\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Merci pour le sujet à Clotilde Rouchon %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 27 novembre 2018 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.1} \newcommand{\e}{\text{e}} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{27 novembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)} \vspace{0.5cm} \emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}} \smallskip \emph{Pour chaque question \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte.} Indiquer sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'enlève pas de point.} Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution des ventes d'insecticides en France entre 2011 et 2015. La colonne C a été ajoutée afin de calculer les taux d'évolution annuels des ventes d'insecticides. (On ne demande pas de compléter ce tableau). \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{aliceblue}}c|m{1.25cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \rowcolor{aliceblue} &\centering A &B & C\\\hline \rowcolor{aliceblue}1 & Années & Ventes d'insecticides & Taux d'évolution annuel des ventes\\ \rowcolor{aliceblue} & &(en tonnes)& d'insecticides\\\hline 2 & 2011 & 2156,069 &\\\hline 3 &2012 & 2331,791 &\\\hline 4 &2013 & 2246,948 &\\\hline 5 & 2014 & 2613,725 &\\\hline 6 &2015 & 2469,030 &\\\hline \multicolumn{4}{r}{\emph{Source: Base nationale des données de vente, MEDDE}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution global des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à 0,01\,\% est: \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $12,68\,\%$&\textbf{b.~~} $14,52\,\%$&\textbf{c.~~} $-12,68\,\%$&\textbf{d.~~} $1,15\,\%$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Le taux d'évolution annuel moyen des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à 0,01\,\% est de : \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $2,75\,\%$&\textbf{b.~~} $3,45\,\%$&\textbf{c.~~} $3,63\,\%$&\textbf{d.~~} $\np{2.90}\,\%$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C3 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les taux d'évolution d'une année à l'autre ? \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~}{\footnotesize=(B3$-$B2)/B2} &\textbf{b.~~}{\footnotesize=(B3$-$B\$2)/B\$2}&\textbf{c.~~}{\footnotesize=(B3$-$B2)/B3}&\textbf{d.~~}{\footnotesize=100*(B3$-$B2)/B3} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Dans cette question, on fait l'hypothèse que les ventes d'insecticides diminuent de 2\,\% par an à partir de l'année 2015. Sous cette hypothèse on peut estimer que la quantité d'insecticides vendue en 2020 (en tonnes, arrondie à 0,001) sera: \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $\np{2277,355}$&\textbf{b.~~}$\np{2222,127}$&\textbf{c.~~} $\np{2419,649}$&\textbf{d.~~} $\np{2231,808}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (5 points)} \vspace{0.5cm} Une entreprise française commercialise des pneus. La production mensuelle maximale est de \np{30 000} pneus. On suppose que la totalité de la production mensuelle est vendue chaque mois. \vspace{2mm} Les charges de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pneus vendus sont données par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0; 30] par $C(x) = 4x^2 + 4x + 574$. \vspace{2mm} L'entreprise fixe le prix de vente d'un pneu à 130 euros. \vspace{2mm} Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de pneus est donné par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0; 30] par $R(x) = 130x$. $\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$ désignent leurs courbes représentatives. Les deux courbes sont représentées sur le graphique donné ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-2,-1000)(35,5500) \multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,5000)} \multido{\n=0+500}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(30,\n) } \uput[dr](31.3,0){$x$} \uput[ul](0,5000){$y$} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(32,5200) \psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{30}{x 1 add x 4 mul mul 574 add} \psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{0}{30}{x 130 mul} \uput[u](27,3700){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](27,3500){\cyan $\mathcal{R}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer, par la méthode de votre choix (calcul ou graphique) : \begin{enumerate} \item les charges de production de \np{12 000} pneus. \item le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d'affaires \np{2 500 000}~euros. \end{enumerate} \item En vendant \np{4000} pneus, l'entreprise est-elle bénéficiaire ? Justifier votre réponse. \item Le bénéfice réalisé pour $x$ milliers de pneus vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0; 30], par: \[B(x) = -4x^2 + 126x - 574.\] \begin{enumerate} \item On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$. \item Déterminer le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [0; 30]. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 30]. \item Pour quel nombre de pneus produits le bénéfice est-il maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)} \vspace{0.5cm} {\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante}. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le parc informatique d'une entreprise est constitué de \np{2000} ordinateurs. Parmi ceux-ci, 500 sont considérés comme neufs car ils ont moins d'un an. Les autres sont considérés comme anciens. Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu'un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à 0,05. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu'il en ait un est égale à 0,4. On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique. On considère les événements suivants: \begin{itemize} \item [$\bullet$] $N$ : \og L'ordinateur est neuf \fg, \item [$\bullet$] $S$ : \og L'ordinateur a un problème de sécurité \fg. \end{itemize} \begin{minipage}[]{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \item Justifier que $p(N) = 0,25$. \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre. \item Décrire par une phrase l'événement $N \cap S$ puis calculer sa probabilité. \item Montrer que $p(S) = \np{0,3125}$. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[]{0.3\linewidth} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$N$~}\taput{$\dots$}} { \TR{$S$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{$\dots$}} {\TR{$S$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$} } } \end{minipage} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse dans cette partie au temps nécessaire pour que le service informatique de l'entreprise intervienne afin de réparer un ordinateur défaillant. On note $T$ la variable aléatoire qui à chaque défaillance d'ordinateur associe le temps, en heures, nécessaire avant l'intervention du service informatique. On admet que $T $suit une loi normale d'espérance \textmu = 20{} et d'écart type \textsigma = 4. \emph{Les réponses seront arrondies au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer $p(12 \leqslant T \leqslant 24)$ et interpréter le résultat. \item Déterminer la probabilité d'attendre plus d'une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le directeur du personnel affirme que 85\,\% des salariés sont satisfaits de la maintenance informatique au sein de l'entreprise. Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard 120 employés. Parmi eux, 94 répondent qu'ils sont satisfaits du service de maintenance informatique. Que peut-on penser de l'affirmation du directeur du personnel? \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)} \vspace{0.5cm} Le tableau ci-dessous indique le prix moyen en euros des terres en France métropolitaine (hors Corse) entre 2010 et 2016. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Années &2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015& 2016\\\hline Rang de l'année: $x_i$& 1 &2& 3& 4 &5 &6 &7\\\hline Prix d'un hectare en euros: $y_i$& \np{5070}& \np{5360} &\np{5410}& \np{5750}& \np{5910}&\np{6010} &\np{6030}\\\hline \multicolumn{8}{r}{\emph{Source : Agreste.}}\\ \end{tabularx} \smallskip On se propose d'estimer, en utilisant deux modèles différents, l'année à partir de laquelle le prix d'un hectare de terre dépassera pour la première fois \np{7000} \euro. \bigskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A~}-- Premier modèle. \medskip Le nuage de points de coordonnées $(x_i, y_i)$ est représenté sur le graphique ci-dessous. On a également tracé la droite $D$ d'ajustement affine de ce nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés. \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0045cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-80)(14,2550) \multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-50)(\n,2200)} \multido{\n=0+100}{23}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=5000,Dy=500,]{->}(0,0)(14.6,2250) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](1,70)(2,360)(3,410)(4,750)(5,910)(6,1010)(7,1030) \def\Func{x 167.1429 mul 20 sub} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{13}{\Func} \uput[u](-1.5,1400){\rotatebox{90}{\footnotesize Prix d'un hectare en euros $y_i$}} \uput[d](28,- 30){\footnotesize Rang de l'année $x_i$} % % \uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}} % \psset{arrowscale=2} % \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 24.07 def \Func)(!24.07 /x 24.07 def \Func)(24.07,0) % \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite $D$. Les coefficients seront arrondis à \np{0.1} si nécessaire. \item On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en 2022. \begin{enumerate} \item Estimer le prix d'un hectare de terre en 2021. \item À partir de quelle année le prix d'un hectare de terre dépassera-t-il \np{7000}~\euro ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B~}-- Second modèle. \medskip On suppose dans cette partie qu'à partir de l'année 2016, chaque année, le prix d'un hectare de terre augmentera de 3\,\%. On note $U_n$ le prix en euros d'un hectare de terre pour l'année $2016 + n$. Ainsi $U_0 = \np{6030}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $U_1 = \np{6210,9}$. \item Justifier que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. \item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et calculer le prix d'un hectare en 2021. \item On donne l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline $U \leftarrow \np{6030}$\\ $N \leftarrow 0$\\ Tant que $U < \np{7000}$\\ \hspace{2em}$U \leftarrow U \times 1,03$\\ \hspace{2em}$N \leftarrow N+ 1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} On admet que la valeur prise par la variable $N$ en fin d'exécution de l'algorithme est 6. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{document}