\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{xspace,setspace} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{colortbl} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \makeindex \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès et Jean-Claude Souque \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-math,pst-func,pst-bezier,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {année 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small STT L'intégrale 2017} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} } \lhead{\small Baccalauréat STMG} \begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG 2017 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à novembre 2017}} \end{center} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 25 avril 2017} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 13 juin 2017} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers 15 juin 2017} \dotfill \pageref{Etranger}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 15 juin 2017} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole--La Réunion 15 juin 2017} \dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie 4 septembre 2017} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane 7 septembre 2017} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ \hyperlink{Metrosep}{Métropole--La Réunion 7 septembre 2017} \dotfill \pageref{Metrosep}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017} \dotfill \pageref{Caledonienov}\\ \end{tabularx} \vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} %À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ %%%%%%%%%%%% \newpage %%%%%%%%%%%% Pondichéry CGRH 26 avril 2017 \hypertarget{Pondichery}{} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{26 avril 2017}} \label{Pondichery} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Pondichéry 26 avril 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \medskip Le service marketing d’un centre commercial veut évaluer l’impact des frais engagés en publicité, par mois, sur le nombre de clients. Pour cela, ce service s’appuie sur les données ci-dessous, relevées sur une période de 6 mois : \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}}\hline Frais publicitaires $x_i$ (en milliers d’euros) &1,9&2,4&1,5&0,9&2,3 &1,7\\\hline Fréquentation $y_i$ (en milliers de clients) &190&250&170&150&210 &180\\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté ci-dessous. \psset{xunit=3cm,yunit=0.025cm,comma=true} \begin{pspicture}(-1,-70)(3.8,300) \multido{\n=0+0.25}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,280)} \multido{\n=0+40}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(3.55,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=40,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(3.7,280) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1.9,190)(2.4,250)(1.5,170)(0.9,150)(2.3,210)(1.7,180) \uput[d](2,-30){\scriptsize Frais publicitaires $x_i$}\uput[d](-0.35,190){\rotatebox{90}{\scriptsize Fréquentation $y_i$}} \end{pspicture} \begin{enumerate} \item Donner à l’aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{droite d'ajustement} \emph{On arrondira les coefficients au centième.} \item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation $y = 58,3x + 87,6$. \begin{enumerate} \item On estime alors que pour \np{4 000} euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à \np{321 000} clients. Vérifier la cohérence de l’estimation annoncée. \item Quel est le montant des frais publicitaires devant être engagés pour espérer \np{400000} clients au cours d’un mois ? \emph{On arrondira à la centaine d’euros.} \item Le centre commercial décide d’engager \np{5000} euros pour la campagne publicitaire du prochain mois. Lors du bilan, on dénombre \np{330000} clients ayant fréquenté le site au cours de ce mois. Comment peut-on analyser ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (5 points)} \medskip \emph{Le diabète de type 1 est une maladie qui apparaît le plus souvent durant l'enfance ou l’adolescence.\\ Les individus atteints par cette maladie produisent très peu ou pas du tout d'insuline, hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l'organisme.} \smallskip En 2016, \np{542000} enfants dans le monde étaient atteints de diabète de type 1. Des études récentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diabétiques va augmenter de 3\,\% par an à partir de 2016. On note $u_n$ le nombre d’enfants diabétiques dans le monde pour l'année $(2016+n)$. Ainsi $u_0 = \np{542000}$.\index{suite géométrique} \medskip \begin{enumerate} \item Étude de la suite $\left(u_n\right)$ : \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, permet de calculer les termes de la suite $(u_n)$. Les cellules de la colonne C sont au format \og nombre à zéro décimale \fg. Quelle formule, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir les valeurs de la colonne C ? \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|*{2}{c|}} \hline &A&B&C\\\hline 1&Année &$n$&$u_n$\\\hline 2&2016 &0 &\np{542000}\\\hline 3&2017 &1 &\\\hline \dots&\dots&\dots&\dots\\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item Calculer le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \setlength\parindent{20mm} \begin{tabular}{|ll} \textbf{Initialisation}& $U$ prend la valeur \np{542000}\\ &$N$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement}&Tant que $U < \np{625000}$\\ & \phantom{mm} $U$ prend la valeur $\np{1.03}\times U$\\ & \phantom{mm} $N$ prend la valeur $N+1$\\ &Fin Tant que \end{tabular} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. \emph{On arrondira les valeurs de $U$ à l’unité.} \medskip \begin{tabular}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}p{1.4cm}|}} \hline \centering{$U$} & \np{542000} &\np{558260}&&&&\\\hline \centering{$N$} &0 &1 &&&&\\\hline $U < \np{625 000}$ ?&VRAI & &&&&\\\hline \end{tabular} \medskip \item Que permet de calculer cet algorithme dans le contexte de l’exercice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)} \medskip Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre 0 et 25 pièces. \bigskip \textbf{Partie A : Lectures graphiques} \medskip À l’aide du graphique donné ci-dessous, répondre aux questions suivantes :\index{lecture graphique} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le montant des charges pour 5 pièces produites par jour ? \item Combien de pièces sont produites par jour pour un montant des charges de \np{2000} euros ? \item Quelles quantités produites par jour permettent à l’entreprise de réaliser un bénéfice ? \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.001cm} \begin{pspicture}(-1,-3)(26,7700) \multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,7400)} \multido{\n=0+500}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0.,-2.5)(26,7500) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1pt,plotpoints=200]{0}{25}{x 247 mul} \psplot[linecolor=red,linewidth=1pt,plotpoints=200]{0}{25}{x x x 30 sub mul 400 add mul 100 add} \uput[u](19.5,5500){\scriptsize \blue Chiffre d'affaires} \uput[d](21,4200){\scriptsize \red Charges}\uput[d](20,-500){\scriptsize Nombre de pièces par jour} \uput[d](-2.5,6000){\rotatebox{90}{\scriptsize Montant en euros}} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip Le montant des charges correspondant à la fabrication de $x$ pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle [0~;~25] par : \[C(x) = x^3 - 30x^2 + 400x + 100.\]\index{fonction polynôme} On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de $247$~euros. \medskip \begin{enumerate} \item On note $B$ la fonction bénéfice, exprimée en euros. Justifier que l’expression de $B(x)$ sur l’intervalle [0~;~25] est : $B(x) = -x^3 + 30x^2 - 153x - 100$. \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0~;~25].\index{dérivée} \item Justifier le tableau suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,1.6) \psframe(10,1.55) \psline(0,1)(10,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.5) \uput[d](1.15,1.5){$x$} \uput[d](2.75,1.5){$0$} \uput[d](5.25,1.5){$3$}\uput[d](7.5,1.5) {$17$} \uput[d](9.8,1.5){$25$} \rput(4,0.5){$-$}\rput(5.25,0.5){$0$}\rput(6.3,0.5){$+$}\rput(9,0.5){$-$}\rput(7.5,0.5){0} \rput(0.95,0.5){\footnotesize signe de $B'(x)$ } \psline[linestyle=dotted](5.25,0)(5.25,1)\psline[linestyle=dotted](7.5,0)(7.5,1) \end{pspicture} \end{center} \item En déduire le tableau de variations \textbf{complet} de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~25].\index{tableau de variations} \item Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit produire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice maximal ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Coût moyen} \medskip On appelle coût moyen la fonction $C_M$ définie sur l’intervalle ]0~;~25] par $C_M =\dfrac{C(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item Calculer $C_M(16)$ et $C_M(17)$. \emph{On arrondira au centime d’euro.} \item On donne le tableau de variations de la fonction $C_M$ : \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(10,2.6) \psframe(9,2.4) \psline(0,1.6)(9,1.6)\psline(3,0)(3,2.4) \rput(1.45,2){$x$}\rput(3.7,2){$0$}\rput(6,2){$\np{15.2}$}\rput(8.5,2){$25$} \rput(1.45,1){$C_M(x)$}\rput(8.5,1.35){$279$}\rput(6,0.35){$\np{181.6}$} \psline[linewidth=0.2pt](3.65,0)(3.65,1.6)\psline[linewidth=0.2pt](3.7,0)(3.7,1.6) \psline[linewidth=0.3pt]{->}(4,1.2)(5.2,0.4)\psline[linewidth=0.2pt]{->}(6.7,0.4)(8,1.1) \end{pspicture} \end{center} L’affirmation suivante est-elle vraie ? \emph{\og Lorsque le bénéfice de l’entreprise augmente, le coût moyen diminue\fg}. Justifier la réponse. \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (6 points)} \medskip \textbf{Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On s’intéresse au nombre de dons de sang lors de collectes organisées au sein de l’Établissement Français du Sang (EFS) depuis 2010. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{3.55cm}|*{5}{c|}}\hline Année &2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014\\\hline Nombre de dons de sang (en milliers) &\np{2473} &\np{2586} &\np{2612} &\np{2589} &\np{2547}\\\hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize Source : site de l’EFS} \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à 0,01\,\% près, le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014.\index{pourcentage} \item En déduire que l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est de 0,74\,\% arrondie à 0,01\,\%. \item En supposant que l’augmentation du nombre de dons suivra la même évolution, combien de dons de sang peut-on espérer collecter en 2017? \emph{On arrondira au millier.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans une région, 54\,\% des donneurs sont des hommes. Parmi eux, 37\,\% ont moins de 40 ans. Parmi les femmes donnant leur sang, 48\,\% ont moins de 40 ans. On interroge au hasard un donneur de sang dans cette région et on considère les événements suivants : \begin{itemize} \item [$\bullet$~~]$H$ : \og la personne interrogée est un homme\fg \item [$\bullet$~~]$Q$ : \og la personne interrogée a moins de 40 ans\fg. \end{itemize} $\overline{H}$ désigne l’évènement contraire de $H$ et $P_H(Q)$ la probabilité de $Q$ sachant $H$.\index{probabilité} \medskip \begin{enumerate} \item À l’aide de l’énoncé, donner $P(H)$ et $P_H(Q)$. \item Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.\index{arbre} \hfill \begin{minipage}[t]{5cm} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$H~$}\taput{$\dots$}} { \TR{$Q$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{Q}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$\overline{H}~$}\tbput{$\dots$}} {\TR{$Q$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{Q}$}\tbput{$\dots$} } } \end{minipage} \item Calculer $P(H\cap Q)$. Interpréter le résultat obtenu. \item Démontrer que la probabilité que la personne interrogée ait moins de 40 ans est \np{0,4206}. \item La personne interrogée a plus de 40 ans. Déterminer la probabilité que ce soit un homme. \emph{On arrondira à $10^{-4}$}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip L’EFS affirme que dans une région donnée : \og 23\,\% de la population donne son sang au moins une fois par an\fg. On interroge au hasard un échantillon de \np{1 000} personnes habitant cette région. Parmi elles, $254$ ont donné au moins une fois leur sang au cours de la dernière année. Peut-on mettre en doute l’affirmation de l’EFS ? Justifier la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.\index{intervalle de fluctuation} %%%%%%%%%%%% fin Pondichéry 25 avril 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie CGRH 13 juin 2017 \hypertarget{Polynesie}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 juin 2017}} \label{Polynesie} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Polynésie 13 juin 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)} \vspace{0.25cm} Des sondages quotidiens ont été effectués avant le second tour d'une élection opposant deux candidats A et B. Les intentions de votes, en pourcentage, pour le candidat A sont données dans le tableau suivant: \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Dates: &24/04 &25/04 &26/04 &27/04 &30/04 &01/05 &02/05 &03/05 &04/05\\\hline Rang du jour $x_i$ &1 &2 & 3 & 4 & 7 &8 &9 &10 &11\\\hline Pourcentage $y_i$ &55 &55 & 54,5 & 55 & 54 &53,5 &53 &53 &52\\\hline \end{tabularx} \smallskip Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de 55\,\% et pour le candidat B de 45\,\%. Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai. Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de $1$ à $11$, est donné en \textbf{\textsc{Annexe} 1 à rendre avec la copie}. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).\index{droite d'ajustement} \item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $D$ d'équation $y = -0,28x + 55,6$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $D$ sur le graphique figurant sur l'\textbf{\textsc{Annexe}}. \item Déterminer la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l'élection. \item Si l'élection n'avait pas eu lieu le 6 mai, d'après ce modèle, à partir de quelle date le candidat B serait-il passé en tête des sondages ? \end{enumerate} \item Des sondages ont été faits le jour de l'élection mais n'ont pas été communiqués. Un de ces sondages donnait le candidat A à 52\,\%. L'institut disait avoir effectué ce sondage sur un échantillon représentatif de \np{1225} personnes. \begin{enumerate} \item Au vu de ce dernier sondage, établir l'intervalle de confiance au niveau de 95\,\%, pour le résultat du candidat A à l'élection.\index{intervalle de confiance} \item Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat-semblait elle assurée ? \emph{Justifier la réponse}. \end{enumerate}\end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (7 points)} \vspace{0.25cm} En 2016 une étude réalisée dans une grande entreprise révèle que 60\,\% des employés peuvent venir travailler grâce aux transports en commun. Parmi ceux-ci, 72\,\% déclarent venir tout de même en voiture. Parmi ceux qui n'ont pas accès aux transports en commun, 96\,\% viennent travailler en voiture. \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements suivants: \begin{description} \item[~~] $T$ : \og L'employé peut utiliser les transports en commun \fg ; \item[~~] $V$ : \og l'employé vient travailler en voiture\fg. \end{description} On notera $\overline{T}$ et $\overline{V}$ les évènements contraires. Les résultats seront tous donnés à 0,001 près.\index{probabilité} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-dessous.\index{arbre} \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$T$~}\taput{\dots}} { \TR{$V$}\taput{\dots} \TR{$\overline{V}$}\tbput{\dots} } \pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{\dots}} { \TR{$V$}\taput{\dots} \TR{$\overline{V}$}\tbput{\dots} } } \end{center} \item Calculer la probabilité de l'évènement $T\cap V$. \item Déterminer la probabilité que l'employé ne puisse pas utiliser les transports en commun et ne vienne pas travailler en voiture. \item Justifier que la probabilité de l'évènement $V$ est égale à $0,816$. \item Sachant que l'employé vient en voiture, quelle est la probabilité qu'il ait accès aux transports en commun ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise souhaite, par diverses incitations, diminuer de 5\,\% par an le pourcentage de ceux qui viennent travailler en voiture. On note $U_0$ le pourcentage de ces employés en 2016 et pour tout entier $n$, $U_n$ le pourcentage espéré l'année $(2016 + n)$. On a montré dans la partie A que $U_0 = 81,6$. \begin{enumerate} \item Calculer $U_1$, puis $U_2$. \item Déterminer la nature de cette suite puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$.\index{suite} \item Calculer le pourcentage attendu d'employés venant en voiture en 2020. \item D'après ce modèle, à partir de quelle année, y aura-t-il moins d'un employé sur deux qui viendra travailler en voiture? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill ( 8 points)} \vspace{0.25cm} Une étude de l'INSEE a listé l'évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990 à 2010. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On a reporté quelques valeurs dans le tableau ci-dessous : \medskip \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{tabular}{|m{3.9cm}|c|c|c|} \hline Années: &1990 &2000 &2010\\\hline Salaire net annuel moyen pour les hommes (\euro{}) : & \np{17643}&\np{21498} &\np{26831}\\\hline Salaire net annuel moyen pour les femmes (\euro{}) : &\np{13258} & \np{17259}& \np{22112}\\\hline \end{tabular} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution du salaire net moyen des hommes puis celui des femmes, entre 1990 et 2000.\index{taux} \item Qui, des hommes ou des femmes, a vu la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000 ? Cette tendance s'est-elle confirmée durant les dix années suivantes? \item Calculer le taux annuel moyen d'évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 et comparer avec celui des femmes qui est d'environ de 2,7\,\%. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip En se servant des données de cette étude, on modélise l'évolution des salaires nets annuels moyens jusqu'en 2020 : \begin{itemize} \item Pour les hommes par la fonction $h$ définie sur [0~;~30] par: \[h(x) = 0,25x^3 + 2x^2 + 318x + \np{17865}\]\index{fonction polynôme} \item Pour les femmes par la fonction $f$ définie sur [0~;~30] par: \[f(x) = 0,6x^3 - 13x^2 + 470x + \np{13324}\] \end{itemize} Ainsi, $h(0)$ désigne le salaire net annuel des hommes en 1990, $f(1)$ désigne le salaire net annuel des femmes en 1991, etc. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $h(15)$ et $f(15)$ puis interpréter les résultats. \item Calculer l'écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020. \item Montrer que l'écart entre ces deux salaires peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur [0~;~30] par : \[g(x) = - 0, 35x^3 + 15x^2 - 152x + \np{4541}\] \item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.\index{dérivée} \item Déterminer le signe de $g'(x)$ sur [0~;~30]. \item Peut-on affirmer que l'écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n'a fait que diminuer depuis 1990 ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le modèle choisi indique que l'écart entre le salaire des hommes et celui des femmes diminue à partir de 2012. On suppose que ce modèle peut être valable jusqu'en 2040. \begin{enumerate} \item Compléter l'algorithme, donné en annexe, pour qu'il affiche à partir de quelle année, avec ce modèle, le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes.\index{algorithme} \item En utilisant le tableau donné ci-dessous, dire ce qu'affichera l'algorithme. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Années&$x$& $h(x)$ & $f(x)$\\\hline 1990 &0 &\np{17865} &\np{13324}\\\hline 1991 &1 & \np{18185,25} &\np{13781,60} \\\hline 1992 &2 & \np{18511} & \np{14216,80}\\\hline 1993 &3 &\np{18843,75} &\np{14633,20}\\\hline 1994 &4 &\np{19185} &\np{15034,40}\\\hline 1995 &5 & \np{19536,25} &\np{15424} \\\hline $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$ &$\vdots$ \\\hline 2025 &35 &\np{42163,75} &\np{39574} \\\hline 2026 &36 &\np{43569} &\np{41389,60}\\\hline 2027 &37 &\np{45032,25} &\np{43308,80} \\\hline 2028 &38&\np{46555} &\np{45335,20}\\\hline 2029 &39 & \np{48138,75} &\np{47472,40} \\\hline 2030 &40 & \np{49785} &\np{49724}\\\hline 2031 &41 & \np{51495,25} &\np{52093,60}\\\hline 2032 &42 & \np{53271} &\np{54584,80} \\\hline 2033 &43 &\np{55113,75} &\np{57201,20}\\\hline 2034 &44 &\np{57025} & \np{59946,40}\\\hline 2035 &45 &\np{59006,25} &\np{62824}\\\hline 2036 &46 &\np{61059} &\np{65837,60}\\\hline 2037 &47 &\np{63184,75} &\np{68990,80}\\\hline 2038 &48 &\np{65385} &\np{72287,20}\\\hline 2039 &49 &\np{67661,25} &\np{75730,40}\\\hline 2040 & 50&\np{70015} &\np{79324}\\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\textsc{Annexe} 1 à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(23,27) \multido{\n=0+1}{24}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,22)} \multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(23,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=45,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(23,24) \psdots[dotstyle=Mul,dotsize=5pt](1,10)(2,10)(3,9.5)(4,10)(7,9)(8,8.5)(9,8)(10,8)(11,7) \uput[ur](-0.75,23){\footnotesize \%}\uput[d](22,-1.5){\footnotesize rang du jour } \end{pspicture} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \begin{onehalfspace} \begin{center} \begin{tabular}{|l|} \hline \begin{minipage}{6.95cm} $X$ prend la valeur 0\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $H$ prend la valeur \np{17865} $F$ prend la valeur \np{13324} Tant que \dots < \dots \hspace{1.2em}$X$ prend la valeur $X+1$ \hspace{1.2em}$H$ prend la valeur $0,25 X^3+ 2X^2 + 318X + \np{17865}$ \hspace{1.2em}$F$ prend la valeur $0,6 X^3-13X^2 + 470X + \np{13324}$ Fin tant que $A$ prend la valeur 1990 + \dots Afficher $A$\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{onehalfspace} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie CGRH 13 juin 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Centres étrangers CGRH 15 juin 2017 \hypertarget{Etranger}{} \lfoot{\small{Centres étrangers }} \rfoot{\small{14 juin 2017}} \label{Etranger} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Centres étrangers 14 juin 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} À l'occasion d'un festival pyrotechnique, un artificier se prépare à lancer des fusées à partir d'une plate-forme située à 8 mètres de hauteur. Il dispose de deux types de fusée, notés A et B. \medskip \textbf{Partie A} \medskip La hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type A en fonction de leur temps de vol $x$, en dixième de seconde, est modélisée par la courbe ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.122cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(27,55) \multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,50)} \multido{\n=0+2}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(26,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(26,50) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(26,50) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{25}{ x 6.78 x 0.284 neg mul add mul 8 add} \uput[r](0,52){\footnotesize Hauteur (en mètre)}\uput[d](21.6,-4){\footnotesize Temps de vol (en dixième de seconde)} \end{pspicture} \end{center} \medskip Répondre aux deux questions suivantes avec la précision permise par le graphique. \begin{enumerate} \item Quelle hauteur atteindra la fusée après 0,7 seconde de vol ?\index{lecture graphique} \item Pour des raisons de sécurité, la fusée doit exploser à une altitude supérieure à 40 mètres. Déterminer l'intervalle de temps auquel doit appartenir $x$ pour satisfaire à cette contrainte. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On modélise la hauteur, en mètre, atteinte par les fusées de type B en fonction de leur temps de vol $x$, en dixième de seconde, par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~20] par: $f(x) = - 0,5 x^2+ 10 x + 8$.\index{fonction polynôme} Comme dans le cas des fusées de type A, l'explosion des fusées de type B doit avoir lieu lorsque celles-ci sont situées à une altitude supérieure ou égale à 40 mètres. On cherche à déterminer l'intervalle dans lequel doit se trouver $x$ pour satisfaire à cette contrainte. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour satisfaire à la contrainte posée, $x$ doit être solution de l'inéquation $- 0.5 x^2 + 10x - 32\geqslant 0$.\index{inéquation} \item Dresser le tableau de signes de la fonction qui à $x$ associe $- 0,5 x^2 + 10 x - 32$ sur l'intervalle [0~;~20] et répondre alors au problème posé. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~20], calculer $f'(x)$, $f'$ étant la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée} \item L'artificier souhaite connaître le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$ de la courbe représentative de $f$.\index{coefficient directeur} Donner le coefficient directeur recherché. \end{enumerate} \item Pour des raisons d'esthétique, l'artificier souhaite faire exploser ses fusées de type B lorsque celles-ci seront à leur hauteur maximale. Quel temps de vol avant explosion doit-il alors programmer ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne les indices de référence des loyers, notés IRL, au dernier trimestre de chaque année depuis 2009 (base 100 pour l'année 1998) et leurs évolutions annuelles.\index{indice} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.19cm}|m{3.34cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline &\centering A &B &C &D &E &F &G &H\\\hline 1 & Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\\hline 2 &Rang de l'année $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\\hline 3 &Indice de référence des loyers $y_i$ &117,47 &119,17 &121,68&123,97&124,83&125,29&125,28\\\hline 4 &Taux d'évolution de l'IRL (arrondi à \np{0.01}\,\%)&\cellcolor{gray} &1,45& & & & &\\\hline \multicolumn{9}{r}{\emph{Source: INSEE}}\\ \end{tabularx} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item La cellule C\,4 est au format pourcentage arrondi à 0,01\,\%. Quelle formule peut-on entrer dans cette cellule pour obtenir, par recopie sur la droite, l'ensemble des valeurs de la plage de cellules C\,4~:~H\,4 ? \item La loi française dispose que pour une révision annuelle d'un loyer, le taux d'évolution du loyer ne peut être supérieur à celui de l'IRL de l'année écoulée. Par exemple, un propriétaire ne peut augmenter le loyer de 2010 de plus de 1,45\,\% en janvier 2011.\index{taux} Un propriétaire propose un loyer de 650~\euro{} mensuel au dernier trimestre 2010 et souhaite le réviser et le passer à 658~\euro{} mensuel pour l'année 2011. Est-il en accord avec la loi ? Justifier la réponse. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d'évolution arrondi à 0,01\,\% de l'IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015. \item En déduire le taux d'évolution annuel moyen arrondi à 0,01\,\% de l'IRL entre le dernier trimestre 2009 et le dernier trimestre 2015. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.\index{droite d'ajustement} \medskip Dans la suite de l'exercice on décide de prendre comme droite d'ajustement de $y$ en $x$ la droite $D$ d'équation $y = 1,39 x + 117$. \medskip \item \begin{enumerate} \item À l'aide de cet ajustement, donner une estimation de l'IRL au dernier trimestre 2017 puis au dernier trimestre 2018. \item Le loyer mensuel d'un appartement s'élève à 850 \euro{} au dernier trimestre de l'année 2018. Si le propriétaire envisage à cette période une révision de ce loyer, quelle somme maximale, arrondie à l'euro, peut-il exiger de son locataire pour janvier 2019 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \vspace{0.25cm} Une étude menée en 2010 par l'institut national de prévention et d'éducation à la santé évalue le comportement face au tabac en fonction de l'âge d'initiation. Cette étude menée auprès d'un panel de personnes âgées de 20 ans à 25 ans et ayant déjà testé la cigarette présente les conclusions suivantes :\index{probabilité} \begin{itemize} \item la probabilité de devenir un fumeur régulier est de $0,65$ si la première cigarette a été fumée avant l'âge de $14$~ans ; \item cette probabilité est de $0,52$ si la première cigarette a été fumée entre $14$ ans et $17$ ans; \item cette probabilité est enfin de $0,32$ si la première cigarette a été fumée après l'âge de $17$ ans. \end{itemize} On interroge 500 personnes, choisies au hasard, âgées de $20$ à $25$ ans ayant déjà fumé. Le tableau ci-dessous donne la répartition des personnes interrogées selon l'âge qu'elles avaient lors de la consommation de leur première cigarette. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{2.65cm}|}} \hline Âge &Avant 14 ans & Entre 14 ans et 17 ans& Après 17 ans\\\hline Pourcentage des personnes interrogées &28\,\% &57\,\% &15\,\% \\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip On choisit une personne au hasard parmi les 500 interrogées. Dans la suite de l'exercice, on note: \begin{itemize} \item $F~$ l'évènement \og la personne choisie est un fumeur régulier\fg{} ; \item $A~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette avant l'âge de 14 ans\fg{} ; \item $B~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette entre 14 ans et 17 ans \fg{} ; \item $C~$ l'évènement \og la personne choisie a fumé sa première cigarette après l'âge de 17 ans\fg. \end{itemize} Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $P_{B} (A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item En considérant encore valables les conclusions de l'étude menée en 2010, recopier puis compléter l'arbre pondéré suivant. \index{arbre} \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$A$~}\taput{\dots}} { \TR{$F$}\taput{\dots} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\dots} } \pstree{\TR{$B$~}\tbput{\dots}} { \TR{$F$}\taput{\dots} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\dots} } \pstree{\TR{$C$~}\tbput{\dots}} { \TR{$F$}\taput{\dots} \TR{$\overline{F}$}\tbput{\dots} } } \end{center} \item Quelle est la probabilité que la personne choisie ait fumé avant l'âge de 14 ans et soit un fumeur régulier ? \item Montrer que $p(F) = \np{0.5264}$. \item Sachant que la personne choisie est un fumeur régulier, quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-4}$, qu'il ait fumé sa première cigarette avant l'âge de 14 ans ? \item L'échantillon étudié compte 294 fumeurs réguliers. À l'aide du résultat de la question \textbf{3.} et d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%, peut-on considérer que le nombre de fumeurs réguliers de cet échantillon est anormalement élevé ?\index{intervalle de fluctuation} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \vspace{0.25cm} Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \bigskip Un apiculteur constate qu'entre le 1\up{er} mars 2014 et le 1\up{er} mars 2016, la population d'abeilles adultes de sa ruche a diminué de 15\,\% par an. \medskip \begin{enumerate} \item Au 1\up{er} mars 2016 l'apiculteur dénombre \np{55200} abeilles adultes dans sa ruche, à combien peut-on estimer le nombre d'abeilles adultes, arrondi à la centaine, qui peuplaient la ruche au 1\up{er} mars 2014 ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\np{73000}$ &\textbf{b.~~} $\np{107100}$&\textbf{c.~~}$\np{76400}$& \textbf{d.~~} $\np{71 800}$ \end{tabularx} \end{enumerate} \medskip L'apiculteur fait l'hypothèse que cette baisse régulière de 15\,\% va se poursuivre dans les années à venir. Pour pallier cette perte, il décide d'introduire \np{15 000} abeilles adultes supplémentaires dans sa ruche au 1\up{er} mars de chaque année à partir de 2017. \begin{enumerate}[resume] \item Avec cette hypothèse, combien d'abeilles adultes, à la centaine près, peupleront la ruche au 1\up{er} mars 2018 après l'apport de l'apiculteur? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\np{67600}$ &\textbf{b.~~} $\np{70000}$&\textbf{c.~~}$\np{72400}$& \textbf{d.~~} $\np{63500}$ \end{tabularx} \end{enumerate} \medskip L'apiculteur décide de poursuivre cet apport annuel de \np{15 000} abeilles adultes jusqu'à ce que la population de sa ruche atteigne \np{80 000} abeilles adultes.\index{suite} \begin{enumerate}[resume] \item Lequel de ces quatre algorithmes permet de déterminer le nombre d'années (à partir de 2016) nécessaires pour atteindre cet objectif ?\index{algorithme} \medskip \begin{tabular}{c|m{5.4cm}|c|m{5.4cm}|} \cline{2-2}\cline{4-4} \textbf{a.~~}& \begin{minipage}{6.15cm} \rule[1ex]{6.15cm}{0pt} \textbf{Variables} $a$ est un nombre réel $n$ est un nombre entier \rule{5cm}{0.2pt} \textbf{Traitement} $a$ prend la valeur \np{55 200} $n$ prend la valeur 0 Tant que $n > \np{80000}$ \hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$ \hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $n$ \rule[-1ex]{6cm}{0pt} \end{minipage} & \textbf{b.~~}& \begin{minipage}{6cm} \rule[1ex]{5cm}{0pt} \textbf{Variables} $a$ est un nombre réel $n$ est un nombre entier \rule{5cm}{0.2pt} \textbf{Traitement} $n$ prend la valeur 0 Tant que $a < \np{80000}$ \hspace{1em}$a$ prend la valeur \np{55200} \hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$ \hspace{1em} $n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $n$ \rule[-1ex]{6cm}{0pt} \end{minipage}\\ \cline{2-2}\cline{4-4} \end{tabular} \bigskip \begin{tabular}{c|m{5.4cm}|c|m{5.4cm}|} \cline{2-2}\cline{4-4} \textbf{c.~~}& \begin{minipage}{6cm} \rule[1ex]{5cm}{0pt} \textbf{Variables} $a$ est un nombre réel $n$ est un nombre entier \rule{5cm}{0.2pt} \textbf{Traitement} $n$ prend la valeur 0 $a$ prend la valeur \np{55 200} Tant que $a < \np{80000}$ \hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15 000}$ \hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $a$ \rule[-1ex]{6cm}{0pt} \end{minipage}& \textbf{d.~~}& \begin{minipage}{5cm} \rule[1ex]{6.15cm}{0pt} \textbf{Variables} $a$ est un nombre réel $n$ est un nombre entier \rule{5cm}{0.2pt} \textbf{Traitement} $a$ prend la valeur \np{55200} $n$ prend la valeur 0 Tant que $a < \np{80000}$ \hspace{1em}$a$ prend la valeur $a \times 0,85 + \np{15000}$ \hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $n$ \rule[1ex]{5cm}{0pt} \end{minipage}\\ \cline{2-2}\cline{4-4} \end{tabular} \bigskip \item On admet que la production moyenne de miel d'une ruche, en kilogramme, est une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart type $\sigma = 5$.\index{loi normale} La probabilité $p(5\leqslant X\leqslant 25)$ arrondie à 0,01 est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,68$ &\textbf{b.~~} $0,99$&\textbf{c.~~}$0,95$& \textbf{d.~~} $0,50$ \end{tabularx} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 15 juin 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane CGRH 16 juin 2017 \hypertarget{Antilles}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small 16 juin 2017} \label{Antilles} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 16 juin 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \medskip La survie des éléphants d'Afrique est menacée par le braconnage (chasse illégale). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip En l'absence de braconnage, on estime le taux de croissance de la population d'éléphants d'Afrique à 1,5\,\% par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'effectif de cette population pour l'année $2013 + n$ en l'absence de braconnage. La population totale d'éléphants d'Afrique était estimée à \np{470000}~individus en 2013. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'éléphants d'Afrique en 2014 en l'absence de braconnage. \item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en préciser le premier terme et la raison.\index{suite} \item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Estimer le nombre d'éléphants d'Afrique en 2028 dans ces conditions. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Actuellement, un éléphant d'Afrique est tué tous les quarts d'heure par le braconnage. Justifier qu'environ \np{35000}~éléphants d'Afrique sont tués chaque année par le braconnage. On considérera qu'une année a $365$~jours. \item À l'aide d'un tableur, on a obtenu les résultats suivants, arrondis à $0,1$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\ \hline \footnotesize Effectif de la population d'éléphants en présence de braconnage (en millier d'individus)& 470,0 &442,1 &413,7 &384,9 &355,7 &326,0 &295,9 &265,3 &234,3 &202,9 &170,9\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans une interview accordée en 2013, le Fonds mondial pour la nature s'alarme : \og si l'on ne réagit pas, la population d'éléphants d'Afrique aura baissé de près de 64\,\% en dix ans \fg. Justifier cette affirmation par un calcul. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \quad $n$ est un entier\\ \quad $u$ est un réel\\ \textbf{Traitement}\\ \quad $n$ prend la valeur 2013\\ \quad $u$ prend la valeur \np{470000}\\ Tant que $u > 0$ faire\\ \quad Début tant que\\ \quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\ \quad $u$ prend la valeur $u \times 1,015 - \np{35000}$\\ Fin tant que\\ Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Cet algorithme affiche le résultat 2029. Comment interpréter ce résultat ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip Le tableau suivant donne l'évolution du tirage journalier (nombre d'exemplaires imprimés par jour) de la presse quotidienne d'information générale et politique en France. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Tirage journalier en million d'exemplaires : $y_i$ &1,80 &1,73 &1,60 &1,47 &1,36\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source: INSEE}} \end{tabularx} \end{center} \textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d'évolution global, arrondi à 0,01\,\%, du tirage journalier entre 2010 et 2014.\index{taux} \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen sur cette période, arrondi à 0,01\,\%, du tirage journalier. \item En supposant que l'évolution se poursuit au taux annuel de $- 7$\,\% dans les années à venir, donner une estimation, arrondie à $0,01$, du tirage journalier que l'on peut prévoir pour l'année 2017. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus dans le repère donné en annexe 1. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0,01$.\index{droite d'ajustement} \item Pour les deux questions suivantes, on prendra pour ajustement affine la droite $D$ d'équation $y = - 0,1x + 1,8$. \begin{enumerate} \item Représenter la droite $D$ dans le repère donné en annexe 1. \item Selon ce modèle, estimer le tirage journalier que l'on peut prévoir pour l'année 2017. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles) a réalisé une étude auprès de $12$ quotidiens d'information générale qui possèdent des applications numériques sur les trois supports que sont les tablettes, les smartphones et les ordinateurs. Le taux de rebond désigne le pourcentage d'internautes qui sont entrés sur un site par une page web puis l'ont quitté sans consulter d'autres pages. Cette étude révèle les informations suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item 2 visites sur 5 se font depuis un smartphone et ont un taux de rebond de 65\,\% ; \item 10\,\% des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de 53\,\% ; \item la moitié des visites ont lieu à partir d'un ordinateur et ont un taux de rebond de 59\;\%. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un visiteur et on considère les évènements suivants : \begin{description} \item $S$ : \og Le visiteur utilise un smartphone \fg \item $T$ : \og Le visiteur utilise une tablette \fg \item $O$ : \og Le visiteur utilise un ordinateur \fg \item $R$ : \og Le visiteur quitte le site après avoir visité la première page\fg \end{description} \smallskip Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $P_T(R)$.\index{probabilité} \item Donner la proportion de personnes qui naviguent sur un site à partir d'un appareil mobile (tablette ou smartphone) parmi les personnes interrogées. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré donné en annexe 2.\index{arbre} \item Calculer la probabilité de l'évènement A \og le visiteur utilise un smartphone et quitte le site après avoir visité la première page \fg. \item Montrer que la probabilité qu'un visiteur choisi au hasard quitte le site après avoir visité la première page est $p(R) = 0,608$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité, arrondie à $0,01$, qu'un visiteur utilise un ordinateur sachant qu'il a quitté le site après avoir consulté la première page. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \medskip En 2012, le gérant d'une brasserie de bord de plage propose le midi, un menu à $9,80$~\euro. À ce tarif, il sert en moyenne $420$ couverts par semaine. Cette formule rencontre un tel succès qu'il décide d'augmenter son prix les étés suivants. Il observe une légère diminution du nombre de couverts mais sa formule demeure rentable. \medskip \textbf{Les trois parties A, B et C sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de couverts lorsque le prix du menu varie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Été &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Prix du menu (en euro) &9,80 &11,00 &12,30 &13,80\\ \hline Nombre hebdomadaire de couverts &420 &395 &370 &345\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le gérant a réalisé le tableau ci-dessous extrait d'une feuille de calcul: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E\\ \hline 1 &Été& Prix du menu (en euro)&\footnotesize Nombre hebdomadaire moyen de couverts&\footnotesize Taux d'évolution annuel du nombre hebdomadaire moyen de couverts&\footnotesize Taux d'évolution annuel du prix\\ \hline 2 &2012 &9,80 &420 & &\\ \hline 3 &2013 &11,00 &395 & $- 5,95$\,\% &$12,24$\,\%\\ \hline 4 &2014 &12,30 &370 & &\\ \hline 5 &2015 &13,80 &345 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La plage de cellules D3:E5 est au format pourcentage arrondi à 0,01\,\%. \medskip \begin{enumerate} \item Proposer une formule à saisir dans la cellule D3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules D4 et D5. \item Proposer de même une formule à saisir dans la cellule E3, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules E4 et E5. \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen, arrondi à 0,01\,\%, du prix du menu entre l'été 2012 et l'été 2015.\index{taux} \item En supposant que le taux d'évolution annuel du prix du menu reste constant et égal à ce taux moyen après l'été 2015, donner une estimation du prix du menu, arrondi au centime, pendant l'été 2017. \end{enumerate} \item Donner, en détaillant la démarche, une estimation du nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l'été 2017. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix $x$ du menu est \[N(x) = - 19x + 604.\] Le prix $x$ du menu est exprimé en euro. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de $11$~\euro. \item Calculer le chiffre d'affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le menu est au prix de $11$~\euro. \item On note $C(x)$ le chiffre d'affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de $x$ euros. Montrer que $C(x) = - 19 x^2 + 604 x$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~25] par \[C(x) = -19 x^2 + 604 x.\]\index{fonction polynôme} \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de la fonction dérivée $C'$ de $C$.\index{dérivée} \item Donner le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle [0~;~25]. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~25]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour quel prix du menu le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie est-il maximal? On arrondira le résultat au centième. \item À ce prix, quel est le chiffre d'affaires hebdomadaire de la brasserie ? On arrondira le résultat à l'unité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le gérant souhaiterait faire passer le prix du menu à $15,90$~\euro{} dès l'été 2016. Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage le samedi suivant auprès des clients présents le midi ce jour-là. Sur les $50$ personnes interrogées, $39$ se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion de clients favorables à ce changement.\index{intervalle de confiance} On arrondira les bornes de l'intervalle à $0,01$. \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points} \medskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\index{Q. C. M.} Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point. \smallskip \textbf{Les quatre questions sont indépendantes} \smallskip \begin{enumerate} \item La taille $T$ en cm d'un garçon de 10 ans est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 135$ et d'écart type $\sigma = 5$.\index{loi normale} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $p(T < 145) \approx 0,02$&\textbf{b.~~}$p(125 < T < 145) \approx 0,95$\\ \textbf{c.~~}$p(125 < T < 145) \approx 0,68$&\textbf{d.~~}$p(T > 125) \approx 0,99$ \end{tabularx} \medskip \item La part de consommateurs bio réguliers, c'est-à-dire ceux qui disent consommer bio au moins une fois par mois s'élève à 43\,\% en France en 2015. On effectue un sondage dans une société de $400$ personnes. La fréquence de consommateurs bio réguliers dans cet échantillon est notée $f$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~} $f = 0,43$& \textbf{b.~~} Au seuil de 95\,\%, $0,38 \leqslant f \leqslant 0,48$\\ \textbf{c.~~} Au seuil de 95\,\%, $\np{0,4275} \leqslant f \leqslant \np{0,4325}$& \textbf{d.~~} Au seuil de 95\,\%, $0,23 \leqslant f \leqslant 0,63$ \end{tabularx} \medskip \item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \ne 2$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x - 2}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée} Pour tout $x \ne 2$, \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~}$f'(x) = 2$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \dfrac{- 5}{(x - 2)^2}$\\ \textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{2x+1}{(x - 2)^2}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{- 1}{(x - 2)^2}$ \end{tabularx} \medskip \item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = - x^2 + x + 3$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$.\index{fonction polynôme} Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-4)(4.2,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.5,-3.95)(4.2,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{4}{x 3 add x dup mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{4}{7 x 3 mul sub} \uput[ul](-1,1){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ur](1,4){$D$} \uput[u](3.9,0){$x$} \uput[r](0,5.2){$y$} \psdots(2,1)\uput[ur](2,1){A} \end{pspicture*} \end{center} Le point A de la courbe $\mathcal{C}$ a pour coordonnées (2~;~1). La droite $D$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Une équation de la droite $D$ est :\index{tangente} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{a.~~}$y = - 3x + 7$ &\textbf{b.~~}$y = -3x + 1$\\ \textbf{c.~~}$y = - x + 2$ &\textbf{d.~~}$y = 2x + 1$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \textbf{Annexe 1} \begin{center} \psset{xunit=1.3cm,yunit=3.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(9,2.1) \multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2.1)} \multido{\n=0.0+0.1}{22}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Oy=0.6,Dy=0.2](0,0)(0,0)(9,2.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=0.6]{->}(0,0)(1,0.4) \uput[r](0,2.15){Tirage journalier (en million d'exemplaires)} \uput[d](8,-0.3){Rang de l'année} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2} \textbf{Annexe 2} \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~}\naput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$T$~}\naput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$O$~}\naput{\ldots}} {\TR{$R$} \naput{\ldots} \TR{$\overline{R}$} \nbput{\ldots} } } \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane CGRH 16 juin 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole-La Réunion CGRH 16 juin 2017 \hypertarget{Metropole}{} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{25 avril 2017}} \label{Metropole} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole 16 juin 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \vspace{0.25cm} Selon l'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques), en 2015 : \begin{itemize} \item[---] 82,4\,\% des logements en France sont des résidences principales ; \item[---] 9,4\,\% des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles; \item[---] 8,2\,\% des logements en France sont vacants. \end{itemize} \medskip Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement dans un immeuble collectif. \medskip \begin{itemize} \item[---] Parmi les résidences principales, 56,9\,\% sont des maisons individuelles. \item[---] Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, 57,9\,\% sont des maisons individuelles. \item[---] Parmi les logements vacants, 48,3\,\% sont des maisons individuelles. \end{itemize} On choisit un logement au hasard et on note: \begin{description} \item[] $R~$ l'évènement \og le logement est une résidence principale\fg{} ; \item[] $S~$ l'évènement \og le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle\fg{}; \item[] $V~$ l'évènement \og le logement est vacant\fg{} ; \item[] $M~$ l'évènement \og le logement est une maison individuelle\fg{} ; \item[] $I~$ l'évènement \og le logement est dans un immeuble collectif\fg. \end{description} \medskip Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront arrondis au millième. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe 1}. \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og le logement est une maison individuelle et une résidence principale\fg{} ?\index{probabilité} \item Montrer que la probabilité, arrondie au millième, pour que le logement soit une maison individuelle est égale à $0,563$. \item Calculer la probabilité que le logement soit une résidence principale sachant qu'il s'agit d'une maison individuelle. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \medskip Les deux parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, traduit l'évolution du SMIC (Salaire minimal interprofessionnel de croissance) horaire brut en euro entre 2011 et 2015. Il indique également les taux d'évolution annuels arrondis à 0,1\,\%.\index{taux} \begin{center} \begin{tabular}{|c|m{5.2cm}|*{5}{c|}} \hline &\centering A &B &C &D &E &F\\\hline 1 & Année &2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\\hline 2 & SMIC horaire brut en euro& 9 &9,31& 9,43& 9,53& 9,61\\\hline 3 & Taux d'évolution en pourcentage &\cellcolor{lightgray}& & & &\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution global du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de :\index{taux} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $6,0\,\%$ &\textbf{b.~~} $6,8\,\% $&\textbf{c.~~}$7,0\,\% $& \textbf{d.~~} $- 6,3\,\%$ \end{tabularx} \smallskip \item Le taux d'évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de: \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\np{1.1}\,\%$ &\textbf{b.~~} $\np{1.7}\,\% $&\textbf{c.~~}$\np{0.7}\,\% $& \textbf{d.~~} $- \np{1.6}\,\%$ \end{tabularx} \smallskip \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C\,3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution d'une année à l'autre ? La plage de cellules C\,3 : F\,3 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} = (C2 $-$ B2)/C2 &\textbf{b.~~} = (C2 $-$ B\$2)/C2\\ \textbf{c.~~} = (C2 $-$ B2)/B2 &\textbf{d.~~}= (C2 $-$ \$B\$2)/B2 \\ \end{tabularx} \smallskip \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 60 et d'écart type 5.\index{loi normale} \begin{enumerate} \item La probabilité $p (50\leqslant X\leqslant 70)$ arrondie à 0,01 est égale à : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,60$ &\textbf{b.~~} $0,68$&\textbf{c.~~}$0,95$& \textbf{d.~~} $0,99$ \end{tabularx} \smallskip \item La probabilité $p(X \geqslant 65)$ arrondie à 0,01 est égale à : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,05$ &\textbf{b.~~} $0,16$&\textbf{c.~~}$0,50$& \textbf{d.~~} $0,80$ \end{tabularx} \smallskip \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : \[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 350x + \np{1000}.\]\index{fonction polynôme} La courbe de la fonction $C $ est représentée sur le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-1,-250)(11,8500) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-25)(\n,7900)} \multido{\n=0+500}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(10.5,8000) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1000](0,0)(0,0)(10.5,8000) \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{10}{x x x 15 mul 120 sub mul 350 add mul 1000 add} \uput[r](0,8100){\footnotesize Coût total de production (en euro)}\uput[dr](9,- 500){\footnotesize Longueur (en km)} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A : Étude du coût total} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le montant des coûts fixes. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l'entreprise produit \np[km]{6} de tissu.\index{lecture graphique} \item Déterminer par un calcul sa valeur exacte. \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s'élève à \np{5500}\,\euro. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip Le cours du marché offre un prix de 530\,\euro{} le kilomètre de tissu fabriqué par l'entreprise. Pour tout $x \in [0~;~10]$, on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l'entreprise. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. \item Montrer que pour tout $x\in [0~;~10]$,\: $B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - \np{1 000}$. \item Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0~;~10]$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $B$ sur $ [0~;~10]$. \item \begin{enumerate} \item Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? \item Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3.15cm}|*{5}{c|}} \hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\\hline Rang de l'année: $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5\\\hline Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$ &\np{2589,70}&\np{2324,85} &\np{2507,55} &\np{2847,85} &\np{3081,45}\\\hline \multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\ \end{tabular} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est représenté en \textbf{annexe 2}. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.\index{droite d'ajustement} \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation: \[y = 150,7x + 2 218,3.\] \begin{enumerate} \item Tracer la droite $D$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 2}. \item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donner une estimation du prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose que le prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire augmente de 4\,\% par an à partir du 1\up{er} janvier 2015. On note $u_n$ le prix moyen d'une tonne de cacao, exprimé en dollar, au 1\up{er} janvier de l'année $2015 + n$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le tableau précédent, donner $u_0$ puis calculer $u_1$ arrondi au centième. \item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison. \item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire une estimation, arrondie au centième, du prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|} \hline \begin{minipage}{7cm} \rule[1ex]{7cm}{0pt} \textbf{VARIABLES} $n$ est un nombre entier $u$ et $k$ sont des nombres réels \textbf{TRAITEMENT} Saisir $k$ $n$ prend la valeur 0 $u$ prend la valeur \np{3081,45} Tant que $u < k$ Faire \hspace{1.5em}$u$ prend la valeur $1,04 \times u$ \hspace{1.5em}$n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $n$ \rule[-1ex]{7cm}{0pt} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Si l'on choisit $k = \np{4000}$, quelle valeur affichera cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte étudié. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{Annexe 1} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \begin{center} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R$~}\taput{\np{0.824}}} { \TR{$M$}\taput{$\np{0.569}$} \TR{$I$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$S$~}\tbput{$\np{0.094}$}} {\TR{$M$}\taput{$\dots$} \TR{$I$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$V$~}\tbput{$\dots$}} {\TR{$M$}\taput{$\dots$} \TR{$I$}\tbput{$\dots$} } } \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 2} \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip \psset{xunit=1.25cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3000)} \multido{\n=0+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.05,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45) \uput[r](0,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de cacao (en dollar)} \uput[dr](9,- 160){\footnotesize Rang de l'année} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%% fin Métropole-La Réunion CGRH 16 juin 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie CGRH 4 septembre 2017 \hypertarget{Polynesiesep}{} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{4 septembre 2017}} \label{Polynesiesep} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Polynésie~\decofourright\\[4pt] 4 septembre 2017}} \end{center} \vspace{0.45cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)} \vspace{0.35cm} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}\index{Q. C. M.} \emph{Pour chacune des quatre questions, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte}.} \emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.} \emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip \begin{enumerate} \item Le prix d'un article vendu dans un magasin a augmenté de 30\,\% durant les 3 derniers mois. Le taux d'évolution mensuel moyen est, à 0,01\,\% près : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $9,14\,\%$ &\textbf{b.~~} $10\,\%$&\textbf{c.~~}$11,21\,\%$& \textbf{d.~~} $12,45\,\%$. \end{tabularx} \smallskip \item Lors d'une période de promotion, le prix d'un produit ménager a subi deux baisses de 12\,\% consécutives. Le fabriquant désire lui appliquer une hausse pour revenir au prix initial avant la période de promotion. Cette hausse doit être :\index{pourcentage} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} de $24\,\%$ &\textbf{b.~~} de $28,45\,\%$&\textbf{c.~~}de $ 29,13\,\%$& \textbf{d.~~} supérieure à $30\,\%$. \end{tabularx} \item Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~8]$. \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|c|c p{0.5cm}c p{0.5cm}c p{0.5cm}c|} \hline $x$ &$-5$ & &$-2,5$ & &4 & &8\\\hline & & &1 & & & &4\\ $f(x)$ & &$\nearrow$ & &$\searrow$ & &$\nearrow$ &\\ &$-$2 & & & &$-1$ & &\\ \hline \end{tabular} \end{center} \medskip On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ . \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $f'(-2,5) = 1$ &\textbf{b.~~} $f'(-1)< 0$&\textbf{c.~~}$f'(-1) = 4$& \textbf{d.~~} $f'(0) = 2$. \end{tabularx} \item Une chaîne d'hôtels internationale annonce un taux de remplissage de ses chambres de 74,8\,\% pour l'année 2015 dans le monde. Cette année là, cette chaîne possédait $850$ chambres en France. Un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% du taux de remplissage des chambres en France pour 2015 est :\index{intervalle de fluctuation} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $[74,80~;~74,84 ]$ &\textbf{b.~~} $[0,747~;~0,749]$&\textbf{c.~~}$[0,713~;~0,783 ]$& \textbf{d.~~} $[0,715~;~0,780 ]$. \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0.45cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4 points)} \vspace{0.35cm} Le maire d'une ville a mis en place une politique pour réduire les incivilités sur les voies publiques de sa commune. Un bilan a été établi pour comptabiliser le nombre d'incivilités durant les 6 dernières années et ces données sont résumées dans le tableau suivant : \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|c|*{6}{c|}} \hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 & 2015 &2016 \\\hline Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\\hline Nombre d'incivilités $y_i$ &857 & 810 &720 &604 &375 &273\\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique de \textbf{l’annexe à rendre avec la copie}. \begin{enumerate} \item Le maire annonce à ses concitoyens que sa politique de lutte contre les incivilités a permis de réduire leur nombre de plus de 60\,\% entre 2011 et 2015. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.\index{pourcentage} \item À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés.\index{droite d'ajustement} \emph{On arrondira les coefficients à $0,01$ près.} \end{enumerate} Pour la suite, on prendra comme ajustement affine la droite $D$ d'équation $y=-124 x+ 917$. \begin{enumerate}[resume] \item Tracer la droite $D$ sur la figure donnée en annexe. \item Combien d'incivilités ce modèle d'ajustement prévoit-il pour l'année 2018 ? \end{enumerate} \vspace{0.45cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)} \vspace{0.25cm} \textbf{Partie A } \medskip Un centre d'appel téléphonique propose ses services pour réaliser un démarchage par téléphone afin de vendre des offres d'abonnement à la télévision par internet. Dans ce centre sont employés deux types de collaborateurs : des expérimentés et des débutants. La proportion des débutants est de 60\,\%. On constate que \begin{itemize} \item 12\,\% des personnes contactées par un collaborateur débutant se déclarent intéressées par les offres d'abonnement, \item 21\,\% des personnes contactées par un collaborateur expérimenté se déclarent intéressées par les offres d'abonnement. \end{itemize} On choisit au hasard le dossier d'une personne contactée par le centre d'appel et on considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $D$ : \og la personne est contactée par un débutant\fg \item $I$ : \og la personne contactée se déclare intéressée par les offres d'abonnement\fg. \end{itemize} On note $\overline{D}$ et $\overline{I}$ les évènements contraires.\index{probabilité} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :\index{arbre} \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$D$~}\taput{\np{0.60}}} { \TR{$I$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{I}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$\overline{D}$~}\tbput{$\dots$}} { \TR{$I$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{I}$}\tbput{$\dots$} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'événement $D\cap I$ . \item Justifier que la probabilité que la personne se déclare intéressée par les offres d'abonnement est de 0,156. \end{enumerate} \item La personne choisie se déclare intéressée par les offres d'abonnement. Déterminer à 0,001 près, la probabilité qu'elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On modélise le nombre de personnes contactées en une semaine par ce centre d'appel par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance \np{9000} et d'écart-type 450. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que moins de \np{9500} personnes soient contactées en une semaine. \item Déterminer la probabilité $P(\np{8100}< X < \np{9900})$ . \item L'objectif est de contacter au moins \np{8750} personnes en une semaine. A-t-on plus de 3 chances sur 4 d'atteindre cet objectif ? \end{enumerate} \vspace{0.45cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (6 points)} \vspace{0.35cm} Une entreprise qui connaît des difficultés économiques souhaite réaliser des prévisions de son chiffre d'affaires mensuel pour l'année 2018. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On estime que le chiffre d'affaires mensuel sera de 35 millions d'euros en janvier 2018 et que celui-ci diminuera chaque mois de 18\,\%. On définit la suite $\left(c_n\right)$ en notant $c_n$ le chiffre d'affaires exprimé en millions d'euros pour le $n$-ième mois de l'année 2018 ; on a ainsi $c_1 = 35$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $c_2$ et vérifier qu'une valeur approchée de $c_3$ est 23,5. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la suite $\left(c_n\right)$. \item Donner la valeur du chiffre d'affaires pour le mois de décembre 2018. \end{enumerate} \item Au cours de quel mois le chiffre d'affaires mensuel sera-t-il pour la première fois inférieur à $5$~millions d'euros ? \item \mbox{} \smallskip \begin{tabular}{l p{1cm}l} \begin{minipage}[]{5cm} On considère l'algorithme incomplet ci-contre :\index{algorithme} Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il réponde à la question \textbf{3.} précédente. \end{minipage} && \begin{minipage}[]{9.5cm} \begin{tabular}{|cp{0.51pt}l|} \hline \textbf{Variables:}& &$U$ nombre réel\\ && $N$ nombre entier\\ \textbf{Traitement:}& &$U$ prend la valeur 35\\ && $N$ prend la valeur 1\\ &&TANT QUE $ U \geqslant 5$\\ && $U$ prend la valeur \dots\dotfill \\ &&$N$ prend la valeur $N+1$\\ &&FIN TANT QUE\\ \textbf{Sortie:}&& AFFICHER \dotfill \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0.35cm} \textbf{Partie B} \medskip Cette entreprise a la possibilité de bénéficier d'une aide de l'\'Etat. Avec cette aide, on modélise le chiffre d'affaires mensuel en millions d'euros par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~12] par \[f(x ) = \dfrac{15 x+ 20}{x}.\] Ainsi, $f(1)$ désigne le chiffre d'affaires du mois de janvier, $f(2)$ désigne le chiffre d'affaires du mois de février, etc. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $f'( x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée} Donner le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~12]. \item Montrer qu'avec ce modèle, le chiffre d'affaires mensuel restera supérieur à 15 millions d'euros durant l'année 2018. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe \textsc{Exercice} 2 à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{-0.5cm} \rotatebox{-90}{ \psset{xunit=1.8cm,yunit=0.01cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.5,-60)(11.25,1200) \multido{\n=0+0.25}{45}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=-0.5+50}{25}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,,Dy=100,]{->}(0,0)(0,0)(11,1200) \uput[l](0,1200){\footnotesize $y$} \uput[d](11,0){\footnotesize $x$} \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,857)(1,810)(2,720)(3,604)(4,375)(5,273) \end{pspicture} } %%%%%%%%%%%% fin Polynésie CGRH 4 septembre 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane CGRH 7 septembre 2017 \hypertarget{Antillessep}{} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{7 septembre 2017}} \label{Antillessep} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \textbf{\large 3 heures} \medskip {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane -- 7 septembre 2017~\decofourright}} \vspace{0,25cm} La dernière page est une annexe au sujet, à rendre avec la copie. \end{center} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip Les objets connectés sont des appareils reliés à Internet qui communiquent avec d'autres systèmes pour obtenir ou fournir de l'information. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne une estimation du nombre d'objets connectés (en milliards) dans le monde entre les années 2011 et 2015. Les cellules de la plage (C3:F3) sont au format pourcentage. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F\\ \hline 1 &Année & 2011 &2012 &2013 &2014 &2015 \\ \hline 2 &Nombre d'objets connectés (en milliards) &9,5 &15 &22 &31 &42\\ \hline 3 &Taux d'évolution du nombre d'objets connectés par rapport à 2011 & & & & &\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source: IDATE (Institut de l'audiovisuel et des télécommunications en Europe) }} \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les quatre formules suivantes, écrire sur la copie celle qui, saisie en C3 puis recopiée à droite, permet de calculer le taux d'évolution du nombre d'objets connectés par rapport à 2011 : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} =C2/\$B2 &=(\$C2-B2)/B2 &=C2-\$B2/\$B2 &=(C2-\$B2)/\$B2\\ \end{tabularx} \item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du nombre d'objets connectés entre 2011 et 2015, arrondi au dixième. \index{taux} \item Justifier que le taux moyen annuel d'évolution du nombre d'objets connectés entre 2011 et 2015 est de 45\,\% arrondi à 1\,\%. \item Suite à l'étude de certains instituts, on suppose que le nombre d'objets connectés augmentera de 15\,\% par an après 2015. Suivant ce modèle, on note $u_n$ le nombre d'objets connectés en milliards pour l'année $(2015 + n)$ (où $n$ est un entier naturel). \index{suite} Ainsi, $u_0 = 42$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$, arrondis à l'unité. \item Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$. \item Pour tout $n \in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire $u_5$ arrondi à l'unité et interpréter cette valeur. \end{enumerate} \item On estime que la population mondiale sera d'environ $7,75$~milliards en 2020. Dans ces conditions et à l'aide de la question 4. d., expliquer pourquoi un être humain aura en moyenne plus de 10 objets connectés en 2020. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes} \medskip Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième. Tous les 5 ans, l'établissement INVS (Institut national de veille sanitaire) réalise une enquête sur les infections nosocomiales (infections contractées au cours d'une hospitalisation). Lors de la dernière enquête, on a obtenu les résultats suivants : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item 53\,\% des personnes hospitalisées étaient âgées de 66 ans ou plus. Parmi eux, 6,4\,\% ont été atteints par une infection nosocomiale. \item 6\,\% des personnes hospitalisées étaient âgées de 14 ans ou moins. Parmi eux, 2,4\,\% ont été atteints par une infection nosocomiale. \item Parmi les patients âgés de 15 à 65 ans, 3,7\,\% ont été atteints par une infection nosocomiale. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \bigskip \textbf{Partie A } \medskip On choisit au hasard une personne parmi celles qui ont participé à cette enquête. On considère les évènements suivants : \index{probabilité} \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item $E$ : \og La personne est âgée de 0 à 14 ans \fg \item $F$ : \og La personne est âgée de 15 à 65 ans \fg \item $G$ : \og La personne est âgée de plus de 65 ans \fg \item $N$ : \og La personne est atteinte par une infection nosocomiale \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre de probabilités donné en annexe 1.\index{arbre} \item Définir par une phrase l'évènement $G \cap N$ puis calculer sa probabilité. \item Montrer qu'une valeur approchée au millième de la probabilité de contracter une infection nosocomiale est $0,051$. \item Un lecteur de l'enquête affirme qu'un patient victime d'une infection nosocomiale a plus de trois chances sur quatre d'être une personne âgée de plus de $65$~ans. A-t-il raison ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose dans cette partie que la probabilité qu'un patient soit victime d'une infection nosocomiale est $p = 0,051$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard 50 patients ayant participé à l'enquête. On suppose que ce choix peut être assimilé à $50$~tirages indépendants avec remise. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de patients infectés parmi les $50$~personnes choisies. \begin{enumerate} \item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres et son espérance. \item Quelle est la probabilité que, parmi les 50 personnes interrogées, trois soient atteintes par une infection nosocomiale ? \index{loi binomiale} \end{enumerate} \item Dans un hôpital, \np{2500}~patients ont été hospitalisés lors du premier trimestre 2016. Parmi ces patients, $188$ ont été victimes d'une infection nosocomiale lors de leur passage dans cet hôpital. Le directeur de cet établissement trouve inquiétant ces résultats. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% du taux de patients infectés pour cet échantillon. Que penser des craintes du directeur ? \index{intervalle de fluctuation} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Le prix du gramme d'or a subi de 2010 à 2015 de fortes variations alors que la progression entre 2005 et 2009 avait été relativement régulière. Un expert estime que l'on peut prévoir le prix du gramme d'or dans le futur en se basant sur l'évolution de celui-ci entre 2005 et 2009. Le tableau suivant donne l'évolution du prix moyen annuel du gramme d'or entre 2005 et 2009. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline Rang $x_i$ de l'année &0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline Prix moyen annuel $y_i$ du gramme d'or (en euro) &11,61 &15,38 &16,18 &19,24 &22,33\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\emph{Source : INSEE }} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le repère donné en annexe~2. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés, en arrondissant les coefficients au centième.\index{droite d'ajustement} \item Pour simplifier les calculs, on choisit de réaliser cet ajustement affine avec la droite $D$ d'équation : $y = 2,5x + 11,9$. \begin{enumerate} \item Tracer cette droite $D$ dans le repère donné en annexe 2. \item Suivant ce modèle d'ajustement, calculer le prix du gramme d'or prévisible en 2015. Indiquer sur le graphique la vérification de ce résultat. \item Déterminer l'année à partir de laquelle le prix du gramme d'or dépassera $50$ euros selon ce modèle. \end{enumerate} \item Un autre expert propose un ajustement défini par l'équation $y = 0,01x^2 + 2,3x + 11$. Sachant que le prix moyen annuel du gramme d'or en 2015 a été de $33,81$~euros, lequel des deux ajustements a été le plus proche de la réalité en 2015 ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Un bijoutier souhaite lancer un nouveau modèle de bijou contenant de l'or. On admet que le coût de production de ce bijou, exprimé en millier d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie par \[C(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x + 15\]\index{fonction polynôme} où $x$ représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués. On admet également que la recette, exprimée en millier d'euros, est modélisée par la fonction $R$ définie par $R(x) = 15x$ où $x$ représente le nombre de centaines de bijoux fabriqués et vendus. Le nombre de bijoux fabriqués et vendus est compris entre $50$ et $300$ donc $x \in [0,5~;~ 3]$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction bénéfice $B$ est définie pour tout $x \in [0,5~;~3]$ par : \[B(x) = - 2x^3 + 3x^2 + 12x - 15.\] \item Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0,5~;~3]$, où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$. \item Étudier le signe de B'(x) pour $x \in [0,5~;~3]$.\index{dérivée} En déduire le tableau de variations de $B$.\index{tableau de variations} \item Préciser alors le nombre de bijoux fabriqués et vendus qui permet de réaliser un bénéfice maximal. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 4 points} \medskip \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)}\index{Q. C. M.} \medskip Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \medskip \parbox{0.42\linewidth}{ \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $[- 2~;~4]$ dont la courbe $C$ est donnée ci-contre. La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point A de coordonnées $(3~;~- 5,5)$. Une équation de $T$ est : \begin{enumerate} \item $y = 3x - 5,5$ \item $y = 4x - 16,5$ \item $y = 4,5x - 19$ \item $y = 19 - 4,5x$ \end{enumerate} \item On suppose que $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de terme initial $u_1 = 5$ et de raison $1,8$.\index{suite arithmétique} L'expression de $u_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 est : \begin{enumerate} \item $u_n = 5 + 1,8n$ \item $u_n = 5 \times 1,8^{n-1}$ \item $u_n = 4 + 1,8n$ \item $u_n = 3,2 + 1,8n$ \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture}(-2,-8)(5,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-8)(5,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{3.985}{0.535714 x 3 exp mul x dup mul 1.19643 mul sub 2.73214 x mul sub 1 sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{2.45}{4.885}{4.5 x mul 19 sub} \psdots(3,-5.5) \uput[dr](3,-5.5){A} \uput[l](3.95,2.25){\blue $C$}\uput[r](4.6,2.25){\red $T$} \end{pspicture}} \medskip \textbf{3.~} Une personne investit la somme de \np{1000} euros au début de l'année 2017. L'algorithme ci-dessous lui permet de calculer le capital disponible au début de l'année 2021. \index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Variables}\\ \hspace{1.5cm}$S,\,\,k$ \\ \textbf{Initialisation}\\ \hspace{1.5cm}Affecter à $S$ la valeur \np{1000}\\ \textbf{Traitement}\\ \hspace{1.5cm}Pour $k$ allant de 1 à 4\\ \hspace{2.5cm}Affecter à $S$ la valeur $1,02 \times S + 50$\\ \hspace{1.5cm}FinPour\\ \textbf{Sortie} \\ \hspace{1.5cm}Afficher $S$\\ \hline \end{tabular} \end{center} La valeur $S$ affichée en sortie et arrondie à l'unité est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \np{1200} &\textbf{b.~~} \np{1289} &\textbf{c.~~} \np{1214} &\textbf{d.~~} \np{1082} \end{tabularx} \medskip \textbf{4.~} On admet que la durée de sommeil quotidienne d'un adulte est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma$ inconnu.\index{loi normale} On estime que la probabilité qu'un adulte dorme entre 6 heures et 10 heures est de $0,8$. La probabilité qu'un adulte dorme au plus 6 heures est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,4 &\textbf{b.~~} 0,8 &\textbf{c.~~} 0,1 &\textbf{d.~~} 0,2 \end{tabularx} \medskip \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \medskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2 Annexe 1} \end{flushleft} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E$~}} { \TR{$N$} \TR{$\overline{N}$} } \pstree{\TR{$F$~}} { \TR{$N$} \TR{$\overline{N}$} } \pstree{\TR{$G$~}\nbput{0,53}} { \TR{$N$} \TR{$\overline{N}$} } } \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3 Annexe 2 } \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=1cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1,0)(10,28) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(10,28) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10,Dy=2](0,0)(0,0)(10,28) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,1.61)(1,5.38)(2,6.18)(3,9.24)(4,12.33) \uput[r](0,29){Prix moyen annuel en euro} \uput[u](9,0){Rang de l'année} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane CGRH 7 septembre 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Metropole-La Réunion CGRH 7 septembre 2017 \hypertarget{Metrosep}{} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{7 septembre 2017}} \label{Metrosep} %\renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole--La Réunion 7 septembre 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)} \vspace{0.25cm} \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Un comité d’entreprise décide de construire une structure supplémentaire pour améliorer le bien-être des salariés. Il hésite entre deux possibilités : \begin{itemize} \item installer une médiathèque ; \item faire construire une salle de sport. \end{itemize} Dans cette entreprise, 55\,\% des salariés ont 40 ans ou plus. Le comité d’entreprise mène une enquête auprès des salariés afin de connaître leur préférence quant à la création d’une telle structure. Parmi les salariés ayant clairement exprimé leur avis, 60\,\% des 40 ans ou plus sont davantage intéressés par la création d’une médiathèque alors que 70\,\% des moins de 40 ans sont davantage intéressés par la construction d’une salle de sport. Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout évènement $B$ de probabilité non nulle, $p_B(A)$) la probabilité de l’évènement $A$ sachant que $B$ est réalisé.\index{probabilité} On note :\begin{itemize} \item $Q$ l’évènement \og le salarié a plus de 40 ans\fg \item $S$ l’évènement \og le salarié préfère une salle de sport\fg \item $M$ l’évènement \og le salarié préfère une médiathèque\fg \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.\index{arbre} \medskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$Q$~}} { \TR{$S$} \TR{$M$} } \pstree{\TR{$\overline{Q}$~}} { \TR{$S$} \TR{$M$} } } \end{center} \medskip \item Décrire par une phrase, dans le contexte de l’exercice, l’évènement $Q\cap S$ et calculer sa probabilité. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $p(S) = 0,535$. \item Quel choix semble plus pertinent pour le comité d’entreprise ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié favorable à la construction d’une salle de sport ait plus de quarante ans ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Le comité d’entreprise a finalement décidé de construire une salle de sport. On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée hebdomadaire, en minutes, de la fréquentation de la salle de sport par un salarié de l’entreprise. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 20.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’un salarié de l’entreprise pratique entre 60 minutes et 140 minutes de sport par semaine ? \item Pour rester en bonne santé, il est recommandé de pratiquer au moins 140 minutes de sport par semaine. Quel est le pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, de salariés de l’entreprise qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation ?\index{pourcentage} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le président du comité déclare que 80\,\% des salariés sont satisfaits de la qualité des nouvelles installations sportives. Alix mène une enquête auprès de 300 de ses collègues choisis au hasard. Parmi eux, 228 se déclarent satisfaits des installations sportives. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de fluctuation, au seuil de 95\,\%, de la proportion de personnes satisfaites dans cet échantillon. Arrondir les bornes au centième.\index{intervalle de fluctuation} \item Les résultats de l’enquête menée par Alix peuvent-ils remettre en question les propos du président ? \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (6 points)} \vspace{0.25cm} Le tableau ci-dessous donne la proportion d’électricité (exprimée en pourcentage et arrondie à 0,1\,\%) provenant des énergies renouvelables par rapport à la consommation totale d’électricité, par an, entre 2005 et 2014, en Belgique et en France. \medskip {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\\hline Rang de l’année : $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\\hline Pourcentage d’électricité provenant de sources renouvelables en Belgique : $y_i$ & 2,4 & 3,1 & 3,6 & 4,6 &6,2 &7,1 & 9,1 & 11,3 & 12,4 & 13,4\\\hline Pourcentage d’électricité provenant de sources renouvelables en France : $z_i$ & 13,7 &14,1 & 14,3 & 14,4 & 15,1 & 14,8 & 16,3 & 16,4 &16,8 & 18,3\\\hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source Eurostat}} \end{tabularx} } \bigskip \emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip \textbf{Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique} \medskip \begin{enumerate} \item Construire dans le repère donné en annexe 1 le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~,~y_i\right)$ correspondant aux données concernant la Belgique. \item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.\index{droite d'ajustement} \item Pour les deux questions suivantes, on prendra comme droite d’ajustement affine la droite $D$ d’équation $y = 1,3x + 1,4$. \begin{enumerate} \item Tracer cette droite dans le repère donné en annexe 1. \item À l’aide de cet ajustement, estimer la part d’électricité issue des énergies renouvelables en 2022. On arrondira le résultat à 0,1\,\%. \end{enumerate} \item À partir de quelle année la part d’électricité issue des énergies renouvelables dépassera-t-elle 25\,\% en Belgique ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014. On donnera la valeur arrondie à 0,1\,\%.\index{taux} \item En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014. Donner la valeur arrondie à 0,1\,\% et interpréter le résultat trouvé. \item À la fin de l’année 2014, un journaliste déclare : \og Si l’on augmente la part d’électricité issue des énergies renouvelables de 5,4\,\% par an, alors plus d’un quart de l’électricité française sera issue des énergies renouvelables en 2022\fg. Cette affirmation est-elle exacte ?\index{pourcentage} \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (4 points)} \vspace{0.25cm} Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. \textbf{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.} Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. \medskip Une entreprise fabrique et vend des brosses à dents connectées. On modélise le bénéfice en euro pour $x$ centaines de brosses à dents fabriquées et vendues par semaine par la fonction $B$ définie sur [0~;~9] par : \[B(x) = 40 x^3 - 561 x^2 + \np{1 917}x - 200.\]\index{fonction polynôme} La courbe représentative du bénéfice hebdomadaire est donnée en annexe 2. \begin{description} \item[Affirmation 1 :] Fabriquer et vendre $600$ brosses à dents connectées par semaine est rentable pour l’entreprise. \item[Affirmation 2 :] La fonction $B'$ , dérivée de la fonction B, est définie pour tout $x\in [0~;~9]$ par $B'(x)= 120 x^2 -\np{1 122} x+ \np{1 917}$.\index{dérivée} \item[Affirmation 3 :] La fonction $B'$, dérivée de la fonction B, s’annule trois fois dans l’intervalle [0~;~9]. \item[Affirmation 4 :] Le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour $224$ brosses à dents fabriquées et vendues. \end{description} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)} \vspace{0.25cm} En raison de la surpêche, un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillaud diminuer considérablement aux abords de ses côtes. En 2015, le stock de cabillaud de la région concernée était estimé à \np{5000} tonnes. Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition totale des côtes des communes littorales concernées. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors pêche, le stock reste constant à \np{5000} tonnes. On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces côtes l’année $2015 + n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0 = 600$.\index{suite} Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de 30 tonnes. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison et son premier terme. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Calculer $u_{10}$. Interpréter ce résultat dans le contexte étudié. \end{enumerate} \item Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ et la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année 2015. \begin{enumerate} \item Quelle formule, destinée à être copiée vers le bas, faut-il saisir en B3 afin d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 afin d’obtenir, par recopie vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 ? \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \rowcolor{lightgray}&A & B &C\\\hline 1 &$n$&Quota annuel (en tonne) : $u_n$&Quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 (en tonne)\\ \hline 2 &0 &600 &600\\ \hline 3 &1 &570 &\np{1170}\\\hline 4 &2 &540 &\np{1710}\\\hline 5 &3 &510 &\np{2220}\\\hline 6 &4 &480 &\np{2700}\\\hline 7 &5 &450 &\np{3150}\\\hline 8 &6 & &\\\hline 9 &7 & &\\\hline 10 &8 & &\\\hline 11 &9 & &\\\hline 12 &10 & &\\\hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item \begin{enumerate} \item Calculer la quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025. \item La réglementation adoptée permet-elle d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le stock de cabillaud augmente de 12\,\% chaque année. On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à 500 tonnes par an. On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année $2015 +n$ avant que ne démarre la saison de pêche. On rappelle que $v_0 = \np{5 000}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $v_1$. \item On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation : \[v_{n+1} = 1,12 \times v_n - 500.\]\index{suite} On donne l’algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l} \textbf{Variables}\\ $i$ et $n$ sont des entiers naturels\\ $v$ est un réel\\ \textbf{Traitement}\\ Saisir $n$\\ $v$ prend la valeur \np{5 000}\\ Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ $v$ prend la valeur $1,12 \times v-500$\\ Fin Pour\\ Afficher $v$\\ \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $v$ obtenues à l’aide de l’algorithme et arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de $n$ comprise entre 2 et 7. Par exemple, pour $n = 2$, l’algorithme affiche \np{5 212}. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}} \hline Valeur de $n$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &7\\\hline Valeur de $v$ (arrondie à l’unité)& \np{5212} &\np{5337} &\np{5478} &\np{5635} &\np{5812} &\np{6009}\\\hline \end{tabular} \end{center} \medskip Donner la valeur affichée par l’algorithme, arrondie à l’unité, lorsque l’utilisateur saisit la valeur $n = 9$. \item Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l’algorithme pour $n=9$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice} 2} \textbf{\textsc{Annexe}1} \medskip \begin{center} \psset{xunit=0.625cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.2,-3)(19,35) \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,32.3)} \multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(18.5,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=2,]{->}(0,0)(18.8,32.2) \uput[r](0,33){\footnotesize Pourcentage d’électricité provenant de sources renouvelables en Belgique} \uput[d](17,- 1.3){\footnotesize Rang de l'année} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3} \textbf{\textsc{Annexe}2} \medskip \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.5,-700)(9.25,2400) \multido{\n=0.25+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-650)(\n,1950)} \multido{\n=-600+100}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0.00,\n)(9.25,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=200]{->}(0,0)(0,-650)(9.3,1950) \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{9}{x 40 mul 561 sub x mul 1917 add x mul 200 sub} \uput[ur](-0.6,1975){\footnotesize Bénéfice hebdomadaire (en euro)} \uput[u](8.5,0){\footnotesize Quantité (en centaine)} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%% fin Métropole-La Réunion septembre 2017 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{28 novembre 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)} \medskip Si nécessaire, les probabilités seront arrondies au millième. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une coopérative de fruits doit calibrer sa production de cerises, c'est-à-dire les trier selon leur taille. Elle produit des cerises burlats et des cerises griottes. Les cerises qui ont un calibre trop petit seront écartées du stock et ne pourront pas être commercialisées. On sait que 70\,\% des cerises produites sont des burlats ; les autres sont donc des griottes. Parmi les burlats, 10\,\% sont écartées et parmi les griottes 25\,\% le sont également. On choisit au hasard une cerise dans le stock, avant le calibrage. On considère les évènements suivants :\index{probabilité} \setlength\parindent{11mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $B$ : \og la cerise choisie est une burlat \fg, \item[$\bullet~~$] $C$ : \og la cerise choisie est une griotte \fg, \item[$\bullet~~$] $E$ : \og la cerise choisie est écartée du stock \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B~$}\naput{\ldots}} {\TR{$E$} \taput{\ldots} \TR{$\overline{E}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$G~$}\nbput{\ldots}} {\TR{$E$} \taput{\ldots} \TR{$\overline{E}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $B \cap E$. \item Montrer que la probabilité que la cerise soit écartée du stock est égale à 0,145. \end{enumerate} \item On sait à présent que la cerise choisie a été écartée du stock. On s'intéresse à la probabilité que ce soit une griotte. \begin{enumerate} \item Comment note-t-on cette probabilité ? \item Calculer cette probabilité. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse à une autre coopérative qui produit exclusivement des cerises du type bigarreaux. On admet que la taille $T$, en millimètres, de ces bigarreaux suit une loi normale d'espérance $\mu = 22$~mm et d'écart-type $\sigma = 1,6$~mm.\index{loi normale} Ces cerises sont réparties en trois catégories selon leur taille. \setlength\parindent{11mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \og classique \fg{} si $21 \leqslant T \leqslant 23,6$ \item[$\bullet~~$] \og gourmande \fg{} si $T \geqslant 23,6$ \item[$\bullet~~$] \og déclassée \fg{} si $T \leqslant 21$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard une cerise dans le stock de cette coopérative. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la cerise choisie soit classique. \item Calculer les probabilités $P(T \geqslant 23,6)$ et $P(T \leqslant 21)$. Interpréter ces deux résultats dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4 points)} \medskip \emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul donne l'évolution de la population en Inde de 1960 à 2010. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1 &\footnotesize Année &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2005 &2010\\ \hline 2 &\footnotesize Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 3 &\footnotesize Population $y_i$ (en millions) &449 &498 &555 &622 &699 &782 &869 &956 &\np{1042}&\np{1127}&\np{1206}\\ \hline 4 &\footnotesize Taux d'évolution de la population en \% arrondi à 0,1\,\% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &10,9 &11,4 &12,1 &12,4 &11,9 &11,1 &10,0 &9,0 &8,2 &7,0\\ \hline \multicolumn{13}{r}{\small \emph{Source : Banque mondiale (juillet 2015)}} \end{tabularx} \end{center} Lecture pour la ligne 4 : le taux d'évolution de la population entre les années 1990 et 1995 est d'environ 10\,\%. \bigskip \textbf{Partie A : Calcul du taux d'évolution} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier par un calcul le taux d'évolution de la population en Inde entre 1960 et 1965, donné dans la cellule C4.\index{taux} \item Quelle formule a été saisie dans la cellule C4 pour obtenir par recopie vers la droite jusqu'à la cellule L4, les taux d'évolution successifs jusqu'en 2010 ? \item Peut-on dire que le taux d'évolution moyen de la population est de 0,22\,\% par an entre 1990 et 1995 ?\index{taux moyen} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la série statistique} \medskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.\index{droite d'ajustement} \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 78x + 410$. \begin{enumerate} \item Tracer la droite $D$ dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie. \item À l'aide de ce modèle, estimer la population en Inde en 2020. \item En quelle année la population en Inde devrait-elle dépasser $1,5$ milliard d'habitants ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On s'intéresse à l'évolution du prix de l'abonnement, proposé dans l'offre \og bleu ciel\fg d'un grand fournisseur français d'électricité. On a reporté dans le tableau ci-dessous les cinq augmentations successives de ce prix. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &janvier 2014&novembre 2014&janvier 2015&août 2015&janvier 2016\\ \hline Augmentation en \,\%&+3\,\% &+2,5\,\% &+2,5\,\% &+2,5\,\% &+2\,\%\\ \hline \multicolumn{6}{r}{Source : cre.fr} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que le taux d'évolution global de ces cinq augmentations entre janvier 2014 et janvier 2016 est 13,1\,\% (valeur arrondie à 0,1\,\%).\index{taux} \item Justifier que le taux d'évolution annuel moyen du prix de l'abonnement sur cette période est 2,5\,\%, arrondi à 0,1\,\%.\index{taux moyen} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En janvier 2016, le prix de l'abonnement, proposé dans l'offre \og bleu ciel\fg était de 54 euros TTC. On admet qu'à partir de janvier 2016, le tarif augmente tous les six mois (en janvier et en juillet) de 2,5\,\%. Pour tout entier naturel $n$,\: $V_n$ désigne une estimation du prix TTC de cet abonnement à l'électricité, $n$ semestres après janvier 2016. Ainsi, $V_0 = 54$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ainsi que sa raison.\index{suite} \item Exprimer $V_n$ en fonction de $n$. \item Calculer $V_3$ et interpréter le résultat obtenu. On arrondira au centième. \item À partir de quand le prix de l'abonnement aura-t-il dépassé $65$ euros ? Indiquer la méthode utilisée. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X} \textbf{Initialisation:}& $V$ prend la valeur 54\\ &$N$ prend la valeur $0$\\ \textbf{Traitement :} &Tant que $V < 70$\\ &\hspace{1.1cm}$V$ prend la valeur $1,025 \times V$\\ &\hspace{1.1cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie : } &Afficher $N$\\ \end{tabularx} \end{center} La valeur de $N$ affichée en sortie est 11. Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous. On considère les points A(0~;~30), B$(2~;~14)$, D$(4~;~-10)$ et E$(4~;~- 2)$. La droite (BD) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B. Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A et E sont parallèles à l'axe des abscisses. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture*}(-2,-16)(6.5,46) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10] \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-15)(\n,45)} \multido{\n=-15+5}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-15)(6,45) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(6,45) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 3 exp x dup mul 6 mul sub 30 add} \psplot[plotpoints=3000]{-0.5}{4.2}{38 12 x mul sub} \uput[l](5.8,27.5){\blue $\mathcal{C}$} \psdots(0,30)(2,14)(4,-10)(4,-2)%ABDE \uput[ur](0,30){A} \uput[dl](2,14){B} \uput[dl](4,-10){D} \uput[dr](4,-2){E} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide des informations précédentes, compléter le tableau ci-dessous reproduit en annexe : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9.5,3) \psframe(9.5,3) \psline(0,2)(9.5,2)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.25,2.4){$- 2$}\uput[u](4.5,2.4){$\ldots$}\uput[u](7,2.4){$4$}\uput[u](9.35,2.4){$6$} \rput(1,2.25){\footnotesize Signe de $f'(x)$}\uput[u](3.25,2){\ldots}\uput[u](4.5,2){\ldots} \uput[u](5.75,2){\ldots}\uput[u](7,2){\ldots}\uput[u](8.25,2){\ldots} \rput(1,1){\footnotesize Variations de $f$}\uput[u](2.25,0){$- 2$}\uput[d](4.5,2){\ldots} \uput[u](7,0){$- 2$}\uput[d](9.3,2){\ldots} \psline{->}(2.5,0.5)(4,1.5)\psline{->}(5,1.5)(7,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item Donner sans justification le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$.\index{lecture graphique} \item Justifier que le coefficient directeur de la droite (BD) est $- 12$.\index{coefficient directeur} En déduire la valeur de $f'(2)$. \item Parmi les courbes suivantes indiquez celle qui représente la fonction dérivée $f'$. On justifiera le choix.\index{dérivée} \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.125cm} \begin{pspicture}(-2,-15)(6.2,42) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-15)(\n,40)} \multido{\n=-15+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-15)(6.2,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-15)(6.2,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.2,40) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul 3 mul x 12 mul sub} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.125cm} \begin{pspicture}(-2,-40)(6.2,15) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-40)(\n,15)} \multido{\n=-40+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-40)(6.2,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-40)(6.2,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.2,15) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul 3 mul x 12 mul sub neg} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.228cm} \begin{pspicture}(-2,-10)(6.2,20) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(6.2,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(6.2,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.2,20) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul x 4 mul sub 1.5 mul} \end{pspicture}\\ Proposition 1&Proposition 2&Proposition 3\\ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Partie B :} \medskip L'expression de la fonction $f$ est donnée, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~6]$ par \[f(x) = x^3 - 6x^2 + 30.\] \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~6]$.\index{dérivée} \item En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $5$.\index{equation de tangente@équation de tangente} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{.5cm} \textbf{EXERCICE 2 - PARTIE B} \vspace{1cm} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.008cm} \begin{pspicture}(-1,-80)(13.5,1550) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1550)} \multido{\n=0+100}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(13.5,1550) \uput[d](6.5,-50){Rang de l'année} \rput{90}(-1.1,760){Population (en millions)} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4,linecolor=red](0,449)(1,498)(2,555)(3,622)(4,699)(5,782)(6,869)(7,956)(8,1042)(9,1127)(10,1206) \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4} \bigskip \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9.5,3) \psframe(9.5,3) \psline(0,2)(9.5,2)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.25,2.4){$- 2$}\uput[u](4.5,2.4){$\ldots$}\uput[u](7,2.4){$4$}\uput[u](9.35,2.4){$6$} \rput(1,2.25){\footnotesize Signe de $f'(x)$}\uput[u](3.25,2){\ldots}\uput[u](4.5,2){\ldots} \uput[u](5.75,2){\ldots}\uput[u](7,2){\ldots}\uput[u](8.25,2){\ldots} \rput(1,1){\footnotesize Variations de $f$}\uput[u](2.25,0){$- 2$}\uput[d](4.5,2){\ldots} \uput[u](7,0){$- 2$}\uput[d](9.3,2){\ldots} \psline{->}(2.5,0.5)(4,1.5)\psline{->}(5,1.5)(7,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9,1.5) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017 \hypertarget{Index}{} \printindex \end{document}