\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
%h\usepackage{xspace,setspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{colortbl}
%\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem}
%\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
%tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STMG},
pdftitle = {Polynésie - 4 septembre 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2018}}
\label{Polynesie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie 4 septembre 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

L'indice du prix du beurre, au 1\up{er} de chaque mois de janvier à août 2017, est donné dans le tableau suivant (base 100 en janvier 2005).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B 		&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I\\ \hline
1	& Mois 	&janvier &février &mars &avril &mai &juin &juillet &août\\ \hline
2	& Indice du prix du beurre &123,5 &123,5 &123,5 &123,5 &139,6 &161,1 &174,6 &179,9\\ \hline
3&\small Taux d'évolution mensuel du prix du beurre en \%&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&0 &0 &0 &13 &15,4 &8,4 &3\\ \hline
4& Prix de la tonne de beurre en euros &\np{4500}&	&	&	&	&	&	 &\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{D'après INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel était le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} janvier 2005 ?
\item Proposer une formule à écrire dans la cellule C4, et à recopier vers la droite jusqu'à la cellule I4, qui permet de calculer le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} de chaque mois.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution, en pourcentage arrondi au dixième, du prix du beurre de janvier à août 2017.
		\item En déduire que le taux d'évolution mensuel moyen est d'environ 5,5\,\% sur cette période.
 	\end{enumerate}
\item Calculer le prix de la tonne de beurre le 1\up{er} mai 2017 à l'euro près.
\item Le prix de la tonne de beurre était de \np{6500}~euros le 1\up{er} octobre 2017.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'indice (base 100 en janvier 2005) du prix du beurre le 1\up{er} octobre 2017, au dixième près.
		\item L'évolution moyenne trouvée dans la question 3. b. s'est-elle poursuivie après le mois d'août ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Campagne de publicité}

\medskip

Une entreprise réalise une campagne de publicité sur six mois pour la sortie d'un nouveau
téléviseur.

Elle estime que la probabilité qu'une personne prise au hasard connaisse ce téléviseur après $x$ semaines de publicité est donnée par :

\[f(x) = \dfrac{9x}{10x + 40} \quad \text{pour}\: x \in  [0~;~26].\]

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité ? Après deux semaines ?
\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{360}{(10x + 40)^2}$.
\item  Donner le signe de $f'(x)$ pour $x \in [0~;~26]$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~26].
\item  Voici un algorithme :

\parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets 0$\\
$y \gets 0$\\
Tant que $y < 0,75$\\
\hspace{0.4cm}$x \gets x+1$\\
\hspace{0.4cm}$y \gets \dfrac{9x}{10x+40}$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}}\hfill
\parbox{0.65\linewidth}
{
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de
l'exécution de cet algorithme ?
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Durée de vie d'un téléviseur}

\medskip

On décide de modéliser la durée de vie, en mois, d'un téléviseur par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$. Sa fonction de densité est représentée
ci-dessous ainsi que la probabilité $P(X \leqslant 44) = 0,025$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=150cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-0.005)(160,0.02)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=2](84,0)(0,0)(160,0.02)
%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=84,sigma=20]{0}{160}
\def\f{1/(20.4*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-84)/20.4)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{\f}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{24}{44}{\f}
\psline(44,0)(24,0)}
\multido{\n=24+20}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psline(64,0.0008)(64,-0.0007)
\psline(104,0.0008)(104,-0.0007)
\psline(124,0.0008)(124,-0.0007)
\psline(144,0.0008)(144,-0.0007)
%\uput[ur](27.5,0.02){2,3\,\%}
%\uput[dr](27.2,0){27,2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des informations fournies par le graphique, déterminer une valeur de :
	\begin{enumerate}
		\item l'espérance $\mu$,
		\item $P(44 \leqslant  X \leqslant 124)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
Dans la suite on admet que l'écart-type est $\sigma = 20,4$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer $P(X > 120)$. Arrondir au centième.
\item La campagne de publicité de ce modèle de téléviseur vantait sa fiabilité et affirmait que la durée de vie de ce modèle serait de plus de $10$~ans pour au moins les trois quarts d'entre eux. Qu'en pensez-vous ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Service après-vente}

\medskip

Une enquête a été réalisée dans une grande surface de multimédia sur des clients ayant acheté un téléviseur deux ans plus tôt. On a constaté que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$40$\,\% de ces clients ont souscrit une garantie de deux ans. Parmi eux :
	\begin{itemize}
		\item un quart a contacté une seule fois le service après-vente (SAV) ;
		\item 28\,\% n'ont pas contacté le SA V ;
		\item les autres ont contacté le SA Vau moins deux fois.
	\end{itemize}
\item[$\bullet~~$]Parmi les clients n'ayant pas souscrit de garantie de deux ans :
	\begin{itemize}
		\item $80$\,\% n'ont pas contacté le SAV ;
		\item $15$\,\% ont contacté le SAV une seule fois;
		\item les autres ont contacté le SAV au moins deux fois.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

On choisit au hasard un client ayant acheté un téléviseur dans ce magasin deux ans plus tôt et on note les évènements :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $G$ : \og Le client a souscrit une garantie de deux ans \fg{} ;
\item $A$ : \og Le client n'a pas contacté le SAV \fg{} ;
\item $B$ : \og Le client a contacté le SAV une seule fois\fg{} ;
\item $C$ : \og Le client a contacté le SAV au moins deux fois \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie.
\item Calculer la probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu'il n'ait pas contacté le SAV.
\item Calculer la probabilité que le client n'ait pas contacté le SAV.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

En France, le temps moyen quotidien, en heures, passé par une personne devant un écran
d'ordinateur, de tablette ou de smartphone est donné dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&0 	&1 		&2 		&3 		&4\\ \hline
Temps en h passé devant
 un écran $y_i$			&2,78 	&3,27 	&3,52 	&3,77 	&3,97\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
\item  Dans la suite de l'exercice, on prend la droite d'équation $y = 0,3x + 2,9$ comme
ajustement du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
		\item En utilisant cet ajustement, déterminer une estimation du temps quotidien passé devant un écran en 2018.
		\item D'après ce modèle, en quelle année va-t-on atteindre les $5$ heures quotidiennes devant un écran ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

D'après une étude, le temps quotidien passé devant un écran devrait augmenter de 5\,\% chaque année à partir de 2017.

On note $u_n$ le temps quotidien en heures passé devant un écran l'année $2017 + n$.

On a donc $u_0 = 3,97$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.
\item Exprimer $u_n $en fonction de $n$.
\item À l'aide de ce modèle, donner une estimation, arrondie au centième, du temps
quotidien passé devant un écran en 2019.
\item D'après ce modèle, en quelle année devrait-on dépasser les 5 heures quotidiennes
passées devant un écran ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}
\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G~$} \taput{\ldots}}
	{\TR{$A$} \taput{0,28}
	\TR{$B$}\taput{0,25}
	\TR{$C$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}~$} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$A$} \taput{\ldots}
	\TR{$B$}\taput{0,15}
	\TR{$C$} \tbput{\ldots}
	}
}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(11,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,10)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.7,linecolor=red](0,2.78)(1,3.27)(2,3.52)(3,3.77)(4,3.97)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}