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%tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{20 juin 2018}}
\label{Polynesie}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie 19 juin 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
Pour chaque affirmation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est attendue.\\
Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

Une espèce d'oiseaux rares voit sa population diminuer de 3\,\% chaque année.

On recense 300 oiseaux de cette espèce en 2017.

On modélise le nombre d'oiseaux de cette espèce en l'année $2017 +n$ par une suite 
$\left(u_n\right)$.

Ainsi $u_0 = 300$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En 2018, la population sera de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} $291$ oiseaux&\textbf{B.~~} $297$ oiseaux&\textbf{C.~~} $90$ oiseaux&\textbf{D.~~} $210$ oiseaux
\end{tabularx}
\medskip

\item  La suite $\left(u_n\right)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} arithmétique de raison $- 9$&\textbf{B.~~} géométrique de raison $0,03$\\
\textbf{C.~~} géométrique de raison $0,97$&\textbf{D.~~} ni arithmétique, ni géométrique
\end{tabularx}
\medskip
\item  On donne la feuille de tableur ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B\\ \hline
1 	&$n$	 &$u(n)$\\ \hline
2 	&0 		&300\\ \hline
3 	&1	&\\ \hline
4 	&2	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle formule saisie dans la cellule B3 permettra d'afficher les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ en l'étirant vers le bas ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} = B2 $- 0,03$ &\textbf{B.~~} = B2 $* 0,03$ &\textbf{C.~~} = B$2 * 0,97$\verb+^+A3 &\textbf{D.~~} = B2 $* 0,97$
\end{tabularx}
\medskip
\item  On donne un extrait des résultats obtenus dans la feuille de tableur précédente:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B\\ \hline
22 &20 &163\\ \hline
23 &21 &158\\ \hline
24 &22 &153\\ \hline
25 &23 &149\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On peut en déduire que la population aura diminué de moitié par rapport à 2017 à partir de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}2039 &\textbf{B.~~} 2040 &\textbf{C.~~} 2041 &\textbf{D.~~}2042
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\medskip

On choisit au hasard un salarié dans une première entreprise. On modélise l'âge du salarié par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $40$ et d'écart type $5$.

\emph{Si besoin, on arrondira les probabilités à } $10^{-2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le salarié ait entre 35 et 50 ans.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $(X \geqslant 45)$.
\item Dans une deuxième entreprise, on choisit un salarié. L'âge du salarié choisi est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale telle que 
$P(Y  \geqslant 45) = 0,5$ et 

$P(37 \leqslant Y \leqslant 53) \approx 0,95$.

Déterminer les valeurs de l'espérance $\mu$ et de l'écart type $\sigma$ de la loi normale suivie par Y.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le nombre de catastrophes naturelles dans le monde en 1955, 1966, 1977, 1988 et 1999 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1955 &1966 &1977 &1988 &1999\\ \hline
Rang de l'année $x_i$& 0 &11 &22 &33 &44\\ \hline
Nombre de catastrophes naturelles $y_i$& 30 &81 &140 &237 &414\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : https://www.notre-planete.info}}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie), représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau précédent.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de votre calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le graphique fourni en annexe.
		\item En se servant de cet ajustement, estimer le nombre de catastrophes naturelles ayant eu lieu en 1990.
	\end{enumerate}
\item  De 1999 à 2000 on a enregistré une augmentation de 27\,\% du nombre de catastrophes naturelles.
	
Combien de catastrophes naturelles l'année 2000 a-t-elle comptées ?
\item  De 2000 à 2016, le nombre de catastrophes naturelles a diminué de 43,5\,\%.
	
Déterminer le taux d'évolution annuel moyen sur cette période.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le pays Écoland, en 2080, les véhicules roulent exclusivement à l'électricité ou aux
biocarburants. Par ailleurs, il existe des véhicules sans chauffeur.

70\,\% des véhicules sont avec chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{4}{7}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l'électricité.

30\,\% des véhicules sont sans chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{2}{3}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l'électricité.

\smallskip

On choisit un véhicule de ce pays au hasard et on note :

\begin{description}
\item[ ] $C$ l'évènement: \og le véhicule est avec chauffeur \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement: \og le véhicule roule aux biocarburants \fg{} ;
\item[ ] $E$ l'évènement: \og le véhicule roule à l'électricité \fg.
\end{description}

\emph{Les probabilités seront exprimées en valeur exacte (fraction irréductible ou forme décimale).}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous permettant de modéliser la situation :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$B$}\naput{\ldots}
	\TR{$E$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$B$}\naput{\ldots}
	\TR{$E$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

où $\overline{C}$ désigne l'évènement contraire de $C$.

\medskip

\item  Déterminer la probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
\item  On suppose que le véhicule choisi roule aux biocarburants.

Déterminer la probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à la consommation d'un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule.

Cette consommation est modélisée par la fonction $f$ définie sur [30~;~130] par :

\[f(x) = \dfrac{8x^2 - 800x + \np{30000}}{x^2}\quad  \text{pour}\: x\: \text{dans}\: [30~;~130]\]

où $x$ est exprimé en km/h et $f(x)$ est exprimé en litres pour 100 km.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Suivant ce modèle, lorsque le véhicule roule à 30 km/h, quelle est sa consommation ?

Et lorsqu'il roule à 50 km/h ?
\item  Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ sur [30~;~130] peut s'écrire $f'(x) = \dfrac{800x - \np{60000}}{x^3}$.
\item  Étudier le signe de $f'(x)$ sur [30~;~130] et en déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
\item  Pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ?

Que vaut alors cette consommation (arrondir à $0,01$ près) ?
\item  On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets 30$\\
$y \gets \dfrac{44}{3}$\\
Tant que $y \geqslant 4$\\
\hspace{1cm}$x \gets x+1$\\
\hspace{1cm}$y \gets \dfrac{8x^2 - 800x + \np{30000}}{x^2}$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à l'exercice 3}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.225cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-2,-20)(57,510)
\multido{\n=0+1}{58}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+20}{26}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(57,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(0,0)(57,510)
\uput[u](56,0){$x$}\uput[r](0,505){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}