\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-tree,pstricks-add} % Tapuscrit Denis Vergès % Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {STMG Antilles-Guyane 16 juin 2017}, allbordercolors = white} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small 16 juin 2017} \label{Antilles} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 16 juin 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip La survie des éléphants d'Afrique est menacée par le braconnage (chasse illégale). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip En l'absence de braconnage, on estime le taux de croissance de la population d'éléphants d'Afrique à 1,5\,\% par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'effectif de cette population pour l'année $2013 + n$ en l'absence de braconnage. La population totale d'éléphants d'Afrique était estimée à \np{470000}~individus en 2013. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'éléphants d'Afrique en 2014 en l'absence de braconnage. \item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en préciser le premier terme et la raison.\index{suite} \item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Estimer le nombre d'éléphants d'Afrique en 2028 dans ces conditions. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Actuellement, un éléphant d'Afrique est tué tous les quarts d'heure par le braconnage. Justifier qu'environ \np{35000}~éléphants d'Afrique sont tués chaque année par le braconnage. On considérera qu'une année a $365$~jours. \item À l'aide d'un tableur, on a obtenu les résultats suivants, arrondis à $0,1$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\ \hline \footnotesize Effectif de la population d'éléphants en présence de braconnage (en millier d'individus)& 470,0 &442,1 &413,7 &384,9 &355,7 &326,0 &295,9 &265,3 &234,3 &202,9 &170,9\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans une interview accordée en 2013, le Fonds mondial pour la nature s'alarme : \og si l'on ne réagit pas, la population d'éléphants d'Afrique aura baissé de près de 64\,\% en dix ans \fg. Justifier cette affirmation par un calcul. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \quad $n$ est un entier\\ \quad $u$ est un réel\\ \textbf{Traitement}\\ \quad $n$ prend la valeur 2013\\ \quad $u$ prend la valeur \np{470000}\\ Tant que $u > 0$ faire\\ \quad Début tant que\\ \quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ \quad $u$ prend la valeur $u \times 1,015 - \np{35000}$\\ Fin tant que\\ Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Cet algorithme affiche le résultat 2029. Comment interpréter ce résultat ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution du tirage journalier (nombre d'exemplaires imprimés par jour) de la presse quotidienne d'information générale et politique en France. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Tirage journalier en million d'exemplaires : $y_i$ &1,80 &1,73 &1,60 &1,47 &1,36\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source: INSEE}} \end{tabularx} \end{center} \textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d'évolution global, arrondi à 0,01\,\%, du tirage journalier entre 2010 et 2014.\index{taux} \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen sur cette période, arrondi à 0,01\,\%, du tirage journalier. \item En supposant que l'évolution se poursuit au taux annuel de $- 7$\,\% dans les années à venir, donner une estimation, arrondie à $0,01$, du tirage journalier que l'on peut prévoir pour l'année 2017. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus dans le repère donné en annexe 1. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0,01$.\index{droite d'ajustement} \item Pour les deux questions suivantes, on prendra pour ajustement affine la droite D d'équation $y = - 0,1x + 1,8$. \begin{enumerate} \item Représenter la droite $D$ dans le repère donné en annexe 1. \item Selon ce modèle, estimer le tirage journalier que l'on peut prévoir pour l'année 2017. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles) a réalisé une étude auprès de $12$ quotidiens d'information générale qui possèdent des applications numériques sur les trois supports que sont les tablettes, les smartphones et les ordinateurs. Le taux de rebond désigne le pourcentage d'internautes qui sont entrés sur un site par une page web puis l'ont quitté sans consulter d'autres pages. Cette étude révèle les informations suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item 2 visites sur 5 se font depuis un smartphone et ont un taux de rebond de 65\,\% ; \item 10\,\% des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de 53\,\% ; \item la moitié des visites ont lieu à partir d'un ordinateur et ont un taux de rebond de 59\;\%. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un visiteur et on considère les évènements suivants : \begin{description} \item $S$ : \og Le visiteur utilise un smartphone \fg \item $T$ : \og Le visiteur utilise une tablette \fg \item $O$ : \og Le visiteur utilise un ordinateur \fg \item $R$ : \og Le visiteur quitte le site après avoir visité la première page\fg \end{description} \smallskip Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $P_T(R)$.\index{probabilité} \item Donner la proportion de personnes qui naviguent sur un site à partir d'un appareil mobile (tablette ou smartphone) parmi les personnes interrogées. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré donné en annexe 2.\index{arbre} \item Calculer la probabilité de l'évènement A \og le visiteur utilise un smartphone et quitte le site après avoir visité la première page \fg. \item Montrer que la probabilité qu'un visiteur choisi au hasard quitte le site après avoir visité la première page est $p(R) = 0,608$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité, arrondie à $0,01$, qu'un visiteur utilise un ordinateur sachant qu'il a quitté le site après avoir consulté la première page. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \medskip En 2012, le gérant d'une brasserie de bord de plage propose le midi, un menu à $9,80$~\euro. À ce tarif, il sert en moyenne $420$ couverts par semaine. Cette formule rencontre un tel succès qu'il décide d'augmenter son prix les étés suivants. Il observe une légère diminution du nombre de couverts mais sa formule demeure rentable. \medskip \textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de couverts lorsque le prix du menu varie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Été &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Prix du menu (en euro) &9,80 &11,00 &12,30 &13,80\\ \hline Nombre hebdomadaire de couverts &420 &395 &370 &345\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le gérant a réalisé le tableau ci-dessous extrait d'une feuille de calcul: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1 &Été& Prix du menu (en euro)& Nombre hebdomadaire moyen de couverts&\footnotesize Taux d'évolution annuel du nombre hebdomadaire moyen de couverts&Taux d'évolution annuel du prix\\ \hline 2 &2012 &9,80 &420 & &\\ \hline 3 &2013 &11,00 &395 & $- 5,95$\,\% &$12,24$\,\%\\ \hline 4 &2014 &12,30 &370 & &\\ \hline 5 &2015 &13,80 &345 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La plage de cellules D3:E5 est au format pourcentage arrondi à 0,01\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Proposer une formule à saisir dans la cellule D3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules D4 et D5. \item Proposer de même une formule à saisir dans la cellule E3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules E4 et E5. \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à 0,01\,\%, du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015.\index{taux} \item En supposant que le taux d'évolution annuel du prix du menu reste constant et égal à ce taux moyen après l'été 2015, donner une estimation du prix du menu, arrondi au centime, pendant l'été 2017. \end{enumerate} \item Donner, en détaillant la démarche, une estimation du nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l'été 2017. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix $x$ du menu est \[N(x) = - 19x + 604.\] Le prix $x$ du menu est exprimé en euro. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de $11$~\euro. \item Calculer le chiffre d'affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le menu est au prix de $11$~\euro. \item On note $C(x)$ le chiffre d'affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de $x$ euros. Montrer que $C(x) = - 19 x^2 + 604 x$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~25] par \[C(x) = -19 x^2 + 604 x.\]\index{fonction polynôme} \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $C'$ de $C$.\index{dérivée} \item Donner le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle [0~;~25]. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~25]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour quel prix du menu le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie est-il maximal? On arrondira le résultat au centième. \item À ce prix, quel est le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie ? On arrondira le résultat à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le gérant souhaiterait faire passer le prix du menu à $15,90$~\euro{} dès l'été 2016. Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage le samedi suivant auprès des clients présents le midi ce jour-là. Sur les $50$ personnes interrogées, $39$ se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion de clients favorables à ce changement.\index{intervalle de confiance} On arrondira les bornes de l'intervalle à $0,01$. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\index{Q. C. M.} Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point. \smallskip \textbf{Les quatre questions sont indépendantes} \smallskip \begin{enumerate} \item La taille $T$ en cm d'un garçon de 10 ans est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 135$ et d'écart type $\sigma = 5$.\index{loi normale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $p(T < 145) \approx 0,02$&\textbf{b.~~}$p(125 < T < 145) \approx 0,95$\\ \textbf{c.~~}$p(125 < T < 145) \approx 0,68$&\textbf{d.~~}$p(T > 125) \approx 0,99$ \end{tabularx} \medskip \item La part de consommateurs bio réguliers, c'est-à-dire ceux qui disent consommer bio au moins une fois par mois s'élève à 43\,\% en France en 2015. On effectue un sondage dans une société de $400$ personnes. La fréquence de consommateurs bio réguliers dans cet échantillon est notée $f$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $f = 0,43$& \textbf{b.~~} Au seuil de 95\,\%, $0,38 \leqslant f \leqslant 0,48$\\ \textbf{c.~~} Au seuil de 95\,\%, $\np{0,4275} \leqslant f \leqslant \np{0,4325}$& \textbf{d.~~} Au seuil de 95\,\%, $0,23 \leqslant f \leqslant 0,63$ \end{tabularx} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \ne 2$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x - 2}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée} Pour tout $x \ne 2$, \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~}$f'(x) = 2$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{- 5}{(x - 2)^2}$\\ \textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{2x+1}{(x - 2)^2}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{- 1}{(x - 2)^2}$ \end{tabularx} \medskip \item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = - x^2 + x + 3$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$.\index{fonction polynôme} Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-4)(4.2,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.5,-3.95)(4.2,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{4}{x 3 add x dup mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{4}{7 x 3 mul sub} \uput[ul](-1,1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ur](1,4){$D$} \uput[u](3.9,0){$x$} \uput[r](0,5.2){$y$} \psdots(2,1)\uput[ur](2,1){A} \end{pspicture*} \end{center} Le point A de la courbe $\mathcal{C}$ a pour coordonnées (2~;~1). La droite $D$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Une équation de la droite $D$ est :\index{tangente} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~}$y = - 3x + 7$ &\textbf{b.~~}$y = -3x + 1$\\ \textbf{c.~~}$y = - x + 2$ &\textbf{d.~~}$y = 2x + 1$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \textbf{Annexe 1} \begin{center} \psset{xunit=1.3cm,yunit=3.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(9,2.1) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2.1)} \multido{\n=0.0+0.1}{22}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Oy=0.6,Dy=0.2](0,0)(0,0)(9,2.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=0.6]{->}(0,0)(1,0.4) \uput[r](0,2.15){Tirage journalier (en million d'exemplaires)} \uput[d](8,-0.3){Rang de l'année} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \textbf{Annexe 2} \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~}\naput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$T$~}\naput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$O$~}\naput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } } \end{center} \end{document}