\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox,graphicx} \usepackage{tabularx} %\usepackage[table]{xcolor} \usepackage{pifont} \usepackage{multicol} %\usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-func,,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\e}{\text{e}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {STMG}, pdftitle = {Métropole, 6 septembre 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small S. T. M. G.} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{6 septembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[5pt]6 septembre 2018}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisée. \smallskip \textbf{La page 5 est une annexe, à rendre avec la copie.} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse, n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 80$ et d'écart type $\sigma = 10$. On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$. \begin{center} \psset{xunit=0.08cm,yunit=150cm,comma=true} \begin{pspicture}(-5,-0.0015)(140,0.045) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.005](0,0)(140,0.045) \psGauss{10}{80} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{140}{0.1 2 3.14159 mul sqrt div 2.71828 x 80 sub 2 exp 200 div exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité $p(60 \leqslant X \leqslant 100)$, arrondie au centième, est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}0,05 &\textbf{b.~~}0,97\\ \textbf{c.~~}0,50 &\textbf{d.~~}0,95 \end{tabularx} \medskip \item La probabilité $p(X < 90)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$0,5 - p(X > 90)$ &\textbf{b.~~}$p(X > 70)$\\ \textbf{c.~~}$1 - p(X > 70)$ &\textbf{d.~~}$1 - p(X \geqslant 70)$ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité $p(60 \leqslant X \leqslant 80)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$0,5 + p(X \geqslant 60)$ &\textbf{b.~~} $0,5 - p(X \leqslant 60)$\\ \textbf{c.~~}$1 - p(X \leqslant 60)$ &\textbf{d.~~}$0,5 + p(X \leqslant 60)$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne la production mondiale des énergies renouvelables de 2006 à 2015. Cette production est exprimée en milliard de TEP (tonne équivalent-pétrole). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline Quantité produite (en milliard de TEP) : $y_i$& 1,44 &1,47 &1,50 &1,53 &1,59 &1,62 &1,68 &1,74 &1,78 &1,82\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source: OCDE d'après Extended world energy balances}}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 0,04x + 1,37$. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie. \item À l'aide de ce modèle, estimer la production mondiale des énergies renouvelables en 2020. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution de la production mondiale des énergies renouvelables entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On décide de modéliser l'évolution de la production mondiale des énergies renouvelables à l'aide d'une suite géométrique de raison $1,026$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la production mondiale des énergies renouvelables, en milliard de TEP, pendant l'année $(2015 + n)$. Ainsi $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1,82$ et de raison $1,026$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. \item Déterminer, d'après ce modèle, une estimation de la production mondiale des énergies renouvelables en 2020. \item Selon l'Agence d'Information sur l'Énergie des États-Unis d'Amérique (EIA), l'approvisionnement pétrolier mondial a été, en 2016, d'environ $4,84$ milliards de tonnes. On donne l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline $U \gets 1,82$\\ $K \gets 0$\\ Tant que $U < 4,84$\\ \hspace{1cm}$U \gets U \times 1,026$\\ \hspace{1cm}$K \gets K+1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Après exécution de cet algorithme, la variable $K$ contient la valeur $39$. Interpréter, dans le contexte étudié, cette valeur 39 ainsi que le contenu de la variable $U$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.} \medskip En France, les agents de la fonction publique d'état (FPE) se répartissent en trois catégories (\emph{Source : INSEE, 2010}) : \medskip \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]51\,\% des agents sont de catégorie A ; \item[$\bullet~~$]24\,\% des agents sont de catégorie B ; \item[$\bullet~~$]25\,\% des agents sont de catégorie C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Selon le rapport annuel sur l'état de la fonction publique : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]60\,\% des agents de catégorie A sont des femmes ; \item[$\bullet~~$]42\,\% des agents de catégorie B sont des femmes ; \item[$\bullet~~$]51\,\% des agents de catégorie C sont des femmes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit de façon équiprobable le dossier d'un agent parmi ceux de la FPE. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] $A$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie A \fg \item[ ] $B$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie B \fg \item[ ] $C$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie C \fg \item[ ] $F$ : \og le dossier est celui d'un agent qui est une femme\fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} Pour tout évènement $G$, on note $p(G)$ sa probabilité et $\overline{G}$ son évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré traduisant la situation, donné en annexe, à rendre avec la copie. \item Définir par une phrase, dans le contexte étudié, l'évènement $A \cap F$, puis donner sa probabilité. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$, arrondie au centième, est égale à $0,53$. \item Sachant que le dossier choisi est celui d'une femme, quelle est la probabilité qu'elle fasse partie de la catégorie A ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip Au cours du mois d'août 2017, un parc de loisirs a vendu \np{16000} billets d'entrée au prix unique de $50$~euros. On définit le chiffre d'affaires comme le produit du prix du billet d'entrée par le nombre de billets vendus. Ainsi, le chiffre d'affaires du mois d'août 2017 s'élève à \np{800000}~euros. Suite à une étude de marché, on fait l'hypothèse suivante: une diminution de $x\,\%$ du prix du billet d'entrée par rapport à sa valeur au mois d'août 2017 ($50$ euros) entraîne une augmentation de $(2x)\,\%$ du nombre d'entrées par rapport à sa valeur au mois d'août 2017 (\np{16000}). L'objectif de l'exercice est de calculer le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires. \bigskip \textbf{Partie A : étude d'un exemple} \medskip Pour le mois d'août 2018, on envisage de diminuer le prix du billet d'entrée de 10\,\% par rapport à sa valeur en août 2017. \medskip \begin{enumerate} \item Quel serait alors le prix du billet d'entrée en août 2018? \item Quel serait alors le nombre d'entrées en août 2018? \item Vérifier que le chiffre d'affaires du mois d'août 2018 serait alors de 864 000 €. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : utilisation d'un tableur} \medskip On se propose d'étudier l'évolution du chiffre d'affaires en fonction du taux de diminution du prix du billet d'entrée par rapport à sa valeur en août 2017. Ce taux, exprimé en pourcentage, apparaît dans la première ligne du tableau donné ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul. Toutes les lignes du tableau sont au format \emph{Nombre}. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline 1&Taux de diminution (en pourcentage) :& 0 &10 &20 &30 &40 &50 &60 &70\\ \hline 2&Prix du billet d'entrée (en euro) &50 &45 &40 &35 &30 &25 &20 &15\\ \hline 3 &Nombre d'entrées &\np{16000} &\np{19200} &\np{22400} &\np{25600} &\np{28800} &\np{32000} &\np{35200} &\np{38400}\\ \hline 4 &Chiffre d'affaires (en euro)&\np{800000} &\np{864000} &\np{896000} &\np{896000} &\np{864000} &\np{800000} &\np{704000} &\np{576000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 pour obtenir, par recopie vers la droite, les chiffres d'affaires de la plage C4:\:I4 ? \item Dans un premier temps, la cellule C2 a été complétée par la formule suivante: $=\text{B}2*(1-\text{C}1/100)$. Expliquer pourquoi cette formule ne permet pas d'obtenir, par recopie vers la droite, les résultats de la plage D2:\:I2. Comment peut-on la modifier pour obtenir les valeurs affichées ? \item Compte tenu des résultats donnés par le tableur, conjecturer des pourcentages de diminution du prix du billet d'entrée qui maximisent le chiffre d'affaires. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100], par: \[f(x) = - 160x^2 + \np{8000}x + \np{800000}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur [0~;~100]. \item Justifier que le prix du billet d'entrée, après une diminution de $x\,\%$ par rapport à sa valeur en août 2017, est égal à $50 - 0,5x$. \item Déterminer le nombre d'entrées après une augmentation de $(2x)\,\%$ par rapport au nombre d'entrées en août 2017. \item Expliquer pourquoi la fonction $f$ modélise le chiffre d'affaires du parc de loisirs. \item Déduire de ce qui précède le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires. \item Que vaut ce chiffre d'affaires maximal? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(15,2.2) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,2)} \multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(15,2.2) \uput[r](0,2.175){Production mondiale (en milliard de TEP)} \uput[u](13.5,0){Rang de l'année} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](1,1.44)(2,1.47)(3,1.5)(4,1.53)(5,1.59)(6,1.62)(7,1.68)(8,1.74)(9,1.78)(10,1.82) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3} \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\taput{\ldots}} {\TR{$F$~} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$~} \tbput{\ldots}} \pstree{\TR{$B$~}\taput{\ldots}} {\TR{$F$~} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$~} \tbput{\ldots}} \pstree{\TR{$C$~}\tbput{\ldots}} {\TR{$F$~} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$~} \tbput{\ldots}} } \end{center} \end{document}