\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{enumerate} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{textcomp,mathcomp} \usepackage{color} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage{makeidx} \makeindex \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,pst-eucl} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\textbf{N}} \newcommand{\D}{\textbf{D}} \newcommand{\Z}{\textbf{Z}} \newcommand{\Q}{\textbf{Q}} \newcommand{\C}{\textbf{C}} % Tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Antilles--Guyane septembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %%% redéfinitions à mettre après hypersetup \newcommand{\e}{\text{\,e}} \renewcommand{\i}{\text{\,i}} \renewcommand{\d}{\text{\,d}} \setlength\parindent{0mm} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{7 septembre 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\large 3 heures} \medskip {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 7 septembre 2017~\decofourright }} \vspace{0,25cm} La dernière page est une annexe au sujet, à rendre avec la copie. \end{center} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Les objets connectés sont des appareils reliés à Internet qui communiquent avec d'autres systèmes pour obtenir ou fournir de l'information. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne une estimation du nombre d'objets connectés (en milliards) dans le monde entre les années 2011 et 2015. Les cellules de la plage (C3:F3) sont au format pourcentage. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1 &Année & 2011 &2012 &2013 &2014 &2015 \\ \hline 2 &Nombre d'objets connectés (en milliards) &9,5 &15 &22 &31 &42\\ \hline 3 &Taux d'évolution du nombre d'objets connectés par rapport à 2011 & & & & &\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source: IDATE (Institut de l'audiovisuel et des télécommunications en Europe) }} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Parmi les quatre formules suivantes, écrire sur la copie celle qui, saisie en C3 puis recopiée à droite, permet de calculer le taux d'évolution du nombre d'objets connectés par rapport à 2011 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} =C2/\$B2 &=(\$C2-B2)/B2 &=C2-\$B2/\$B2 &=(C2-\$B2)/\$B2\\ \end{tabularx} \item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du nombre d'objets connectés entre 2011 et 2015, arrondi au dixième. \index{taux} \item Justifier que le taux moyen annuel d'évolution du nombre d'objets connectés entre 2011 et 2015 est de 45\,\% arrondi à 1\,\%. \item Suite à l'étude de certains instituts, on suppose que le nombre d'objets connectés augmentera de 15\,\% par an après 2015. Suivant ce modèle, on note $u_n$ le nombre d'objets connectés en milliards pour l'année $(2015 + n)$ (où $n$ est un entier naturel). \index{suite} Ainsi, $u_0 = 42$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$, arrondis à l'unité. \item Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$. \item Pour tout $n \in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire $u_5$ arrondi à l'unité et interpréter cette valeur. \end{enumerate} \item On estime que la population mondiale sera d'environ $7,75$~milliards en 2020. Dans ces conditions et à l'aide de la question 4. d., expliquer pourquoi un être humain aura en moyenne plus de 10 objets connectés en 2020. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième. Tous les 5 ans, l'établissement INVS (Institut national de veille sanitaire) réalise une enquête sur les infections nosocomiales (infections contractées au cours d'une hospitalisation). Lors de la dernière enquête, on a obtenu les résultats suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item 53\,\% des personnes hospitalisées étaient âgées de 66 ans ou plus. Parmi eux, 6,4\,\% ont été atteints par une infection nosocomiale. \item 6\,\% des personnes hospitalisées étaient âgées de 14 ans ou moins. Parmi eux, 2,4\,\% ont été atteints par une infection nosocomiale. \item Parmi les patients âgés de 15 à 65 ans, 3,7\,\% ont été atteints par une infection nosocomiale. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Partie A } \medskip On choisit au hasard une personne parmi celles qui ont participé à cette enquête. On considère les évènements suivants : \index{probabilité} \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item $E$ : \og La personne est âgée de 0 à 14 ans \fg \item $F$ : \og La personne est âgée de 15 à 65 ans \fg \item $G$ : \og La personne est âgée de plus de 65 ans \fg \item $N$ : \og La personne est atteinte par une infection nosocomiale \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre de probabilités donné en annexe 1.\index{arbre} \item Définir par une phrase l'évènement $G \cap N$ puis calculer sa probabilité. \item Montrer qu'une valeur approchée au millième de la probabilité de contracter une infection nosocomiale est $0,051$. \item Un lecteur de l'enquête affirme qu'un patient victime d'une infection nosocomiale a plus de trois chances sur quatre d'être une personne âgée de plus de $65$~ans. A-t-il raison ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose dans cette partie que la probabilité qu'un patient soit victime d'une infection nosocomiale est $p = 0,051$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard 50 patients ayant participé à l'enquête. On suppose que ce choix peut être assimilé à $50$~tirages indépendants avec remise. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de patients infectés parmi les $50$~personnes choisies. \begin{enumerate} \item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres et son espérance. \item Quelle est la probabilité que, parmi les 50 personnes interrogées, trois soient atteintes par une infection nosocomiale ? \index{loi binomiale} \end{enumerate} \item Dans un hôpital, \np{2500}~patients ont été hospitalisés lors du premier trimestre 2016. Parmi ces patients, $188$ ont été victimes d'une infection nosocomiale lors de leur passage dans cet hôpital. Le directeur de cet établissement trouve inquiétant ces résultats. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% du taux de patients infectés pour cet échantillon. Que penser des craintes du directeur ? \index{intervalle de fluctuation} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Le prix du gramme d'or a subi de 2010 à 2015 de fortes variations alors que la progression entre 2005 et 2009 avait été relativement régulière. Un expert estime que l'on peut prévoir le prix du gramme d'or dans le futur en se basant sur l'évolution de celui-ci entre 2005 et 2009. Le tableau suivant donne l'évolution du prix moyen annuel du gramme d'or entre 2005 et 2009. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline Rang $x_i$ de l'année &0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline Prix moyen annuel $y_i$ du gramme d'or (en euro) &11,61 &15,38 &16,18 &19,24 &22,33\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source : INSEE }} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le repère donné en annexe~2. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième.\index{droite d'ajustement} \item Pour simplifier les calculs, on choisit de réaliser cet ajustement affine avec la droite $D$ d'équation : $y = 2,5x + 11,9$. \begin{enumerate} \item Tracer cette droite $D$ dans le repère donné en annexe 2. \item Suivant ce modèle d'ajustement, calculer le prix du gramme d'or prévisible en 2015. Indiquer sur le graphique la vérification de ce résultat. \item Déterminer l'année à partir de laquelle le prix du gramme d'or dépassera $50$ euros selon ce modèle. \end{enumerate} \item Un autre expert propose un ajustement défini par l'équation $y = 0,01x^2 + 2,3x + 11$. Sachant que le prix moyen annuel du gramme d'or en 2015 a été de $33,81$~euros, lequel des deux ajustements a été le plus proche de la réalité en 2015 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un bijoutier souhaite lancer un nouveau modèle de bijou contenant de l'or. On admet que le coût de production de ce bijou, exprimé en millier d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie par \[C(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x + 15\]\index{fonction polynôme} où $x$ représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués. On admet également que la recette, exprimée en millier d'euros, est modélisée par la fonction $R$ définie par $R(x) = 15x$ où $x$ représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués et vendus. Le nombre de bijoux fabriqués et vendus est compris entre $50$ et $300$ donc $x \in [0,5~;~ 3]$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction bénéfice $B$ est définie pour tout $x \in [0,5~;~3]$ par : \[B(x) = - 2x^3 + 3x^2 + 12x - 15.\] \item Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0,5~;~3]$, où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$. \item Étudier le signe de B'(x) pour $x \in [0,5~;~3]$.\index{dérivée} En déduire le tableau de variations de $B$.\index{tableau de variations} \item Préciser alors le nombre de bijoux fabriqués et vendus qui permet de réaliser un bénéfice maximal. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 4 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)}\index{Q. C. M.} \medskip Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \medskip \parbox{0.45\linewidth}{ \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $[- 2~;~4]$ dont la courbe $C$ est donnée ci-contre. La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point A de coordonnées $(3~;~- 5,5)$. Une équation de $T$ est : \begin{enumerate} \item $y = 3x - 5,5$ \item $y = 4x - 16,5$ \item $y = 4,5x - 19$ \item $y = 19 - 4,5x$ \end{enumerate} \item On suppose que $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_1 = 5$ et de raison $1,8$.\index{suite arithmétique} L'expression de $u_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 est : \begin{enumerate} \item $u_n = 5 + 1,8n$ \item $u_n = 5 \times 1,8^{n-1}$ \item $u_n = 4 + 1,8n$ \item $u_n = 3,2 + 1,8n$ \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=1.cm} \begin{pspicture}(-2,-8)(5,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-8)(5,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{3.985}{0.535714 x 3 exp mul x dup mul 1.19643 mul sub 2.73214 x mul sub 1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{2.45}{4.885}{4.5 x mul 19 sub} \psdots(3,-5.5) \uput[dr](3,-5.5){A} \uput[l](3.95,2.25){\blue $C$}\uput[r](4.6,2.25){\red $T$} \end{pspicture}} \medskip \textbf{3.~} Une personne investit la somme de \np{1000} euros au début de l'année 2017. L'algorithme ci-dessous lui permet de calculer le capital disponible au début de l'année 2021. \index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \hspace{1.5cm}$S,\,\,k$ \\ \textbf{Initialisation}\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $S$ la valeur \np{1000}\\ \textbf{Traitement}\\ \hspace{1.5cm}Pour $k$ allant de 1 à 4\\ \hspace{2.5cm}Affecter à $S$ la valeur $1,02 \times S + 50$\\ \hspace{1.5cm}FinPour\\ \textbf{Sortie} \\ \hspace{1.5cm}Afficher $S$\\ \hline \end{tabular} \end{center} La valeur $S$ affichée en sortie et arrondie à l'unité est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \np{1200} &\textbf{b.~~} \np{1289} &\textbf{c.~~} \np{1214} &\textbf{d.~~} \np{1082} \end{tabularx} \medskip \textbf{4.~} On admet que la durée de sommeil quotidienne d'un adulte est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma$ inconnu.\index{loi normale} On estime que la probabilité qu'un adulte dorme entre 6 heures et 10 heures est de $0,8$. La probabilité qu'un adulte dorme au plus 6 heures est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,4 &\textbf{b.~~} 0,8 &\textbf{c.~~} 0,1 &\textbf{d.~~} 0,2 \end{tabularx} \medskip \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \medskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2 Annexe 1} \end{flushleft} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E$~}} { \TR{$N$} \TR{$\overline{N}$} } \pstree{\TR{$F$~}} { \TR{$N$} \TR{$\overline{N}$} } \pstree{\TR{$G$~}\nbput{0,53}} { \TR{$N$} \TR{$\overline{N}$} } } \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3 Annexe 2 } \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1,0)(10,28) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(10,28) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10,Dy=2](0,0)(0,0)(10,28) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,1.61)(1,5.38)(2,6.18)(3,9.24)(4,12.33) \uput[r](0,29){Prix moyen annuel en euro} \uput[u](9,0){Rang de l'année} \end{pspicture} \end{center} \end{document}