :

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=9.2cm,comma=true}
\definecolor{cosmiclatte}{rgb}{1.0, 0.97, 0.91}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(4,0.8)

\psaxes[linewidth=0.85pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.8,-0.05)(3.5,0.7)
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{3}{ 2.71828 x 2 exp neg exp x mul}
\psplot[linewidth=0.65pt,linecolor=cyan,plotpoints=2000]{-0.05}{0.63}{x }
\uput[ur](0.5,0.5){B}\uput[u](1.4,0.22){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){$O$}
\psdot[dotstyle=+,dotscale=1.6, dotangle=45](0.5,0.5)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cosmiclatte]{
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{1}{ 2.71828 x 2 exp neg exp x mul}
\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=cosmiclatte](1,0.367879)(1,0)
} 
\multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,-0.05)(\n,0.65)}
\multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](-0.85,\n)(3.4,\n)}
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{3}{ 2.71828 x 2 exp neg exp x mul}
\end{pspicture}
\end{center} 

On donne les résultats suivants sur la fonction $f$ (il n’est pas demandé de justifier ces résultats) :
\smallskip 
\begin{center}

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\raisebox{3ex}{}
Dérivée de $f$ sur $[0~;~3]$ :\\
\hspace{2em}$f'(x)=(1-2x^2)\e^{-x^2}$\\
Primitives $F$ de $f$ sur $[0~;~3]$ :\\
\hspace{2em} $F(x)=-\dfrac{\e^{-x^2}}{2}+k, \quad k\in R$\\
\raisebox{-0.5ex}{}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ci-dessous, on donne quatre affirmations concernant cette fonction $f$.

Indiquer sur la copie si l’affirmation proposée est vraie ou fausse. \textbf{Toute réponse sera justifiée.}

\begin{description}
\item[Affirmation 1 :] $f'(0)=1$.
\item[Affirmation 2 :] pour tout $x$ appartenant à $[0~;~3]$, $f'(x)\geqslant 0$.
\item[Affirmation 3 :] l’aire $I$ est supérieure à 0,15 unité d'aire.
\item[Affirmation 4 :] la primitive $G$ de la fonction $f$ qui s’annule en 0 est définie pour tout $x$ de $[0~;~3]$ par $G(x)=-\dfrac{\e^{-x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}$.
\end{description}

\newpage
\textbf{ANNEXE 1}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
&\centering{A}			&\cellcolor{yellow}B&C&D&E&F&G\\\hline
1&Année					&2004				&2006	&2008&2010&2012&2014\\\hline
2&rang de l'année: $x_i$&0					&2		&4	&6&8&10\\\hline
3&Volume d'eau potable 
produit  en millions de
 m$^3$ : $y_i$			&\np{7.5}			&\np{11.9}&\np{14.5}&\np{15.9}&\np{17}&\np{17.9}\\\hline
4&\centering{$z_i$}		&					&		&&&&\\\hline
\end{tabularx}


\bigskip

\textbf{ANNEXE 2}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.15)(21,2.2)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=0.85pt,Dx=1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.9,-0.09)(20,2)
\uput[ul](20,0){$x$}\uput[dr](0,2){$z$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}