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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Centres étrangers~\decofourright\\17 juin 2014 }}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire \No 99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de  la qualité de la rédaction   dans l'appréciation des copies.

\vspace{0,3cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ 
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte.\\ 
Indiquez sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse correcte rapporte $1$ point ; une absence de réponse ou une réponse fausse ne rapporte et n'enlève aucun point.}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle  $[-5~;~3]$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous.

\smallskip
 
Soit A le point de $\mathcal{C}_{f}$ de coordonnées $(0~;~- 3)$, B et C les points de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisses respectivement égales à $1$ et à $- 3$. La tangente  $T_{0}$ en A à $\mathcal{C}_{f}$ passe par le point C. Les tangentes à $\mathcal{C}_{f}$ aux points B et C sont horizontales.

\smallskip

\parbox{0.48\linewidth}{\begin{enumerate}
\item $f(1)$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 3$	&\textbf{b.~~} 	2,3\\ 
\textbf{c.~~} $- 1$ &\textbf{d.~~} $- 4,6$
\end{tabularx} 
\item Le nombre dérivé en 1 de la fonction $f$ est égal à : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 4,7$	&\textbf{b.~~} $ - 3$\\
\textbf{c.~~} $0$		&\textbf{d.~~}  $1$
\end{tabularx} 
\item Une équation de  la tangente $T_{0}$ est : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $y = - 3x - 3$&  \textbf{b.~~} $y =  - x - 3$\\ 
\textbf{c.~~} $y = - 3x$	&  \textbf{d.~~} $y = - 3$
\end{tabularx}
 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Sur l'intervalle $[-4~;~-2]$, on peut affirmer que :

\textbf{a.~~} $f'$ est positive

\textbf{b.~~} $f'$ change de signe

\textbf{c.~~} $f'$ est partout nulle

\textbf{d.~~} $f'$ est négative
\end{enumerate} }\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(3,7)
\def\pshlabel#1{\scriptsize#1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize#1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-5,-5)(3,7)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-5}{3}{x 3 exp 3 div x dup mul add 3 x mul sub 3 sub }
\psplot{-3.333}{0.666}{3 x mul neg 3 sub}
\uput[ul](-2.2,3.5){$T_{0}$}
\uput[l](3,5.75){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[u](1,-4.667){B}\uput[ur](-3,6){C}\uput[ur](0,-3){A}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,-3)(1,-4.6)(-3,6)
\psline{<->}(-3.5,6)(-2.5,6)
\psline{<->}(0.5,-4.667)(1.5,-4.667)
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}   

\medskip 

Le tableau ci-dessous donne le nombre de voitures neuves (en milliers) vendues en France durant les six premiers mois de l'année  2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois					&Janvier& Février	& Mars 	&Avril	& Mai	& Juin\\ \hline 
Rang du mois $x_{i}$	& 1		& 2			& 3		& 4		& 5		& 6\\ \hline
Nombre de ventes 
(en milliers) $y_{i}$	&149 	&144 		&150 	&140 	&139 	&135\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le repère fourni en annexe 1. 
		\item Expliquer pourquoi ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira au centième les coefficients. 
\item On décide de modéliser l'évolution du nombre $y$ de ventes de  voitures neuves en fonction du rang $x$ du mois par l'expression $y = - 2,7x + 152$. 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter graphiquement dans le repère fourni en annexe, la droite traduisant cette évolution. 
		\item Quel nombre de ventes de voitures neuves pouvait-on prévoir pour le mois de décembre 2013 en utilisant ce modèle ?
		\item À partir de quel mois pouvait-on prévoir que le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à \np{130000} véhicules ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}   

\medskip
 
\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent  être traitées de manière indépendante.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La feuille de calcul ci-dessous traduit l'évolution du prix moyen des maisons dans une ville donnée entre  2006 et 2011. Elle indique également le taux d'évolution annuel (arrondi à  0,1\,\%) de ce prix, et son indice,  avec 100 pour indice de base en 2006.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	& A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I\\ \hline
1	&Année&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013\\ \hline
2	&Valeur (en euros)&\np{200000}&\np{205000}&\np{214840}&&\np{231562}&\np{232458}&\np{234813}&\np{239744}\\ \hline
3	&Taux d'évolution annuel en \%&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&+ 2,5\,\%&+ 4,8\,\%&$+ 1,3\,\%$&+ 6,4\,\%&	&+ 1\,\%&+ 2,1\,\%\\ \hline
4	&Indice&100&102,5&107,4&108,8&115,8&116,2&117,4&119,9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Ainsi, entre les années 2006 et 2007, le prix moyen des maisons de la ville a augmenté de 2,5\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le prix moyen des maisons en 2009, arrondi à l'euro. 
		\item Déterminer le taux d'évolution du prix moyen des maisons entre 2010 et 2011 arrondi à 0,1\,\%.
	\end{enumerate} 
\item Parmi les propositions ci-dessous indiquer les deux formules que l'on peut saisir dans la cellule C4 pour  obtenir, après recopie vers la droite, les valeurs de la plage de cellules C4 : I4.

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} = C2/B2*\$B\$4& 	\textbf{b.~~} =C2/200 000*100 \\
\textbf{c.~~} = \$C2/\$B\$2*B4 	&\textbf{d.~~} =C2/\$B\$2*\$B\$4
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}	

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Madame ÉCONOME décide de faire fructifier son capital à partir du 1\up{er} janvier 2015 sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 5\,\%. Elle hésite entre deux options.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Première option : effectuer un versement unique de \np{10000}~\euro.
 
Soit $n$ un entier naturel. On note $u_{n}$ le capital en euros acquis le 1\up{er} janvier de l'année $(2015 + n)$. 

Ainsi $u_{0} = \np{10000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$. 
		\item Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et déterminer l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire le capital acquis au 1\up{er} janvier 2025,  arrondi à l'euro.	
	\end{enumerate} 
\item Deuxième option :  effectuer au 1\up{er} janvier de chaque année un versement de \np{1000}~\euro{} à partir de 2015.
 
On note $C_{n}$ le capital, en euros, au 1\up{er} janvier de l'année $(2015 + n)$, une fois le versement de \np{1000}~\euro{}  effectué. Ainsi $C_{0} = \np{1000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi on a,  pour tout entier naturel $n$ : $C_{n+1} = 1,05 C_{n} + \np{1000}$. 
		\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Variables		& $k$ et $C$ sont deux nombres entiers \\ \hline
Initialisation	& $k$ prend la valeur $0$\\
				&$C$ prend la valeur \np{1000}\\ \hline 
Traitement		&  Tant que $C < \np{10000}$\\  
				&\hspace{0.5cm}$C$ prend la valeur $1,05C + \np{1000}$\\ 
				&\hspace{0.5cm}$k$ prend la valeur $k + 1$\\
				&Fin Tant que\\ \hline 
Sortie			& Afficher $k$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'algorithme affiche le résultat $k =  8$.
 
Donner une interprétation de ce résultat pour le capital de Madame ÉCONOME.  		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}   

\medskip

\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip
 
L entreprise SAPIQ commercialise des pots de moutarde de 800~g. Un pot est déclaré \og conforme \fg{} s'il  contient entre 790~g et 810~g de moutarde.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
L'entreprise dispose de deux machines $m_{1}$ et $m_{2}$.
 
La première machine $m_{1}$ produit 60\,\% des pots fabriqués par l'entreprise,  le reste de la fabrication étant assuré par la machine $m_{2}$.
 
7\,\% des pots produits par la machine $m_{1}$ sont non conformes, alors que la proportion de pots non conformes produits par la la machine $m_{2}$ est de 2\,\% seulement.
 
On prélève un pot au hasard dans la production totale.

On adopte les notations suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M_{1}$  désigne l'évènement  \og le pot provient de la machine $m_{1}$. \fg 
\item[$\bullet~~$] $M_{2}$  désigne l'évènement  \og le pot provient de la machine $m_{2}$. \fg 
\item[$\bullet~~$] $C$ désigne l'évènement : \og le pot est conforme \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités fourni en annexe 2. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $p\left(M_{1} \cap  \overline{C}\right)$ ; interpréter cette probabilité.
		\item Vérifier que $p\left(M_{2} \cap  \overline{C}\right) = 0,008$.
	\end{enumerate} 
\item Justifier que  $p\left(\overline{C}\right) = 0,05$. 
\item On prélève au  hasard  un pot parmi les pots non-conformes. 

Déterminer la probabilité qu'il provienne de la machine $m_{2}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise SAPIQ reçoit un agent commercial vantant les mérites d'une nouvelle machine. La masse de moutarde contenue dans un pot produit par cette nouvelle machine est modélisée par une variable aléatoire $X$. On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne $800$ et d'écart type $6$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité arrondie au millième, qu'un pot produit par la nouvelle machine soit conforme.
 
Ca pourra utiliser le résultat suivant :  $p(X \in  [800~;~810]) = 0,452$. 
\item L'agent commercial avance l'argument suivant : \og $X$ suit une loi normale de moyenne $800$ et d'écart type $6$. Cela signifie que tous les pots produits par notre machine contiennent entre $794$  et $806$~g de moutarde ;  ils sont donc tous conformes. \fg
 
L'argument de l'agent commercial est-il  exact ? Justifier. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{\large Annexes}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Cette page annexe est à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe 1 (exercice 1)}

\bigskip

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(16,80)
\multido{\n=0.00+0.25}{65}{\psline(\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0.0+2.5}{33}{\psline(0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=10](0,0)(16,80)
\end{pspicture} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe 2 (exercice 4)}

\bigskip

\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M_{1}$}\taput{0,6}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$M_{2}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
}
\end{center}
\end{document}