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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{19 juin 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Polynésie -- 19  juin 2025}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill (physique-chimie et mathématiques)\hfill 4 points }

\medskip

\begin{center} \textbf{Cinétique de l’hydrolyse du 2-chloro-2-méthylpropane}\end{center}

Le 2-chloro-2-méthylpropane est un liquide incolore et inflammable. Il est utilisé dans l’industrie comme réactif dans la synthèse de nombreuses espèces chimiques d’intérêt. Lorsqu’il est mélangé à l’eau, il se produit une transformation chimique lente et totale.

L’équation de la réaction modélisant cette transformation est :

%\chemfig{H_3C-C(-[2]CH_3)(-[6,0.5]CH_3)-C\ell(aq)}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(14,2)
\rput(0.4,1){H$_3$C} \psline[linecolor=red](0.9,1)(1.4,1) \rput(1.8,1){C}
\psline[linecolor=red](1.9,1.3)(1.9,1.7)
\rput(1.9,1.9){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](1.9,0.9)(1.9,0.5)
\rput(1.9,0.3){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](2,1)(2.6,1)
\rput(3.2,1){C$\ell$ (aq)} 
\rput(4.8,1){+ 2 H$_2$O($\ell$)} 
\psline[linecolor=red]{->}(5.7,1)(6.5,1)
\rput(6.9,1){H$_3$C} \psline[linecolor=red](7.2,1)(7.8,1)
\rput(8.1,1){C}\psline[linecolor=red](8.4,1)(8.9,1)
\psline[linecolor=red](8.1,0.9)(8.1,0.5)
\rput(8.1,1.9){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](8.1,1.3)(8.1,1.7)
\rput(8.1,0.3){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](8.2,1)(8.6,1)
\rput(9.5,1){OH (aq)}
\rput(12,1){+ H$_3$O$^{+}$(aq) + C$\ell^{-}$(aq)}
\end{pspicture}
\end{center}

L’objectif de l’exercice est de modéliser l’évolution au cours du temps de la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane.

On réalise expérimentalement le suivi cinétique d’un mélange réactionnel, dont la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane est $C_0 = 9,0 \times 10^{-1}$ mol·L$^{-2}$ à l’instant $t = 0$.

Le graphique fourni dans le document réponse DR1  (à rendre avec la copie) représente l’évolution de la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane, notée $C$, en fonction du temps.

Dans les conditions de l’expérience, le 2-chloro-2-méthylpropane est le réactif limitant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le document réponse DR1 (à rendre avec la copie), déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-réaction, noté $t_{1/2}$. La construction graphique doit apparaître sur le document réponse.
\item Donner la définition de la vitesse de disparition $v$ du 2-chloro-2-méthylpropane en utilisant une relation littérale entre la vitesse $v$, la concentration $C$ et le temps $t$.

Dans les conditions de l’expérience, la réaction est d’ordre 1. La concentration en 2-chloro-2-méthylpropane vérifie l’équation différentielle du 1\up{er} ordre :

\[(E) \quad :\quad y' = - 0,046y\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ (en min) représentant la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane (en mol·L$^{-1}$), définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.
\item En considérant $y(0) = 0,090$, montrer que pour tout $t \geqslant 0 :\: y(t) = 0,090\times \e^{-0,046t}$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} y(t)$.
\item Résoudre l’équation $y(t) = \dfrac{0,090}{2}$.

Donner le résultat sous forme exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$.
\item Interpréter les résultats obtenus avec le modèle aux questions 4 et 5, en les confrontant aux résultats expérimentaux déduits graphiquement.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 3 \hfill (mathématiques)\hfill 4 points }

\medskip

Les trois parties ci-dessous sont indépendantes.

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Cette partie, composée de deux questions, est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la réponse choisie. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, dont on donne la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-1.5)(6,4)
\psgrid[gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-2,-1.5)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(6,4)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=purple]{-1.1}{5.1}{x 1 sub x 3 sub mul 2 div}
\uput[u](5.9,0){$x$}
\uput[r](0,3){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle représente une primitive de $f$ sur $\R$ ?

%4 figures
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}\\ \hline
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-2.5)(5.2,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-2,-2.5)(5.2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-2.5)(5.2,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{5.5}{x 2 sub }
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-1.5,-3.5)(5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(5,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5}{
x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub 3 x mul add 2.04167 add neg 2 div}
\uput[u](4.9,0){$x$}\uput[r](0,2.3){$y$}
\end{pspicture*}\\ \hline
\textbf{C.}&\textbf{D.}\\ \hline
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-1.5,-2.5)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=purple]{-1.5}{5}{
x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub 3 x mul add 2.04167 add 2 div}
\uput[u](4.9,0){$x$}\uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.95cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2)(7,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-0.5,-2)(6.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-2)(6.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6.5}{
x 3 exp 3 div x dup mul 4 mul sub  15 x mul add 14.625 sub}
\uput[u](6.3,0){$x$}\uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Les nombres réels $a, \: b > 0$ sont définis par $\ln (a) = - 2$ et $\ln (b) = 3$.

Alors $\ln \left(a^{-2} \times b^{3}\right) = \ldots$

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~~} 5 &\textbf{B.~~} 9 &\textbf{C.~~} 13&\textbf{D.~~} 17\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t \geqslant 0$ par 

\[f(t) = 5 - 3 \e^{- \frac{t}{10}}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de $f$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Calculer la valeur exacte de l’intégrale $I =  \displaystyle\int_0^{16} \dfrac{1}{2x + 4}\:\text{d}x$.

On écrira le résultat sous la forme $I = \ln (n)$, où $n$ est un entier naturel non nul.

\newpage

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE}\\ 
\textbf{À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 1 – Cinétique de l’hydrolyse du 2-chloro-2-méthylpropane}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Document réponse DR1 :} évolution de la concentration $C$ en 2-chloro-2-méthylpropane en fonction du temps.

\bigskip

\rotatebox{90}{
\psset{xunit=0.16cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-10,0)(112,0.11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.01,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(112,0.1)
\multido{\n=0+1}{111}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,0.09)}
\multido{\n=0.000+0.002}{46}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=gray](0,\n)(110,\n)}
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.6](0,0.09)(1,0.0882)(2,0.084)(3,0.082)(4,0.0762)(5,0.0732)(6,0.07)(7,0.0662)(8,0.0632)(9,0.0601)(10,0.0578)
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.2](11,0.055)(12,0.0522)(13,0.0503)(14,0.048)(15,0.0479)(16,0.044)(17,0.0418)
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.6](18,0.04)(19,0.038)(20,0.0363)
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.6](25,0.029)(30,0.023)(35,0.018)(40,0.0142)(45,0.0115)(50,0.009)(55,0.007)(60,0.0055)(65,0.004)(70,0.003)(85,0.001)(90,0)(100,0)
\uput[u](106,0){$t$ en min}\uput[r](0,0.095){$C \left(\text{mol · L}^{-1}\right)$}
\end{pspicture}
}


\end{document}