\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Pondichéry - 25 avril 2017 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{26 avril 2017}} \label{Pondichery} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Pondichéry 26 avril 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \medskip Le service marketing d’un centre commercial veut évaluer l’impact des frais engagés en publicité, par mois, sur le nombre de clients. Pour cela, ce service s’appuie sur les données ci-dessous, relevées sur une période de 6 mois : \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}}\hline Frais publicitaires $x_i$ (en milliers d’euros) &1,9&2,4&1,5&0,9&2,3 &1,7\\\hline Fréquentation $y_i$ (en milliers de clients) &190&250&170&150&210 &180\\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté ci-dessous. \psset{xunit=3cm,yunit=0.025cm,comma=true} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.4,-35)(3.6,300) \multido{\n=0+0.25}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,280)} \multido{\n=0+40}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(3.6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=40,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(3.6,280)%[Rang de l'année,140][CA en milliards d'euros,40] \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1.9,190)(2.4,250)(1.5,170)(0.9,150)(2.3,210)(1.7,180) \uput[d](2,-30){\footnotesize Frais publicitaires $x_i$}\uput[d](-0.35,190){\rotatebox{90}{\footnotesize Fréquentation $y_i$}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Donner à l’aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{droite d'ajustement} \emph{On arrondira les coefficients au centième.} \item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation $y = 58,3x + 87,6$. \begin{enumerate} \item On estime alors que pour \np{4 000} euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à \np{321 000} clients. Vérifier la cohérence de l’estimation annoncée. \item Quel est le montant des frais publicitaires devant être engagés pour espérer \np{400 000} clients au cours d’un mois ? \emph{On arrondira à la centaine d’euros.} \item Le centre commercial décide d’engager \np{5000} euros pour la campagne publicitaire du prochain mois. Lors du bilan, on dénombre \np{330000} clients ayant fréquenté le site au cours de ce mois. Comment peut-on analyser ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip \emph{Le diabète de type 1 est une maladie qui apparaît le plus souvent durant l'enfance ou l’adolescence.\\ Les individus atteints par cette maladie produisent très peu ou pas du tout d'insuline, hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l'organisme.} \smallskip En 2016, \np{542000} enfants dans le monde étaient atteints de diabète de type 1. Des études récentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diabétiques va augmenter de 3\,\% par an à partir de 2016. On note $u_n$ le nombre d’enfants diabétiques dans le monde pour l'année $(2016+n)$. Ainsi $u_0 = \np{542000}$.\index{suite géométrique} \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la suite $\left(u_n\right)$ : \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, permet de calculer les termes de la suite $(u_n)$. Les cellules de la colonne C sont au format \og nombre à zéro décimale \fg. Quelle formule, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir les valeurs de la colonne C ? \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|*{2}{c|}} \hline &A&B&C\\\hline 1&Année &$n$&$u_n$\\\hline 2&2016 &0 &\np{542000}\\\hline 3&2017 &1 &\\\hline \dots&\dots&\dots&\dots\\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item Calculer le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021. \item On considère l’algorithme suivant :\index{algorithme} \setlength\parindent{20mm} \begin{tabular}{|ll} \textbf{Initialisation}& $U$ prend la valeur \np{542000}\\ &$N$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement}&Tant que $U < \np{625000}$\\ & \phantom{mm} $U$ prend la valeur $\np{1.03}\times U$\\ & \phantom{mm} $N$ prend la valeur $N+1$\\ &Fin Tant que \end{tabular} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. \emph{On arrondira les valeurs de $U$ à l’unité.} \medskip \begin{tabular}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}p{1.4cm}|}} \hline \centering{$U$} & \np{542000} &\np{558260}&&&&\\\hline \centering{$N$} &0 &1 &&&&\\\hline $U < \np{625 000}$ ?&VRAI & &&&&\\\hline \end{tabular} \medskip \item Que permet de calculer cet algorithme dans le contexte de l’exercice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre 0 et 25 pièces. \bigskip \textbf{Partie A : Lectures graphiques} \medskip À l’aide du graphique donné ci-dessous, répondre aux questions suivantes :\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le montant des charges pour 5 pièces produites par jour ? \item Combien de pièces sont produites par jour pour un montant des charges de \np{2000} euros ? \item Quelles quantités produites par jour permettent à l’entreprise de réaliser un bénéfice ? \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.001cm} \begin{pspicture}(-1,-3)(26,7700) \multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,7400)} \multido{\n=0+500}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0.,-2.5)(26,7500) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{25}{x 247 mul} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{25}{x x x 30 sub mul 400 add mul 100 add} \uput[u](19.5,5500){\scriptsize \blue Chiffre d'affaires} \uput[d](21,4200){\footnotesize \red Charges}\uput[d](20,-500){\footnotesize Nombre de pièces par jour} \uput[d](-2.5,6000){\rotatebox{90}{\scriptsize Montant en euros}} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip Le montant des charges correspondant à la fabrication de $x$ pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle [0~;~25] par : \[C(x) = x^3 - 30x^2 + 400x + 100.\]\index{fonction polynôme} On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de $247$~euros. \medskip \begin{enumerate} \item On note $B$ la fonction bénéfice, exprimée en euros. Justifier que l’expression de $B(x)$ sur l’intervalle [0~;~25] est : $B(x) = -x^3 + 30x^2 - 153x - 100$. \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0~;~25].\index{dérivée} \item Justifier le tableau suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,1.6) \psframe(10,1.55) \psline(0,1)(10,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.5) \uput[d](1.15,1.5){$x$} \uput[d](2.75,1.5){$0$} \uput[d](5.25,1.5){$3$}\uput[d](7.5,1.5) {$17$} \uput[d](9.8,1.5){$25$} \rput(4,0.5){$-$}\rput(5.25,0.5){$0$}\rput(6.3,0.5){$+$}\rput(9,0.5){$-$}\rput(7.5,0.5){0} \rput(0.95,0.5){\footnotesize signe de $B'(x)$ } \psline[linestyle=dotted](5.25,0)(5.25,1)\psline[linestyle=dotted](7.5,0)(7.5,1) \end{pspicture} \end{center} \item En déduire le tableau de variations \textbf{complet} de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~25].\index{tableau de variations} \item Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit produire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice maximal ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Coût moyen} \medskip On appelle coût moyen la fonction $C_M$ définie sur l’intervalle ]0~;~25] par $C_M =\dfrac{C(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Calculer $C_M(16)$ et $C_M(17)$. \emph{On arrondira au centime d’euro.} \item On donne le tableau de variations de la fonction $C_M$ : \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(10,2.6) \psframe(9,2.4) \psline(0,1.6)(9,1.6)\psline(3,0)(3,2.4) \rput(1.45,2){$x$}\rput(3.7,2){$0$}\rput(6,2){$\np{15.2}$}\rput(8.5,2){$25$} \rput(1.45,1){$C_M(x)$}\rput(8.5,1.35){$279$}\rput(6,0.35){$\np{181.6}$} \psline[linewidth=0.2pt](3.65,0)(3.65,1.6)\psline[linewidth=0.2pt](3.7,0)(3.7,1.6) \psline[linewidth=0.3pt]{->}(4,1.2)(5.2,0.4)\psline[linewidth=0.2pt]{->}(6.7,0.4)(8,1.1) \end{pspicture} \end{center} L’affirmation suivante est-elle vraie ? \emph{\og Lorsque le bénéfice de l’entreprise augmente, le coût moyen diminue\fg}. Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On s’intéresse au nombre de dons de sang lors de collectes organisées au sein de l’Établissement Français du Sang (EFS) depuis 2010. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{2.55cm}|*{5}{c|}}\hline Année &2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014\\\hline Nombre de dons de sang (en milliers) &\np{2473} &\np{2586} &\np{2612} &\np{2589} &\np{2547}\\\hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize Source : site de l’EFS} \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à 0,01\,\% près, le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014.\index{pourcentage} \item En déduire que l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est de 0,74\,\% arrondie à 0,01\,\%. \item En supposant que l’augmentation du nombre de dons suivra la même évolution, combien de dons de sang peut-on espérer collecter en 2017? \emph{On arrondira au millier.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans une région, 54\,\% des donneurs sont des hommes. Parmi eux, 37\,\% ont moins de 40 ans. Parmi les femmes donnant leur sang, 48\,\% ont moins de 40 ans. On interroge au hasard un donneur de sang dans cette région et on considère les événements suivants : \begin{itemize} \item [$\bullet$~~]$H$ : \og la personne interrogée est un homme\fg \item [$\bullet$~~]$Q$ : \og la personne interrogée a moins de 40 ans\fg. \end{itemize} $\overline{H}$ désigne l’évènement contraire de $H$ et $P_H(Q)$ la probabilité de $Q$ sachant $H$.\index{probabilité} \begin{enumerate} \item À l’aide de l’énoncé, donner $P(H)$ et $P_H(Q)$. \item Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.\index{arbre} \hfill \begin{minipage}[t]{5cm} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$H~$}\taput{$\dots$}} { \TR{$Q$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{Q}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$\overline{H}~$}\tbput{$\dots$}} {\TR{$Q$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{Q}$}\tbput{$\dots$} } } \end{minipage} \item Calculer $P(H\cap Q)$. Interpréter le résultat obtenu. \item Démontrer que la probabilité que la personne interrogée ait moins de 40 ans est \np{0,4206}. \item La personne interrogée a plus de 40 ans. Déterminer la probabilité que ce soit un homme. \emph{On arrondira à $10^{-4}$}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip L’EFS affirme que dans une région donnée : \og 23\,\% de la population donne son sang au moins une fois par an\fg. On interroge au hasard un échantillon de \np{1 000} personnes habitant cette région. Parmi elles, $254$ ont donné au moins une fois leur sang au cours de la dernière année. Peut-on mettre en doute l’affirmation de l’EFS ? Justifier la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation. \end{document}