\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Merci pour le sujet à Frédéric Jaëck (Culture maths) %tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - mars 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.1} \newcommand{\e}{\text{e}} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie mars 2019~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Un fournisseur fabrique en grande quantité deux modèles de paires de chaussures : le modèle Sport et le modèle Ville. On sait que : \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 60\,\% de la production correspond au modèle Sport et le reste de la production au modèle Ville. \item[$\bullet~~$] 1\,\% des modèles Sport présentent un défaut et 3\,\% des modèles Ville présentent un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On choisit au hasard une paire de chaussures produite par cette entreprise et on note: \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og la paire choisie est un modèle Sport \fg, \item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement : \og la paire choisie est un modèle Ville \fg, \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement : \og la paire choisie présente un défaut \fg, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$V$~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer $P(V \cap D)$. \item Montrer que la probabilité de choisir un modèle avec un défaut est égale à $0,018$. \item Calculer la probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu'il présente un défaut. On arrondira les réponses au millième. \item Une étude statistique a montré que la pointure de chaussures pour les femmes en France peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale dont la courbe de densité est représentée ci-dessous. \psset{xunit=0.45cm,yunit=20cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,0)(22,0.27) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=28,Dx=50](0,0)(22,0.001) \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{0}{22} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{14}{27} \psline(25,0)(14,0)(14,0.038) } \rput(18,0.06){$P(X > 42) \approx 0,023$} \multido{\n=0+1,\na=28+1}{23}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \na}} \multido{\n=0+1}{23}{\psline(\n,-0.0005)(\n,0.0005)} \end{pspicture} \end{center} \medskip Déterminer à l'aide du graphique: \begin{enumerate} \item la pointure moyenne, notée $\mu$, des femmes françaises. \item la probabilité que la pointure d'une femme française soit comprise entre $36$ et $42$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Une entreprise produit et vend du safran, une épice de grande qualité. On note $x$ le nombre de kilogrammes que produit et vend l'entreprise en un an, $x$ étant compris entre 0 et 10. Le montant des charges correspondant à la production de $x$ kilogrammes de safran, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~ 10] par : \[C(x) = 2x^3 - 23x^2 + 90x + 10.\] On a tracé ci-dessous la représentation graphique de cette fonction $C$ dans un repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-0.5,-50)(10.5,750) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,700)} \multido{\n=0+100}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(10.5,750) \uput[d](8.5,-50){Nombre de kilogrammes} \rput{90}(-1,500){Charges (en milliers d'euros)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 2 mul x dup mul 23 mul sub 90 x mul add 10 add} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A - Étude des charges} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le montant des charges lorsque l'entreprise produit 5 kilogrammes de safran. \item Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à \np{200000}~euros. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude du bénéfice} \medskip L'entreprise vend la totalité de sa production. Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de 50 milliers d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le chiffre d'affaires $R(x)$, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran. \item Vérifier que le bénéfice $B(x)$, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est: $B(x) = - 2x^3 + 23x^2 - 40x - 10$. \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction B. \begin{enumerate} \item Calculer $B'(x)$. \item Résoudre dans l'intervalle [0~;~10], l'équation $B'(x) = 0$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. \item Quelle quantité de safran l'entreprise doit-elle vendre pour réaliser le bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d'euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip Le tableau suivant donne la part (en pourcentage) des voitures diesel dans les ventes de voitures neuves, en France, entre 2012 et 2017. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Part des voitures diesel $y_i$ (en \:\%) &73 &67 &64 &58 &52 &48\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : Comité de Constructeurs Français d'Automobile}} \end{tabularx} \end{center} Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.25,34) \multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,34)} \multido{\n=0.0+3}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40,Dy=3]{->}(0,0)(0,0)(6.25,34) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40,Dy=3](0,0)(0,0)(6.25,34) \uput[d](5.5,-1.3){Rang de l'année} \rput{90}(-0.75,27){Part des voitures diesel} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,33)(1,27)(2,24)(3,18)(4,12)(5,8) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation : $y = - 5x + 73$. On suppose que la tendance observée se poursuivra jusqu'en 2022. \begin{enumerate} \item Selon ce modèle, quelle sera la part des voitures diesel en 2018 ? \item À partir de quelle année peut-on estimer que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à 25\,\% ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre de smartphones vendus en France (en millions d'unités) de 2011 à 2015. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Nombre de smartphones vendus (en millions) &11,4 & &15,8 &18,2 &20,5\\ \hline Taux d'évolution (arrondi à 0,01\,\%) &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&18,42\,\% &17,04\,\% & &12,64\,\% \\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source: GFK}} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Les ventes de smartphones ont progressé de 18,42\,\% de 2011 à 2012. Calculer le nombre de smartphones vendus en France en 2012. \emph{On arrondira la réponse à $0,1$ million}. \item Déterminer le taux d'évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 arrondi à 0,01\,\%. \item Montrer que le taux d'évolution global des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d'environ 79,82\,\%. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015. \emph{On arrondira la réponse à l'unité}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère qu'à partir de l'année 2015, le nombre de smartphones vendus en France va augmenter chaque année de 16\,\%. On note $u_n$ le nombre de smartphones (en millions) vendus en France en $2015 + n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0 = 20,5$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier et donner sa raison. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire une estimation du nombre de smartphones vendus en France en 2020. \emph{On arrondira la réponse à $0,1$ million}. \end{enumerate} \end{document}