\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{colortbl} \usepackage{graphicx} %Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon %tapuscrit Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 28 novembre 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \def\e{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{28 novembre 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017~\decofourright\\[4pt]}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)} \medskip Si nécessaire, les probabilités seront arrondies au millième. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une coopérative de fruits doit calibrer sa production de cerises, c'est-à-dire les trier selon leur taille. Elle produit des cerises burlats et des cerises griottes. Les cerises qui ont un calibre trop petit seront écartées du stock et ne pourront pas être commercialisées. On sait que 70\,\% des cerises produites sont des burlats ; les autres sont donc des griottes. Parmi les burlats, 10\,\% sont écartées et parmi les griottes 25\,\% le sont également. On choisit au hasard une cerise dans le stock, avant le calibrage. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{11mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $B$ : \og la cerise choisie est une burlat \fg, \item[$\bullet~~$] $C$ : \og la cerise choisie est une griotte \fg, \item[$\bullet~~$] $E$ : \og la cerise choisie est écartée du stock \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B~$}\naput{\ldots}} {\TR{$E$} \taput{\ldots} \TR{$\overline{E}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$G~$}\nbput{\ldots}} {\TR{$E$} \taput{\ldots} \TR{$\overline{E}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $B \cap E$. \item Montrer que la probabilité que la cerise soit écartée du stock est égale à 0,145. \end{enumerate} \item On sait à présent que la cerise choisie a été écartée du stock. On s'intéresse à la probabilité que ce soit une griotte. \begin{enumerate} \item Comment note-t-on cette probabilité ? \item Calculer cette probabilité. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse à une autre coopérative qui produit exclusivement des cerises du type bigarreaux. On admet que la taille $T$, en millimètres, de ces bigarreaux suit une loi normale d'espérance $\mu = 22$~mm et d'écart-type $\sigma = 1,6$~mm. Ces cerises sont réparties en trois catégories selon leur taille. \setlength\parindent{11mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \og classique \fg{} si $21 \leqslant T \leqslant 23,6$ \item[$\bullet~~$] \og gourmande \fg{} si $T \geqslant 23,6$ \item[$\bullet~~$] \og déclassée \fg{} si $T \leqslant 21$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard une cerise dans le stock de cette coopérative. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la cerise choisie soit classique. \item Calculer les probabilités $P(T \geqslant 23,6)$ et $P(T \leqslant 21)$. Interpréter ces deux résultats dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4 points)} \medskip \emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul donne l'évolution de la population en Inde de 1960 à 2010. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1 &\footnotesize Année &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2005 &2010\\ \hline 2 &\footnotesize Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 3 &\footnotesize Population $y_i$ (en millions) &449 &498 &555 &622 &699 &782 &869 &956 &\np{1042}&\np{1127}&\np{1206}\\ \hline 4 &\footnotesize Taux d'évolution de la population en \% arrondi à 0,1\,\% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &10,9 &11,4 &12,1 &12,4 &11,9 &11,1 &10,0 &9,0 &8,2 &7,0\\ \hline \multicolumn{13}{r}{\small \emph{Source : Banque mondiale (juillet 2015)}} \end{tabularx} \end{center} Lecture pour la ligne 4 : le taux d'évolution de la population entre les années 1990 et 1995 est d'environ 10\,\%. \bigskip \textbf{Partie A : Calcul du taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier par un calcul le taux d'évolution de la population en Inde entre 1960 et 1965, donné dans la cellule C4. \item Quelle formule a été saisie dans la cellule C4 pour obtenir par recopie vers la droite jusqu'à la cellule L4, les taux d'évolution successifs jusqu'en 2010 ? \item Peut-on dire que le taux d'évolution moyen de la population est de 0,22\,\% par an entre 1990 et 1995 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la série statistique} \medskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 78x + 410$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $D$ dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie. \item À l'aide de ce modèle, estimer la population en Inde en 2020. \item En quelle année la population en Inde devrait-elle dépasser $1,5$ milliard d'habitants ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On s'intéresse à l'évolution du prix de l'abonnement, proposé dans l'offre \og bleu ciel\fg d'un grand fournisseur français d'électricité. On a reporté dans le tableau ci-dessous les cinq augmentations successives de ce prix. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &janvier 2014&novembre 2014&janvier 2015&août 2015&janvier 2016\\ \hline Augmentation en \,\%&+3\,\% &+2,5\,\% &+2,5\,\% &+2,5\,\% &+2\,\%\\ \hline \multicolumn{6}{r}{Source : cre.fr} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que le taux d'évolution global de ces cinq augmentations entre janvier 2014 et janvier 2016 est 13,1\,\% (valeur arrondie à 0,1\,\%). \item Justifier que le taux d'évolution annuel moyen du prix de l'abonnement sur cette période est 2,5\,\%, arrondi à 0,1\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En janvier 2016, le prix de l'abonnement, proposé dans l'offre \og bleu ciel\fg était de 54 euros TTC. On admet qu'à partir de janvier 2016, le tarif augmente tous les six mois (en janvier et en juillet) de 2,5\,\%. Pour tout entier naturel $n$,\: $V_n$ désigne une estimation du prix TTC de cet abonnement à l'électricité, $n$ semestres après janvier 2016. Ainsi, $V_0 = 54$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ainsi que sa raison. \item Exprimer $V_n$ en fonction de $n$. \item Calculer $V_3$ et interpréter le résultat obtenu. On arrondira au centième. \item À partir de quand le prix de l'abonnement aura-t-il dépassé $65$ euros ? Indiquer la méthode utilisée. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X} \textbf{Initialisation:}& $V$ prend la valeur 54\\ &$N$ prend la valeur $0$\\ \textbf{Traitement :} &Tant que $V < 70$\\ &\hspace{1.1cm}$V$ prend la valeur $1,025 \times V$\\ &\hspace{1.1cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie : } &Afficher $N$\\ \end{tabularx} \end{center} La valeur de $N$ affichée en sortie est 11. Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous. On considère les points A(0~;~30), B$(2~;~14)$, D$(4~;~-10)$ et E$(4~;~- 2)$. La droite (BD) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B. Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A et E sont parallèles à l'axe des abscisses. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture*}(-2,-16)(6.5,46) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10] \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-15)(\n,45)} \multido{\n=-15+5}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-15)(6,45) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(6,45) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 3 exp x dup mul 6 mul sub 30 add} \psplot[plotpoints=3000]{-0.5}{4.2}{38 12 x mul sub} \uput[l](5.8,27.5){\blue $\mathcal{C}$} \psdots(0,30)(2,14)(4,-10)(4,-2)%ABDE \uput[ur](0,30){A} \uput[dl](2,14){B} \uput[dl](4,-10){D} \uput[dr](4,-2){E} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide des informations précédentes, compléter le tableau ci-dessous reproduit en annexe : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9.5,3) \psframe(9.5,3) \psline(0,2)(9.5,2)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.25,2.4){$- 2$}\uput[u](4.5,2.4){$\ldots$}\uput[u](7,2.4){$4$}\uput[u](9.35,2.4){$6$} \rput(1,2.25){\footnotesize Signe de $f'(x)$}\uput[u](3.25,2){\ldots}\uput[u](4.5,2){\ldots} \uput[u](5.75,2){\ldots}\uput[u](7,2){\ldots}\uput[u](8.25,2){\ldots} \rput(1,1){\footnotesize Variations de $f$}\uput[u](2.25,0){$- 2$}\uput[d](4.5,2){\ldots} \uput[u](7,0){$- 2$}\uput[d](9.3,2){\ldots} \psline{->}(2.5,0.5)(4,1.5)\psline{->}(5,1.5)(7,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item Donner sans justification le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$. \item Justifier que le coefficient directeur de la droite (BD) est $- 12$. En déduire la valeur de $f'(2)$. \item Parmi les courbes suivantes indiquez celle qui représente la fonction dérivée $f'$. On justifiera le choix. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.125cm} \begin{pspicture}(-2,-15)(6.2,42) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-15)(\n,40)} \multido{\n=-15+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-15)(6.2,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-15)(6.2,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.2,40) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul 3 mul x 12 mul sub} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.125cm} \begin{pspicture}(-2,-40)(6.2,15) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-40)(\n,15)} \multido{\n=-40+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-40)(6.2,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-40)(6.2,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.2,15) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul 3 mul x 12 mul sub neg} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.228cm} \begin{pspicture}(-2,-10)(6.2,20) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(6.2,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(6.2,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.2,20) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul x 4 mul sub 1.5 mul} \end{pspicture}\\ Proposition 1&Proposition 2&Proposition 3\\ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Partie B :} \medskip L'expression de la fonction $f$ est donnée, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~6]$ par \[f(x) = x^3 - 6x^2 + 30.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~6]$. \item En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $5$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{.5cm} \textbf{EXERCICE 2 - PARTIE B} \vspace{1cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-1,-80)(13.5,1550) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1550)} \multido{\n=0+100}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(13.5,1550) \uput[d](6.5,-50){Rang de l'année} \rput{90}(-1.1,760){Population (en millions)} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4,linecolor=red](0,449)(1,498)(2,555)(3,622)(4,699)(5,782)(6,869)(7,956)(8,1042)(9,1127)(10,1206) \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9.5,3) \psframe(9.5,3) \psline(0,2)(9.5,2)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.25,2.4){$- 2$}\uput[u](4.5,2.4){$\ldots$}\uput[u](7,2.4){$4$}\uput[u](9.35,2.4){$6$} \rput(1,2.25){\footnotesize Signe de $f'(x)$}\uput[u](3.25,2){\ldots}\uput[u](4.5,2){\ldots} \uput[u](5.75,2){\ldots}\uput[u](7,2){\ldots}\uput[u](8.25,2){\ldots} \rput(1,1){\footnotesize Variations de $f$}\uput[u](2.25,0){$- 2$}\uput[d](4.5,2){\ldots} \uput[u](7,0){$- 2$}\uput[d](9.3,2){\ldots} \psline{->}(2.5,0.5)(4,1.5)\psline{->}(5,1.5)(7,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9,1.5) \end{pspicture} \end{center} \end{document}