\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par Culture maths \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {STMG Antilles-Guyane septembre 2018}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 2018} \label{Antilles} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane septembre 2018~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{La page 6 est une annexe, à rendre avec la copie.} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip L'entreprise \emph{Gadgets En Stock} vend des \emph{hand spinners}. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame. Advanceplay et Betterspin fournissent chacun 30\,\% des hand spinners de \emph{Gadgets En Stock}. Coolgame fournit les 40\,\% restant. Les données de ces trois entreprises indiquent que : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 1\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ; \item[$\bullet~~$] 4\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ; \item[$\bullet~~$] 2\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l'entreprise \emph{Gadgets En Stock} et on définit les évènements suivants : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Advanceplay \fg \item[$\bullet~~$]$B$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Betterspin \fg \item[$\bullet~~$]$C$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Coolgame \fg \item[$\bullet~~$]$D$ : \og le \emph{hand spinner} est défectueux\fg \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}. \item Calculer la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux. \item Montrer que la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi soit défectueux est égale à $0,023$. \item On achète un \emph{hand spinner} chez \emph{Gadgets En Stock}. On constate que celui-ci est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur Coolgame ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip Une usine de fabrication de voitures a une capacité de production de $100$ véhicules par jour. \bigskip \textbf{Partie A : Étude graphique} \medskip Sur le graphique ci-dessous sont tracées deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. L'une représente le coût de production en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour, l'autre le chiffre d'affaires de l'usine en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour. \begin{center} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-5,-50)(105,920) \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,920)} \multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(105,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(105,920) \psline(100,800) \pscurve[linewidth=1.25pt](0,195)(5,205)(10,216)(15,230)(20,247)(25,265)(30,283)(35,303)(40,320)(45,340)(50,365)(55,395)(60,425)(65,465)(70,505)(75,560)(80,620)(85,698)(90,770)(95,855)(100,950) \uput[d](70,-42){Nombre de voitures produites et vendues par jour} \rput{90}(-10,450){Montant (en milliers d'euros)} \uput[u](90,785){$\mathcal{C}_1$}\uput[d](25,195){$\mathcal{C}_2$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que le chiffre d'affaires de l'usine est proportionnel au nombre de voitures produites et vendues chaque jour, laquelle des deux courbes représente ce chiffre d'affaires? \item Avec la précision permise par le graphique, donner le coût de production de $55$ voitures. \item Combien de voitures faut-il produire et vendre pour réaliser un chiffre d'affaires de \np{600000}~euros? \item Pour combien de voitures produites et vendues par jour l'usine réalise-t-elle un bénéfice? Le résultat sera donné sous forme d'un intervalle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $R$ définie sur [0 ; 100] par \[R(x) = - 0,001x^3 + 0,07x^2 + 3,36x - 186.\] On admet que la fonction $R$ est dérivable sur [0~;~100]. On note $R'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $R'(x)$. \item Étudier le signe de $R'(x)$ sur l'intervalle [0~;~100]. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $R$ sur [0~;~100]. \item On appelle \emph{résultat} la différence entre le chiffre d'affaires et le coût de production. S'il est positif, il correspond à un bénéfice, s'il est négatif, il correspond à une perte. Pour un nombre entier $x$ de voitures produites et vendues par jour, on modélise le \emph{résultat} par $R(x)$. \begin{enumerate} \item Selon ce modèle, combien de voitures l'usine doit-elle produire et vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. \item Quel est alors ce bénéfice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'espérance de vie des Françaises selon leur année de naissance sur la période allant de 1996 à 2003. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année de naissance &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Espérance de vie : $y_i$ (en années)&82,1 &82,3 &82,4 &82,5 &82,8 &82,9 &83,1 &83,0\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source: INSEE}} \end{tabularx} \end{center} Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ est donné en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'équation réduite de la droite réalisant un ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite d'équation $y = 0,14x + 82$. Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie. \item On admet que cet ajustement reste valide pour les années de naissance allant jusqu'en 2006. Déterminer alors l'espérance de vie d'une Française née en 2005. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \medskip L'objet de cet exercice est l'étude de l'évolution de la population française depuis l'année 2012. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'effectif de la population française et son taux d'évolution annuel pour certaines années comprises entre 2012 et 2016. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 &2016\\ \hline Population (en million d'habitants) &65,66 &66,00 &66,33 &&66,90\\ \hline Taux d'évolution (en pourcentage) &\cellcolor{lightgray!90}&0,52 &&0,44 &0,42\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : data.worldbank.org}} \end{tabularx} \end{center} On lit, par exemple, que la population française a augmenté de $0,52$\,\% de 2012 à 2013. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution de la population française de 2013 à 2014. \item À combien s'élevait la population française en 2015 ? \item Calculer le taux d'évolution global de 2012 à 2016, exprimé en pourcentage. \item Vérifier que le taux d'évolution annuel moyen de 2012 à 2016, arrondi au centième, est égal à 0,47\,\%. \item En considérant que ce taux reste valide jusqu'en 2020, estimer la population française en 2020. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on admet que la population française augmente de 0,5\,\% par an à partir de l'année 2012 et jusqu'en 2030. On modélise cette évolution à l'aide d'une suite géométrique notée $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente la population en $(2012 + n)$, exprimée en million d'habitants. On a ainsi $u_0 = 65,66$. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser la raison de la suite $\left(u_n\right)$. \item Pour tout entier naturel $n$, inférieur ou égal à 18, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire, à l'aide de ce modèle, une nouvelle estimation de la population française en 2020. \item On souhaite estimer l'année à partir de laquelle la population française dépassera les $70$ millions d'habitants. Pour cela, on considère l'algorithme incomplet ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Algorithme}\\ \hline \dotfill \\ \dotfill \\ Tant que $U < 70$\\ \dotfill\\ \hspace{0.5cm}$N \gets N + 1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'algorithme à l'aide des trois instructions suivantes pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne le rang de l'année recherchée. \vspace{0.6cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \psframe[framearc=0.5](2.4,0.8)\rput(1.2,0.4){$U \gets U \times 1,005$}& \psframe[framearc=0.5](2.4,0.8)\rput(1.2,0.4){$U \gets 65,66$}&\psframe[framearc=0.5](2.4,0.8)\rput(1.2,0.4){$N \gets 0$}\\ \end{tabularx} \item Au cours de quelle année la population française dépassera-t-elle $70$ millions d'habitants ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \textbf{à rendre avec la copie} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$B$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$C$~~}\tbput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.15cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(10.2,1.7) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.7)} \multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10.2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1,Oy=81.8](0,0)(10.2,1.7) \uput[d](8.1,-0.12){rang de l'année de naissance} \rput{90}(-1.15,1.4){Espérance de vie} \uput[u](10.15,0){$x$} \uput[r](0,1.6){$y$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,0.3)(2,0.5)(3,0.6)(4,0.7)(5,1)(6,1.1)(7,1.3)(8,1.2) \end{pspicture} \end{center} \end{document}