\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{xspace,setspace} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multicol} \usepackage{colortbl} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{tabularx} \makeindex \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \usepackage{amsfonts,bbm,mathrsfs,amsmath,amssymb,amsthm} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès et Jean-Claude Souque \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pst-math,pst-func,pst-bezier,pstricks-add} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumitem} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {année 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small STT L'intégrale 2018} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} } \lhead{\small Baccalauréat STMG} \begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG 2018 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale de mai à novembre 2018}} \end{center} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 8 mai 2018} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{Etranger}{Centres étrangers 11 juin 2018} \dotfill \pageref{Etranger}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole--La Réunion 19 juin 2018} \dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 19 juin 2018} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 20 juin 2018} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie 4 septembre 2018} \dotfill \pageref{Polynesiesep}\\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane 6 septembre 2018} \dotfill \pageref{Antillessep}\\ \hyperlink{Metrosep}{Métropole--La Réunion 6 septembre 2018} \dotfill \pageref{Metrosep}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2018} \dotfill \pageref{Caledonienov}\\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie mars 2019} \dotfill \pageref{Caledoniemars}\\ \end{tabularx} \vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} %À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ %%%%%%%%%%%% \newpage \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} %%%%%%%%%%%% Pondichéry CGRH 8 mai 2018 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{7 mai 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Pondichéry 7 mai 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \vspace{0.5cm} Le tableau suivant donne le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France du premier trimestre 2015 au quatrième trimestre 2016. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Trimestre &T1 &T2 &T3 &T4 &T1 &T2 &T3 &T4\\ &2015 &2015 &2015 &2015 &2016 &2016 &2016 &2016\\\hline Rang du trimestre $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\\hline Abonnements $y_i$ {(en millions)}&3,56&3,63 &3,88&4,3&4,5&4,77&5,04&5,43\\\hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : Arcep}} \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} - Modèle 1 \medskip \begin{enumerate} \item À l’aide de la calculatrice, donner, pour cette série statistique, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{droite d'ajustement} \emph{On arrondira les coefficients au millième.} \item On décide de modéliser l’évolution du nombre d’abonnements $y$ en fonction du rang $x$ du trimestre par l’expression : $y= 0,27x + 3,16$. Sur la base de ce modèle, calculer le nombre d’abonnements prévu au deuxième trimestre de l’année 2018. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{Partie B} - Modèle 2 \medskip Les données du tableau et celles publiées depuis permettent d’envisager que le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France pourrait continuer à augmenter de 6\,\% chaque trimestre, à partir de la fin de l’année 2016. \index{pourcentage} On note $u_n$ le nombre d’abonnements, en millions, à internet en très haut débit en France au bout de $n$ trimestres. Ainsi $u_0 = 5,43$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier en détaillant le calcul que $u_1 \approx 5,76$ (\emph{valeur arrondie au centième}). \item Quelle est la nature de la suite ? Donner sa raison.\index{suite} \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item L’actualisation des données a révélé qu’au deuxième trimestre de 2017, le nombre d’abonnements s’élevait en réalité à 6,15 millions. Des deux modèles 1 et 2, lequel semble le plus adapté ? \item L’algorithme ci-dessous est destiné à estimer le nombre de trimestres nécessaires pour qu’au moins 10~millions de foyers soient connectés en très haut débit à internet.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline $n\leftarrow 0$\\ $u \leftarrow 5,43$\\ Tant que $u<10$\\ \hspace{3em}$u\leftarrow u\times 1,06$\\ \hspace{3em}$n\leftarrow n+1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \vspace{0.5cm} Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale. Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que : \begin{itemize} \item 38\,\% des clients voyagent en France ; \item 83\,\% des clients voyageant en France sont satisfaits ; \item 78\,\% des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits. \end{itemize} On interroge un client au hasard. On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item[\textbullet] $F$ : \og le client a voyagé en France \fg; \item[\textbullet] $E$ : \og le client a voyagé à l’étranger \fg ; \item[\textbullet] $S$ : \og le client est satisfait du voyage \fg. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.\index{arbre} \begin{center} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\dots$}} { \TR{$S$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$E$~}\tbput{$\dots$}} {\TR{$S$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$} } } \end{center} \item Définir par une phrase l’évènement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.\index{probabilité} \item Montrer que $P(S)=0,799$ . \item Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger ? \emph{On arrondira pour cette question le résultat au millième.} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \vspace{0.5cm} On s’intéresse à l’évolution du prix d’une matière première en euros par tonne depuis 2011. Le tableau ci-dessous donne le prix de cette matière première entre 2011 et 2016 avec 100 pour indice de base en 2011. Dans ce tableau certaines données sont manquantes. \medskip \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{center} \begin{tabular}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{2.9cm}|*{6}{c|}}\hline \rowcolor{lightgray} &\centering {A}&B&C&D&E&F&G\\\hline 1&Année& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015 &2016\\\hline 2&Prix en \euro/tonne&248&188,5&237&&167,5&189\\\hline 3&\begin{minipage}{2.86cm}Indice du prix\\ (base 100 en 2011)\end{minipage}&100&76&95,6&73,2&67,5&\\\hline \end{tabular} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016.\index{taux} \emph{On arrondira à $0,01$\,\%}. \item Calculer le prix en euros par tonne en 2014. \emph{On arrondira au dixième.} \item Calculer l’indice du prix en 2016. \emph{On arrondira au dixième.} \item Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule C3 pour obtenir par recopie vers la droite les indices du prix ? \item Montrer que le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à 0,01\,\%, entre 2011 et 2016 est $- 5,29\,\%$.\index{taux} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \bigskip \textbf{\large Les parties A et B sont indépendantes.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Pour la fabrication de machines agricoles, une usine reçoit en grande quantité des plaques métalliques carrées. Elles ne peuvent être utilisées dans le processus de fabrication que si la longueur de leurs côtés et leur épaisseur respectent certains critères. \medskip \begin{enumerate} \item Un premier test permet de vérifier la longueur des côtés de chaque plaque. Une plaque réussit ce test si la longueur de ses côtés est comprise entre 81,6 centimètres et 82,4 centimètres. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque prélevée au hasard, associe la longueur de son côté, en centimètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance 82 et d'écart-type $0,2$.\index{loi normale} Déterminer la probabilité, arrondie au millième, qu’une plaque réussisse ce premier test. \item Les plaques ayant réussi le premier test subissent un second test permettant de vérifier leur épaisseur. Une plaque sera utilisable par l'usine si son épaisseur est inférieure à 3 millimètres. Le fournisseur affirme que 90\,\% des plaques qui subiront ce second test ont une épaisseur inférieure à 3~millimètres. On effectue le second test sur un lot de \np{2500} plaques. \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation, à au moins 95\,\%, de la fréquence des plaques dont l’épaisseur est inférieure à 3 millimètres, dans ce lot.\index{intervalle de fluctuation} \item Parmi les \np{2500} plaques, \np{2274} ont réussi le second test. Au regard de ces résultats, doit-on accepter l'affirmation du fournisseur ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{Partie B} \medskip Cette usine peut produire en un mois entre 0 et 50 machines agricoles. On a modélisé le bénéfice de l'entreprise, exprimé en milliers d’euros, par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0~;~50] par : \[f(x)=x^3 - 96x^2+ \np{2484}x- \np{10 000}.\]\index{fonction polynôme} On dit que l’entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement positif. On a tracé la représentation graphique de cette fonction $f$. \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0006cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{center} \begin{pspicture}(-2,-11000)(50,10500) \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-11000)(\n,10000)} \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)} \multido{\n=-11000+1000}{22}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(50,\n) \uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=12000,]{->}(0,0)(0,-11000)(52,10500) \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{50}{x 96 sub x mul 2484 add x mul 10000 sub} \uput[u](51,0){$x$}\uput[r](0,10100){$y$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{0.5cm} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner sous forme d’intervalle, le nombre de machines agricoles que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits.\index{lecture graphique} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.\index{dérivée} \item Résoudre l'équation : $3x^2-192x+\np{2 484}=0$. \item Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous :\index{tableau de variations} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(15,3.15) \psframe(12,3) \psline(0,1)(12,1)\psline(0,2)(12,2) \psline(3.5,0)(3.5,3) \uput[u](1.75,2.15){$x$} \uput[u](3.7,2.15){$0$}\uput[u](11.7,2.15){$50$}\uput[u](6.4,2.15){$\dots$}\uput[u](9.1,2.15){$\dots$} \uput[ur](0.8,1.15){Signe de $f'(x)$}\uput[ur](0.8,0.15){Variations de $f$} \psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1)(6.4,2)\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](9.1,1)(9.1,2) \uput[u](6.4,1.15){$0$} \uput[u](9.1,1.15){$0$} \end{pspicture} \end{center} \item À l'aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Pondichéry 8 mai 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Centres étrangers 11 juin 2018 \hypertarget{Etranger}{} \label{Etranger} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{11 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG ~\decofourright\\[5pt] Centres étrangers\hspace{1em} 11 juin 2018 }} \end{center} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \vspace{0.5cm} À l'issue de la célébration du 500\ieme anniversaire de sa ville, le directeur de l'office du tourisme a commandé une enquête visant à estimer les retombées économiques de cette manifestation. Cette enquête a été réalisée auprès de personnes s'y étant rendues. Il en ressort que : \begin{itemize} \item [$\bullet$] 15\,\% des personnes interrogées ont entre 18 et 25 ans ; \item [$\bullet$]40\,\% des personnes interrogées ont entre 26 et 45 ans ; \item [$\bullet$]45\,\% des personnes interrogées ont 46 ans ou plus. \end{itemize} Il a été demandé aux personnes interrogées si elles s'étaient rendues au restaurant lors de cette manifestation. Les réponses sont synthétisées ci-dessous : \begin{itemize} \item [$\bullet$] parmi les 18-25 ans, 28\,\% se sont rendus au restaurant ; \item [$\bullet$] parmi les 26-45 ans, 42\,\% se sont rendus au restaurant ; \item [$\bullet$] parmi les personnes de 46 ans ou plus, 63\,\% se sont rendues au restaurant. \end{itemize} Ce questionnaire a permis de remplir une fiche par personne interrogée, précisant son âge et indiquant si elle s'est rendue ou non au restaurant. On choisit de façon équiprobable l'une de ces fiches. On définit les évènements suivants : \begin{description} \item[\phantom{xxx}] $E$ : \og la fiche est celle d'une personne ayant entre 18 et 25 ans\fg \item[\phantom{xxx}] $F$ : \og la fiche est celle d'une personne ayant entre 26 et 45 ans\fg \item[\phantom{xxx}] $G$ : \og la fiche est celle d'une personne ayant plus de 46 ans\fg \item[\phantom{xxx}] $R$ : \og la fiche est celle d'une personne s'étant rendue au restaurant\fg \end{description} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré donné \textbf {en annexe, à rendre avec la copie}. \item Définir par une phrase l'évènement $F \cap R$. Calculer sa probabilité. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est égale à 0,4935. \item Sachant que la fiche choisie est celle d'une personne s'étant rendue au restaurant lors des festivités de 2017, calculer la probabilité que ce soit celle d'une personne ayant plus de 46 ans. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \vspace{0.5cm} Une entreprise de blanchisserie propose à ses clients d'utiliser sur place ses machines à laver. Conscient des enjeux environnementaux, le gérant s'interroge sur la consommation en eau, par cycle de lavage, de ses machines. Il fait réaliser une étude par une société de conseil spécialisée dans l'accompagnement vers la transition énergétique. \begin{enumerate} \item Cette étude permet de modéliser la consommation en eau, exprimée en litre, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance 90 et d'écart type 5. Le graphique figurant \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}, représente la courbe de densité de la variable aléatoire $X$. Hachurer sur ce graphique le domaine correspondant à l'évènement $\{X>80\}$ et donner la valeur de sa probabilité. \item La société de conseil suggère au gérant de remplacer ses machines par de nouvelles, moins énergivores et mieux éco-conçues. Leur consommation en eau, exprimée en litre, est modélisée par une variable aléatoire Y suivant la loi normale d'espérance 45 et d'écart type 2. Un graphique \textbf{en annexe} représente la courbe de densité de la variable aléatoire Y. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, l'aire du domaine hachuré et donner sa valeur. \item La société de conseil affirme au gérant que 90\,\% des clients sont sensibles aux questions environnementales. Avant de remplacer son parc de machines, le gérant réalise un sondage auprès de 350 clients. Ce sondage révèle alors que, parmi eux, 290 y sont sensibles. Ce résultat permet-il de remettre en cause l'affirmation de la société de conseil ? Argumenter la réponse à l'aide d'un intervalle de fluctuation. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \vspace{0.5cm} Julien vient de créer une application informatique destinée aux particuliers et permettant l'organisation d'évènements. Le 1\ier avril 2018, il envoie une offre de téléchargement de son application à toutes les personnes de son carnet d'adresses. Chaque semaine, il a relevé le nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang 0 correspond à la semaine du 1\ier au 7 avril 2018. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{5cm}|*{5}{c|}}\hline $x_i$ : rang de la semaine & 0& 1& 2& 3& 4\\\hline $y_i$ : nombre de téléchargements& 150& 180& 210& 260& 296\\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip \textbf{ Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{\large Partie A : étude d'un premier modèle} \medskip Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ est donnée en annexe. \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients. \item Julien décide d'ajuster ce nuage par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 37x + 145$. Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $\mathcal{D}$. Représenter la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de \textbf{l'annexe, à rendre avec la copie}. \item Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang 10 ? \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie B : étude d'un second modèle} \medskip En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu'à la fin de la semaine de rang 10 est donné par le tableau ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{5cm}|*{11}{c|}}\hline $x_i$ : rang de la semaine &0 &1& 2& 3& 4& 5 &6 &7& 8& 9& 10\\\hline $y_i$ : nombre de téléchargements& 150& 180& 210& 260& 296& 370& 457& 572& 698& 883& \np{1 095}\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que le taux d'évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10 est de 270\,\%. \item En déduire le taux d'évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10. \end{enumerate} On fait l'hypothèse qu'à partir de la semaine de rang 10, le taux d'évolution hebdomadaire du nombre de téléchargements est constant et égal à 24\,\%. Le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang (10 + $n$) est alors modélisé par le terme un d'une suite de premier terme $u_0 = \np{1 095}$. \begin{enumerate}[resume] \item Justifier que la suite $\bigg(u_n\bigg)$ est géométrique et préciser sa raison. \item Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. \item Selon ce modèle, combien de téléchargements Julien peut-il espérer lors de la semaine de rang 20 ? \item Un sponsor a contacté Julien, lui proposant une participation financière pour promouvoir son projet à plus grande échelle, dès lors que le nombre de téléchargements hebdomadaires dépassera \np{20 000}. Compléter les deux lignes non renseignées dans l'algorithme donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}, pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne le rang de la semaine à partir de laquelle Julien sera sponsorisé. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \vspace{0.5cm} Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique. Elle peut produire chaque jour entre 0 et 10 tonnes de plastique qu'elle revend en totalité au prix unitaire de 700\,\euro{} la tonne. On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par $C_M(x) =\dfrac{C_T (x)}{x}$, où $C_T (x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique. Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d'une tonne de plastique supplémentaire lorsqu'on a déjà produit $x$ tonnes de plastique. \medskip Les parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Sur l'\textbf{annexe} sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente unitaire. On admet que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le coût moyen soit minimal. \item Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On dit qu'il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen. On admet que le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire. \begin{enumerate} \item Pour quelles quantités de plastique produites, l'entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat sera donné sous la forme d'un intervalle. \item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le profit soit maximal. \item Quel est le coût moyen correspondant à cette production ? \item En déduire le coût total correspondant. \item Calculer le profit total maximal. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E$~~}\taput{\np{0.15}}} { \TR{$R$}\taput{\dots} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\dots} } \pstree{\TR{$F$~~}\tbput{\dots}} { \TR{$R$}\taput{\dots} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\dots} } \pstree{\TR{$G$~~}\tbput{\dots}} { \TR{$R$}\taput{\dots} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\dots} } } \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 2} } \textbf{Question 1.} \begin{center} \psset{xunit=0.25cm,yunit=52cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true} \begin{pspicture*}(-4,-0.02)(58,0.11) \multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.11)} \multido{\n=0+0.005}{23}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(58,\n)} \psaxes[Ox=60,Dx=5,Dy=0.02,dy=0.02\psyunit]{->}(0,0)(0,0)(58,0.11) \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.25pt,mue=30,sigma=5]{0}{60} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Question 2.} \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=25cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true} \begin{pspicture*}(-3,-0.02)(58,0.27) \multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.24)} \multido{\n=0+0.01}{24}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(22,\n)} \psaxes[Ox=35,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(0,0)(22,0.24) \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=10,sigma=2]{0}{22} \pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=gray]{ \psline[linewidth=0.4pt](6,0)(6,0.026995) \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=10,sigma=2]{6}{14} \psline[linewidth=0.4pt](14,0.026995)(14,0) } \end{pspicture*} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 3} - Partie A, question 2} \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.02cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-50)(16,600) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,500)} \multido{\n=0+10}{51}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(13,\n)} \multido{\n=0+50}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=50,]{->}(0,0)(14.5,550) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.8,dotangle=45](0,150)(1,180)(2,210)(3,260)(4,296) \uput[u](1.5,530){\footnotesize Nombre d'abonnés} \uput[d](13,- 30){\footnotesize Rang de la semaine} \end{pspicture} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} - Partie B, question 6} \vspace{0.5cm} \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{5cm}|} \hline $N \leftarrow 0$\\ $U \leftarrow \np{1 095}$\\ \hspace{0.2em}Tant que \dotfill\\ \dotfill\\ \hspace{2em}$U \leftarrow 1, 24 U$\\ \hspace{0.2em}Fin Tant que\\ $N \leftarrow 10 + N$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \newpage \begin{center} \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.0027cm} \begin{pspicture}(-1,-3)(15,4500) \multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4400)} \multido{\n=0+100}{45}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](0,\n)(14,\n)} \multido{\n=0+500}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=500]{->}(0,0)(-0.1,-1)(14.5,4500) \psline[linewidth=1.25pt](0,700)(10,700) \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{10}{x x 43.333 mul 223.3333 sub mul 500 add } \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0.25,4400)(0.5,2500)(1,1120)(2,700)(3,510)(4,480)(5,466.67)(6,480)(7,500)(8,570)(9,700)(10,870) \uput[ur](1,1750){Coût moyen($C_M$)}\uput[ur](10,650){Prix de vente unitaire }\uput[ur](10,2600){Coût marginal ($C_m$)} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Centres étrngers 11 juin 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole--La Réunion 19 juin 2018 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{ 19 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole--La Réunion 19 juin 2018~\decofourright}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisée. \smallskip \textbf{L'annexe est à rendre avec la copie.} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Parmi les étudiants de l'enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, 26\,\% sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France, 51\,\% le sont dans une université. Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, 62\,\% sont inscrits dans une université. \emph{Source : Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation.} Dans la base recensant l'INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon équiprobable un identifiant. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{9mm} \begin{description} \item[] $A $: \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'\^{I}le-de-France \fg \item[] $B$ : \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université\fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre de probabilité figurant \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}, représentant la situation de l'énoncé.\index{arbre} \item Traduire l'évènement $A \cap \overline{B}$ par une phrase et calculer sa probabilité.\index{probabilité} \item Montrer que la probabilité de l'évènement B est égale à \np{0,5914}. \item Un responsable du ministère déclare : \og Parmi les étudiants inscrits à l'université, moins d'un sur quatre et plus d'un sur cinq sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France\fg. Que peut-on penser de cette affirmation ? \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (6 points)} \vspace{0.5cm} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Pour chaque question, indiquer la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n'enlève de point.} \begin{enumerate} \item Une augmentation de 22\,\% suivie d'une baisse de 20\,\% revient à une évolution globale de : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $+ 2\,\%$ &\textbf{b.~~} $+2,42\,\% $&\textbf{c.~~}$-2,4\,\%$& \textbf{d.~~} $-2\,\%$. \end{tabularx} \item Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne \textmu = 5 et d'écart type $\sigma = 0, 3$.\index{loi normale} On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$. \psset{xunit=3cm,yunit=2.9cm,comma=true} \begin{pspicture}(0,-0.5)(7.3,1.65) \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,Ox=3]{->}(0,0)(0,0)(4.25,1.50) \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=2,sigma=0.3]{0}{4.20} \end{pspicture} La probabilité $p(4,4 \leqslant X \leqslant 5)$ est égale à :\index{probabilité} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0.5- p(X > 4,4)$ &\textbf{b.~~} $0,5 + p(X > 4,4)$&\textbf{c.~~}$p(X > 4,4)-0,5$& \textbf{d.~~} $1 - p(X > 4,4)$. \end{tabularx} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~6,5]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous. Sur ce graphique figure également la droite $(AB)$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$(2~;~4)$. \begin{center} \psset{xunit=0.82cm,yunit=0.41cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-3,-6)(7,10) \multido{\n=-3+0.2}{48}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-5.9)(\n,9)} \multido{\n=-6+0.4}{38}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-3,\n)(6.4,\n)} \multido{\n=-3+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-5.9)(\n,9)} \multido{\n=-6+2}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](-3,\n)(6.4,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-5.9)(6.4,9.2) \psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-3}{6.4}{ x 3 exp 0.25 neg mul x x mul 1.25 mul add x 2 mul add 3 sub } \psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.59}{3.2}{ x 4 mul 4 sub} % \pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-6.2,1.95)(-6,1.9)(-5,1.8)(-4,1.65)(-3,1.56)(-2.5,1.5)(-2,1.57)(-1,2)(0,3)(0.5,3.3)(1,2)(1.2,0)(1.5,-2.5) \uput[ul](2,4){A}\uput[r](0,-4){B}\uput[d](6.2,0){$x$}\uput[ul](0,8.4){$y$} \psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,-4)(2,4) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.66667,-3.7037)(-0.66667,0)\psline[linewidth=0.75pt,linestyle=dashed](4,0)(4,9) \uput[u](-0.66667,0){$-\frac{2}{3}$} \end{pspicture} \end{center} On admet que la fonction $f $ est dérivable sur l'intervalle $[-3~;~6,5]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.\index{dérivée} (i). $f'(2)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $4$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.~~}$-4$& \textbf{d.~~} $2$. \end{tabularx} (ii). L'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $[-3~;~-2]\cup[1~;~6]$ &\textbf{b.~~} $\left[- 3~;~-\frac{2}{3}\right]\cup[4~;~6,5]$\\\textbf{c.~~}$\left[-\frac{2}{3}~;~4\right]$&\textbf{d.~~} $[-2~;~1]\cup[6~;~6,5]$. \end{tabularx} \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-2~;~8]$ par $g(x) = 2x^3 - 9x^2 -24x + 32$. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[-2~ ;~8]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. (i). Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~8]$, $g'(x)$ est égal à :\index{dérivée} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $5x^2 -11x - 24$ &\textbf{b.~~} $2x^2 -9x -24 $&\textbf{c.~~}$6x^2-18x-24 $& \textbf{d.~~} $3x^2 - 2x - 24$. \end{tabularx} (ii). Le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-2~;~8]$ est : \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $-82$ &\textbf{b.~~} $4$&\textbf{c.~~}$-80$& \textbf{d.~~} $-24$. \end{tabularx} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (4 points)} \vspace{0.5cm} Le tableau ci-dessous donne la consommation d'énergie primaire d'origine fossile (charbon, gaz, pétrole) en France entre 2005 et 2013. Elle s'exprime en million de tonnes équivalent pétrole (Mtep) et est arrondie au dixième. \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 & 2011 &2012& 2013\\\hline Rang de l'année : $x_i$ &0 & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8\\\hline Consommation d'énergie primaire d'origine fossile (en Mtep) : $y_i$&146,0 &143,1 &141,3 &139,7 &133,7 &135,1 &127,1&128,1 &126,9\\\hline \multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr}}\\ \end{tabularx} \end{center} \smallskip Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donnée en \textbf{annexe}. \begin{enumerate} \item Donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.\index{droite d'ajustement} \item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2,6x + 146$. Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie.} \item La loi de 2015 relative à la transition énergétique fixe à la France l'objectif suivant : avant 2030, réduire de 30\,\% la consommation en énergie primaire d'origine fossile par rapport à sa valeur en 2012. Selon le modèle retenu à la question \textbf{2.}, l'objectif de la loi sera-t-il atteint ? Si oui, au cours de quelle année ? On expliquera la démarche utilisée. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (6 points)} \vspace{0.5cm} \textbf{Partie A} \medskip Le tableau suivant, extrait d'une feuille automatisée de calcul, fournit l'évolution des encours (solde comptable) des Investissements Socialement Responsables (ISR) détenus par les investisseurs français, au 1\up{er} janvier des années allant de 2010 à 2014. La plage de cellules C3:F3 est au format pourcentage arrondi à l'unité.\index{pourcentage} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\centering{A} &B& C &D& E& F\\\hline 1 &Année& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\\hline 2 &Encours des ISR (en milliard d'euros)& 68,3& 115,3& 149,0 &169,7 &222,9\\\hline 3 &Taux d'évolution annuel (en pourcentage)&\cellcolor{lightgray}&&&&\\\hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : Novethic}}\\ \end{tabularx}\index{taux} \smallskip \begin{enumerate} \item Choisir, parmi les propositions suivantes, la formule à saisir dans la cellule C3 d'un tableur afin d'obtenir par recopie vers la droite les taux d'évolution annuels jusqu'en 2014, des encours des investissements socialement responsables : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline = (C2$-$B2)/C2 & = (C2$-$\$B\$2)/\$B\$2 &= (C2$-$B2)/B2& = (B2$-$C2)/C2.\\\hline \end{tabularx} \item Quelle est la valeur affichée dans la cellule F3 ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On suppose que la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous les ans de 30\,\% à partir de 2014. On note $u_n$ la valeur des encours des investissements socialement responsables, exprimée en milliard d'euros, au 1\up{er} janvier de l'année (2014 + $n$). On a ainsi $u_0 = 222, 9$. \begin{enumerate} \item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.\index{suite géométrique} \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.\index{suite} \item En déduire une estimation de la valeur des encours des investissements socialement responsables, au 1\up{er}~janvier 2018. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}{l} $N \longleftarrow 0$\\ $U \longleftarrow 222,9$ \\ Tant que $U< \np{1000}$ \\ \hspace{2em}$N \longleftarrow N + 1$\\ \hspace{2em} $U \longleftarrow 1, 3 \times U$\\ Fin Tant que\\ \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelles valeurs contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ? \item Interpréter ces valeurs dans le contexte étudié. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE\\ À rendre avec la copie} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice} 1} \medskip \begin{center} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\dots$}} { \TR{$B$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$\dots$}} {\TR{$B$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\dots$} } } \end{center} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice}3 } \medskip \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.198cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-1)(15,60) \multido{\n=0+0.2}{71}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,55)} \multido{\n=0+2}{28}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)} \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,55)} \multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=darkgray](0,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(14,55) \psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.4](0,46.0)(1,43.1)(2,41.3)(3,39.7)(4,33.7)(5,35.1)(6,27.1)(7,28.1)(8,26.9) \uput[ur](0,54){\footnotesize Consommation d'énergie primaire d'origine fossile(Mtep)} \uput[d](13,- 2){\footnotesize Rang de l'année}\uput[ur](13,0){$x$}\uput[l](0,53){$y$} \end{pspicture} %%%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion 19 juin 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 19 juin 2018 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small 19 juin 2018} \label{Antilles} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 19 juin 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip \emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{de cet exercice sont indépendantes.} \medskip Une entreprise fabrique des batteries pour téléphone. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Les batteries sont fabriquées dans deux ateliers, Arobase et Bestphone ; 55\,\% d'entre elles sont fabriquées dans l'atelier Arobase et le reste dans l'atelier Bestphone. À l'issue de la fabrication, certaines batteries sont contrôlées. \medskip Ces contrôles permettent d'affirmer que: \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Arobase, 94\,\% ne présentent aucun défaut; \item[$\bullet~~$] parmi les batteries fabriquées dans l'atelier Bestphone, 4\,\% présentent au moins un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Une batterie est prélevée de façon équiprobable dans le stock constitué des batteries produites par les deux ateliers. On considère les évènements suivants : \begin{description} \item[ ] $A$ : \og la batterie provient de l'atelier Arobase \fg \item[ ] $B$ : \og la batterie provient de l'atelier Bestphone \fg \item[ ] $D$ : \og la batterie présente au moins un défaut\fg \end{description} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut.\index{probabilité} \item Montrer que la probabilité que la batterie présente au moins un défaut est égale à $0,051$. \item Sachant que la batterie choisie présente au moins un défaut, peut-on affirmer qu'il y a plus de deux chances sur trois que cette batterie provienne de l'atelier Arobase ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis au centième.} \smallskip On modélise l'autonomie d'une batterie, exprimée en minute, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 750$ et d'écart type $\sigma = 75$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Donner la valeur, arrondie au centième, de la probabilité $P(600 \leqslant X \leqslant 900)$. \item Calculer la probabilité qu'une batterie ait une autonomie supérieure à $15$~heures.\index{probabilité} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \medskip La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique (en pourcentage de la surface agricole totale) en Suède, entre 2010 et 2016 : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 1 &Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline 2 &Part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en Suède (en pourcentage de la surface agricole totale)&14,3 &15,7 &15,76 &16,5 &16,53 &17,09 &18,21\\ \hline 3 & Taux d'évolution par rapport à 2010&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&&&&\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : ec. europa. eu/ eurostat}}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle formule peut-on saisir en cellule C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les valeurs de la plage de cellules C3:H3 ? \item Déterminer le taux d'évolution global de la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l'exprimera en pourcentage.\index{pourcentage}\index{taux} \item Déterminer le taux d'évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016. On l'exprimera en pourcentage.\index{pourcentage}\index{taux} \item Le gouvernement suédois a pour objectif que, d'ici 2025, un quart de la surface agricole totale soit occupé par l'agriculture biologique. On suppose qu'à partir de 2016, la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique augmente de 4\,\% par an en Suède. L'objectif du gouvernement sera-t-il atteint au vu de cette hypothèse ? Justifier la réponse. \item Toujours d'après Eurostat, la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en France en 2016 représentait 5,54\,\% de la surface agricole totale, alors qu'elle représentait 18,21 \,\% en Suède. Un internaute affirme sur son site que, dans le département où il réside, la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en 2016 est équivalente à celle de la Suède. Des étudiants, dans le cadre d'un projet scientifique, ont voulu tester la validité de cette déclaration. À partir d'une étude menée sur un échantillon de $500$ exploitations agricoles de ce même département, ils ont obtenu un taux de couverture de l'agriculture biologique de 12\,\%.\index{taux} Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'internaute ? On argumentera la réponse à l'aide d'un intervalle de fluctuation.\index{intervalle de fluctuation} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points} \medskip Les parties A, B et C de cet exercice sont indépendantes. \medskip Le tableau suivant donne le montant mensuel brut, en euro, du SMIC pour 35 heures de travail hebdomadaire, entre 2013 et 2017 : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline \hline Rang de l'année : $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Montant mensuel brut du SMIC (en euro) : $y_i$& \np{1430,22} &\np{1445,38} &\np{1457,52} &\np{1466,62} &\np{1480,27}\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est donnée dans le repère en annexe, à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{droite d'ajustement} \item a. Donner les coordonnées de deux points de cette droite, puis la tracer dans le repère précédent. b. En admettant que cet ajustement sera valide jusqu'en 2025, estimer la valeur du montant mensuel brut du SMIC en 2025. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiple.\\ Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Dans le cadre d'une étude économique, une hypothèse retenue est, qu'entre 2017 et 2025, le montant mensuel brut du SMIC augmente de 1\,\% par an. Ce montant mensuel est modélisé par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $U_0 = \np{1480,27}$.\index{suite géométrique} L'entier $n$ désigne le rang de l'année $(2017 + n)$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$ est :\index{suite} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} $u_n = \np{1480,27} \times 1,01^n$&\textbf{b.~~} $u_n = \np{1480,27} + 0,01n$\\ \textbf{c.~~} $u_n = \np{1480,27} \times 0,01^n$&\textbf{d.~~} $u_n = \np{1480,27} + 1,01n$\\ \end{tabularx} \medskip \item Avec ce modèle, une estimation du montant mensuel brut du SMIC en 2022 est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} \textbf{a.~~} \np{1540,37} ~\euro&\textbf{b.~~} \np{1554,28}~\euro\\ \textbf{c.~~} \np{1555,78}~\euro&\textbf{d.~~} \np{1571,34}~\euro\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline $N \gets 0$\\ $U \gets \np{1480,27}$\\ Tant que $U < \np{1600}$ faire\\ \hspace{1cm}$N \gets N+1$\\ \hspace{1cm}$U \gets U \times 1,01$\\ Fin Tant que\\\hline \end{tabularx} \end{center} Que contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ? À quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l'exercice ? \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points} \medskip Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d'estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre \np{1500} et \np{3000} panneaux solaires. On s'intéresse au bénéfice de l'entreprise sur la vente des panneaux solaires produits. On décide de modéliser l'évolution du bénéfice de l'entreprise, exprimé en centaine d'euros, par la fonction $f$ définie ci-dessous : \[f(x) = - 2x^2 + 90x - 400,\quad \text{pour }\:x \in [15~;~30].\]\index{fonction polynôme} On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~30] et on note $f'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [15~;~30].\index{dérivée}\index{variations} \item Calculer son maximum.\index{maximum} Les valeurs de $x$, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits. \item Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 1} \end{flushleft} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\naput{0,55}} {\TR{$D$}\naput{\ldots} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$B$~}\nbput{\ldots}} {\TR{$D$}\naput{\ldots} \TR{$\overline{D}$}\nbput{\ldots} } } \vspace{1cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3} \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.03cm} \begin{pspicture}(-0.5,-10)(14,330) \multido{\n=0.0+0.2}{71}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,320)} \multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,320)} \multido{\n=0+10}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(14,\n)} \multido{\n=0+50}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1300,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(14,320) \multido{\n=0+100,\na=1300+100}{4}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}} \uput[r](0,330){Montant mensuel brut du SMIC} \uput[u](12.5,0){Rang de l'année} \psdots(1,130.22)(2,145,38)(3,157.52)(4,166.62)(5,180.27) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane 19 juin 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie 19 juin 2018 \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{20 juin 2018}} \label{Polynesie} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Polynésie 19 juin 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ Pour chaque affirmation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est attendue.\\ Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip Une espèce d'oiseaux rares voit sa population diminuer de 3\,\% chaque année. On recense 300 oiseaux de cette espèce en 2017. On modélise le nombre d'oiseaux de cette espèce en l'année $2017 +n$ par une suite $\left(u_n\right)$.\index{suite} Ainsi $u_0 = 300$. \medskip \begin{enumerate} \item En 2018, la population sera de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} $291$ oiseaux&\textbf{B.~~} $297$ oiseaux&\textbf{C.~~} $90$ oiseaux&\textbf{D.~~} $210$ oiseaux \end{tabularx} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ est :\index{suite} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{A.~~} arithmétique de raison $- 9$&\textbf{B.~~} géométrique de raison $0,03$\\ \textbf{C.~~} géométrique de raison $0,97$&\textbf{D.~~} ni arithmétique, ni géométrique \end{tabularx} \medskip \item On donne la feuille de tableur ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B\\ \hline 1 &$n$ &$u(n)$\\ \hline 2 &0 &300\\ \hline 3 &1 &\\ \hline 4 &2 &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelle formule saisie dans la cellule B3 permettra d'afficher les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ en l'étirant vers le bas ?\index{suite}\index{tableur} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} = B2 $- 0,03$ &\textbf{B.~~} = B2 $* 0,03$ &\textbf{C.~~} = B$2 * 0,97$\verb+^+A3 &\textbf{D.~~} = B2 $* 0,97$ \end{tabularx} \medskip \item On donne un extrait des résultats obtenus dans la feuille de tableur précédente: \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B\\ \hline 22 &20 &163\\ \hline 23 &21 &158\\ \hline 24 &22 &153\\ \hline 25 &23 &149\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On peut en déduire que la population aura diminué de moitié par rapport à 2017 à partir de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~}2039 &\textbf{B.~~} 2040 &\textbf{C.~~} 2041 &\textbf{D.~~}2042 \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \medskip On choisit au hasard un salarié dans une première entreprise. On modélise l'âge du salarié par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $40$ et d'écart type $5$.\index{loi normale} \emph{Si besoin, on arrondira les probabilités à } $10^{-2}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que le salarié ait entre 35 et 50 ans. \item Calculer la probabilité de l'évènement $(X \geqslant 45)$. \item Dans une deuxième entreprise, on choisit un salarié. L'âge du salarié choisi est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale telle que $P(Y \geqslant 45) = 0,5$ et $P(37 \leqslant Y \leqslant 53) \approx 0,95$.\index{loi normale} Déterminer les valeurs de l'espérance $\mu$ et de l'écart type $\sigma$ de la loi normale suivie par $Y$.\index{probabilité}\index{ecart type@écart type} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre de catastrophes naturelles dans le monde en 1955, 1966, 1977, 1988 et 1999 : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1955 &1966 &1977 &1988 &1999\\ \hline Rang de l'année $x_i$& 0 &11 &22 &33 &44\\ \hline Nombre de catastrophes naturelles $y_i$& 30 &81 &140 &237 &414\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : https://www.notre-planete.info}} \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie), représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau précédent. \item \begin{enumerate} \item À l'aide de votre calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le graphique fourni en annexe. \item En se servant de cet ajustement, estimer le nombre de catastrophes naturelles ayant eu lieu en 1990. \end{enumerate} \item De 1999 à 2000 on a enregistré une augmentation de 27\,\% du nombre de catastrophes naturelles. Combien de catastrophes naturelles l'année 2000 a-t-elle comptées ? \item De 2000 à 2016, le nombre de catastrophes naturelles a diminué de 43,5\,\%. Déterminer le taux d'évolution annuel moyen sur cette période.\index{taux} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \medskip \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le pays Écoland, en 2080, les véhicules roulent exclusivement à l'électricité ou aux biocarburants. Par ailleurs, il existe des véhicules sans chauffeur. 70\,\% des véhicules sont avec chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{4}{7}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l'électricité. 30\,\% des véhicules sont sans chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{2}{3}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l'électricité. \smallskip On choisit un véhicule de ce pays au hasard et on note : \begin{description} \item[ ] $C$ l'évènement: \og le véhicule est avec chauffeur \fg{} ; \item[ ] $B$ l'évènement: \og le véhicule roule aux biocarburants \fg{} ; \item[ ] $E$ l'évènement: \og le véhicule roule à l'électricité \fg. \end{description} \emph{Les probabilités seront exprimées en valeur exacte (fraction irréductible ou forme décimale).} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous permettant de modéliser la situation :\index{arbre} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$C$~}\naput{\ldots}} {\TR{$B$}\naput{\ldots} \TR{$E$}\nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{C}$~}\nbput{\ldots}} {\TR{$B$}\naput{\ldots} \TR{$E$}\nbput{\ldots} } } \end{center} où $\overline{C}$ désigne l'évènement contraire de $C$. \medskip \item Déterminer la probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants.\index{probabilité} \item On suppose que le véhicule choisi roule aux biocarburants. Déterminer la probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse à la consommation d'un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule. Cette consommation est modélisée par la fonction $f$ définie sur [30~;~130] par : \[f(x) = \dfrac{8x^2 - 800x + \np{30000}}{x^2}\quad \text{pour}\: x\: \text{dans}\: [30~;~130]\]\index{fonction non polynôme} où $x$ est exprimé en km/h et $f(x)$ est exprimé en litres pour 100 km. \medskip \begin{enumerate} \item Suivant ce modèle, lorsque le véhicule roule à 30 km/h, quelle est sa consommation ? Et lorsqu'il roule à 50 km/h ? \item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ sur [30~;~130] peut s'écrire $f'(x) = \dfrac{800x - \np{60000}}{x^3}$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [30~;~130] et en déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.\index{tableau de variations} \item Pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ? Que vaut alors cette consommation (arrondir à $0,01$ près) ? \item On considère l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline $x \gets 30$\\ $y \gets \dfrac{44}{3}$\\ Tant que $y \geqslant 4$\\ \hspace{1cm}$x \gets x+1$\\ \hspace{1cm}$y \gets \dfrac{8x^2 - 800x + \np{30000}}{x^2}$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à l'exercice 3} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.225cm,yunit=0.02cm} \begin{pspicture}(-2,-20)(57,510) \multido{\n=0+1}{58}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,500)} \multido{\n=0+20}{26}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(57,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(0,0)(57,510) \uput[u](56,0){$x$}\uput[r](0,505){$y$} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie 19 juin 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Polynésie 4 septembre 2018 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{4 septembre 2018}} \label{Polynesie} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Polynésie 4 septembre 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip L'indice du prix du beurre, au 1\up{er} de chaque mois de janvier à août 2017, est donné dans le tableau suivant (base 100 en janvier 2005). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline 1 & Mois &janvier &février &mars &avril &mai &juin &juillet &août\\ \hline 2 & Indice du prix du beurre &123,5 &123,5 &123,5 &123,5 &139,6 &161,1 &174,6 &179,9\\ \hline 3&\small Taux d'évolution mensuel du prix du beurre en \%&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&0 &0 &0 &13 &15,4 &8,4 &3\\ \hline 4& Prix de la tonne de beurre en euros &\np{4500}& & & & & & &\\ \hline \multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{D'après INSEE}} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quel était le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} janvier 2005 ? \item Proposer une formule à écrire dans la cellule C4, et à recopier vers la droite jusqu'à la cellule I4, qui permet de calculer le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} de chaque mois. \item \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution, en pourcentage arrondi au dixième, du prix du beurre de janvier à août 2017.\index{pourcentage}\index{taux} \item En déduire que le taux d'évolution mensuel moyen est d'environ 5,5\,\% sur cette période.\index{taux} \end{enumerate} \item Calculer le prix de la tonne de beurre le 1\up{er} mai 2017 à l'euro près. \item Le prix de la tonne de beurre était de \np{6500}~euros le 1\up{er} octobre 2017. \begin{enumerate} \item Calculer l'indice (base 100 en janvier 2005) du prix du beurre le 1\up{er} octobre 2017, au dixième près. \item L'évolution moyenne trouvée dans la question 3. b. s'est-elle poursuivie après le mois d'août ?\index{evolution moyenne@évolution moyenne} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A : Campagne de publicité} \medskip Une entreprise réalise une campagne de publicité sur six mois pour la sortie d'un nouveau téléviseur. Elle estime que la probabilité qu'une personne prise au hasard connaisse ce téléviseur après $x$ semaines de publicité est donnée par : \[f(x) = \dfrac{9x}{10x + 40} \quad \text{pour}\: x \in [0~;~26].\]\index{fonction non polynôme} \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité ? Après deux semaines ?\index{probabilité} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{360}{(10x + 40)^2}$.\index{dérivée} \item Donner le signe de $f'(x)$ pour $x \in [0~;~26]$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~26]. \item Voici un algorithme :\index{algorithme} \parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline $x \gets 0$\\ $y \gets 0$\\ Tant que $y < 0,75$\\ \hspace{0.4cm}$x \gets x+1$\\ \hspace{0.4cm}$y \gets \dfrac{9x}{10x+40}$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx}}\hfill \parbox{0.65\linewidth} { \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ? \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} } \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Durée de vie d'un téléviseur} \medskip On décide de modéliser la durée de vie, en mois, d'un téléviseur par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$. Sa fonction de densité est représentée ci-dessous ainsi que la probabilité $P(X \leqslant 44) = 0,025$.\index{loi normale} \begin{center} \psset{xunit=0.07cm,yunit=150cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(0,-0.005)(160,0.02) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=2](84,0)(0,0)(160,0.02) %\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=84,sigma=20]{0}{160} \def\f{1/(20.4*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-84)/20.4)^2)/2)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{\f} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{24}{44}{\f} \psline(44,0)(24,0)} \multido{\n=24+20}{7}{\uput[d](\n,0){\n}} \psline(64,0.0008)(64,-0.0007) \psline(104,0.0008)(104,-0.0007) \psline(124,0.0008)(124,-0.0007) \psline(144,0.0008)(144,-0.0007) %\uput[ur](27.5,0.02){2,3\,\%} %\uput[dr](27.2,0){27,2} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide des informations fournies par le graphique, déterminer une valeur de : \begin{enumerate} \item l'espérance $\mu$, \item $P(44 \leqslant X \leqslant 124)$. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite on admet que l'écart-type est $\sigma = 20,4$.\index{ecart type@écart type} \begin{enumerate}[resume] \item Calculer $P(X > 120)$. Arrondir au centième. \item La campagne de publicité de ce modèle de téléviseur vantait sa fiabilité et affirmait que la durée de vie de ce modèle serait de plus de $10$~ans pour au moins les trois quarts d'entre eux. Qu'en pensez-vous ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Service après-vente} \medskip Une enquête a été réalisée dans une grande surface de multimédia sur des clients ayant acheté un téléviseur deux ans plus tôt. On a constaté que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$40$\,\% de ces clients ont souscrit une garantie de deux ans. Parmi eux : \begin{itemize} \item un quart a contacté une seule fois le service après-vente (SAV) ; \item 28\,\% n'ont pas contacté le SA V ; \item les autres ont contacté le SA Vau moins deux fois. \end{itemize} \item[$\bullet~~$]Parmi les clients n'ayant pas souscrit de garantie de deux ans : \begin{itemize} \item $80$\,\% n'ont pas contacté le SAV ; \item $15$\,\% ont contacté le SAV une seule fois; \item les autres ont contacté le SAV au moins deux fois. \end{itemize} \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard un client ayant acheté un téléviseur dans ce magasin deux ans plus tôt et on note les évènements : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $G$ : \og Le client a souscrit une garantie de deux ans \fg{} ; \item $A$ : \og Le client n'a pas contacté le SAV \fg{} ; \item $B$ : \og Le client a contacté le SAV une seule fois\fg{} ; \item $C$ : \og Le client a contacté le SAV au moins deux fois \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu'il n'ait pas contacté le SAV.\index{probabilité} \item Calculer la probabilité que le client n'ait pas contacté le SAV. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip En France, le temps moyen quotidien, en heures, passé par une personne devant un écran d'ordinateur, de tablette ou de smartphone est donné dans le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline Temps en h passé devant un écran $y_i$ &2,78 &3,27 &3,52 &3,77 &3,97\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième. \item Dans la suite de l'exercice, on prend la droite d'équation $y = 0,3x + 2,9$ comme ajustement du nuage de points. \begin{enumerate} \item Tracer cette droite dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie. \item En utilisant cet ajustement, déterminer une estimation du temps quotidien passé devant un écran en 2018. \item D'après ce modèle, en quelle année va-t-on atteindre les $5$ heures quotidiennes devant un écran ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip D'après une étude, le temps quotidien passé devant un écran devrait augmenter de 5\,\% chaque année à partir de 2017. On note $u_n$ le temps quotidien en heures passé devant un écran l'année $2017 + n$. On a donc $u_0 = 3,97$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.\index{suite} \item Exprimer $u_n $en fonction de $n$. \item À l'aide de ce modèle, donner une estimation, arrondie au centième, du temps quotidien passé devant un écran en 2019. \item D'après ce modèle, en quelle année devrait-on dépasser les 5 heures quotidiennes passées devant un écran ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{1.5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$G~$} \taput{\ldots}} {\TR{$A$} \taput{0,28} \TR{$B$}\taput{0,25} \TR{$C$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{G}~$} \tbput{\ldots}} {\TR{$A$} \taput{\ldots} \TR{$B$}\taput{0,15} \TR{$C$} \tbput{\ldots} } } \vspace{1.5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3} \end{flushleft} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(11,10) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(11,10) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,10) \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.7,linecolor=red](0,2.78)(1,3.27)(2,3.52)(3,3.77)(4,3.97) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Polynésie 4 septembre 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Antilles--Guyane septembre 2018 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small septembre 2018} \label{Antilles} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 3 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Antilles--Guyane 6 septembre 2018~\decofourright}} \vspace{0,25cm} \textbf{La page 6 est une annexe, à rendre avec la copie.} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} \medskip L'entreprise \emph{Gadgets En Stock} vend des \emph{hand spinners}. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame. Advanceplay et Betterspin fournissent chacun 30\,\% des hand spinners de \emph{Gadgets En Stock}. Coolgame fournit les 40\,\% restant. Les données de ces trois entreprises indiquent que : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 1\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ; \item[$\bullet~~$] 4\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ; \item[$\bullet~~$] 2\,\% des \emph{hand spinners} provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l'entreprise \emph{Gadgets En Stock} et on définit les évènements suivants : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$A$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Advanceplay \fg \item[$\bullet~~$]$B$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Betterspin \fg \item[$\bullet~~$]$C$ : \og le \emph{hand spinner} provient du fournisseur Coolgame \fg \item[$\bullet~~$]$D$ : \og le \emph{hand spinner} est défectueux\fg \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.\index{arbre} \item Calculer la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.\index{probabilité} \item Montrer que la probabilité que le \emph{hand spinner} choisi soit défectueux est égale à $0,023$. \item On achète un \emph{hand spinner} chez \emph{Gadgets En Stock}. On constate que celui-ci est défectueux. Quelle est la probabilité qu'il provienne du fournisseur Coolgame ? \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} \medskip Une usine de fabrication de voitures a une capacité de production de $100$ véhicules par jour. \bigskip \textbf{Partie A : Étude graphique} \medskip Sur le graphique ci-dessous sont tracées deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. L'une représente le coût de production en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour, l'autre le chiffre d'affaires de l'usine en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour. \begin{center} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-5,-50)(105,920) \multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,920)} \multido{\n=0+100}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(105,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(105,920) \psline(100,800) \pscurve[linewidth=1.25pt](0,195)(5,205)(10,216)(15,230)(20,247)(25,265)(30,283)(35,303)(40,320)(45,340)(50,365)(55,395)(60,425)(65,465)(70,505)(75,560)(80,620)(85,698)(90,770)(95,855)(100,950) \uput[d](70,-42){Nombre de voitures produites et vendues par jour} \rput{90}(-10,450){Montant (en milliers d'euros)} \uput[u](90,785){$\mathcal{C}_1$}\uput[d](25,195){$\mathcal{C}_2$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que le chiffre d'affaires de l'usine est proportionnel au nombre de voitures produites et vendues chaque jour, laquelle des deux courbes représente ce chiffre d'affaires? \item Avec la précision permise par le graphique, donner le coût de production de $55$ voitures. \item Combien de voitures faut-il produire et vendre pour réaliser un chiffre d'affaires de \np{600000}~euros? \item Pour combien de voitures produites et vendues par jour l'usine réalise-t-elle un bénéfice? Le résultat sera donné sous forme d'un intervalle. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $R$ définie sur [0 ; 100] par \[R(x) = - 0,001x^3 + 0,07x^2 + 3,36x - 186.\]\index{fonction polynôme} On admet que la fonction $R$ est dérivable sur [0~;~100]. On note $R'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $R'(x)$.\index{dérivée} \item Étudier le signe de $R'(x)$ sur l'intervalle [0~;~100]. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $R$ sur [0~;~100]. \item On appelle \emph{résultat} la différence entre le chiffre d'affaires et le coût de production. S'il est positif, il correspond à un bénéfice, s'il est négatif, il correspond à une perte. Pour un nombre entier $x$ de voitures produites et vendues par jour, on modélise le \emph{résultat} par $R(x)$. \begin{enumerate} \item Selon ce modèle, combien de voitures l'usine doit-elle produire et vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. \item Quel est alors ce bénéfice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'espérance de vie des Françaises selon leur année de naissance sur la période allant de 1996 à 2003. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année de naissance &1996 &1997 &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline Espérance de vie : $y_i$ (en années)&82,1 &82,3 &82,4 &82,5 &82,8 &82,9 &83,1 &83,0\\ \hline \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : INSEE}} \end{tabularx} \end{center} Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ est donné en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Donner l'équation réduite de la droite réalisant un ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite d'équation $y = 0,14x + 82$. Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie. \item On admet que cet ajustement reste valide pour les années de naissance allant jusqu'en 2006. Déterminer alors l'espérance de vie d'une Française née en 2005. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \medskip L'objet de cet exercice est l'étude de l'évolution de la population française depuis l'année 2012. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous donne l'effectif de la population française et son taux d'évolution annuel pour certaines années comprises entre 2012 et 2016.\index{taux} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 &2016\\ \hline Population (en million d'habitants) &65,66 &66,00 &66,33 &&66,90\\ \hline Taux d'évolution (en pourcentage) &\cellcolor{lightgray!90}&0,52 &&0,44 &0,42\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : data.worldbank.org}} \end{tabularx} \end{center} On lit, par exemple, que la population française a augmenté de $0,52$\,\% de 2012 à 2013. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution de la population française de 2013 à 2014.\index{taux} \item À combien s'élevait la population française en 2015 ? \item Calculer le taux d'évolution global de 2012 à 2016, exprimé en pourcentage. \item Vérifier que le taux d'évolution annuel moyen de 2012 à 2016, arrondi au centième, est égal à 0,47\,\%. \item En considérant que ce taux reste valide jusqu'en 2020, estimer la population française en 2020. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on admet que la population française augmente de 0,5\,\% par an à partir de l'année 2012 et jusqu'en 2030. On modélise cette évolution à l'aide d'une suite géométrique notée $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente la population en $(2012 + n)$, exprimée en million d'habitants.\index{suite géométrique} On a ainsi $u_0 = 65,66$. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser la raison de la suite $\left(u_n\right)$.\index{suite} \item Pour tout entier naturel $n$, inférieur ou égal à 18, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire, à l'aide de ce modèle, une nouvelle estimation de la population française en 2020. \item On souhaite estimer l'année à partir de laquelle la population française dépassera les $70$ millions d'habitants. Pour cela, on considère l'algorithme incomplet ci-dessous :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Algorithme}\\ \hline \dotfill \\ \dotfill \\ Tant que $U < 70$\\ \dotfill\\ \hspace{0.5cm}$N \gets N + 1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'algorithme à l'aide des trois instructions suivantes pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne le rang de l'année recherchée. \vspace{0.6cm} \psset{unit=1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \psframe[framearc=0.5](2.4,0.8)\rput(1.2,0.4){$U \gets U \times 1,005$}& \psframe[framearc=0.5](2.4,0.8)\rput(1.2,0.4){$U \gets 65,66$}&\psframe[framearc=0.5](2.4,0.8)\rput(1.2,0.4){$N \gets 0$}\\ \end{tabularx} \item Au cours de quelle année la population française dépassera-t-elle $70$ millions d'habitants ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \textbf{à rendre avec la copie} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$B$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$C$~~}\tbput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1.15cm,yunit=4cm,comma=true} \begin{pspicture}(10.2,1.7) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.7)} \multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10.2,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1,Oy=81.8](0,0)(10.2,1.7) \uput[d](8.1,-0.12){rang de l'année de naissance} \rput{90}(-1.15,1.4){Espérance de vie} \uput[u](10.15,0){$x$} \uput[r](0,1.6){$y$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,0.3)(2,0.5)(3,0.6)(4,0.7)(5,1)(6,1.1)(7,1.3)(8,1.2) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Antilles--Guyane septembre 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Métropole--La Réunion 6 septembre 2018 \hypertarget{Metrosep}{} \label{Metrosep} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{6 septembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[5pt]6 septembre 2018}} \vspace{0,25cm} La calculatrice est autorisée. \smallskip \textbf{La page 5 est une annexe, à rendre avec la copie.} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse, n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 80$ et d'écart type $\sigma = 10$. On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.\index{loi normale} \begin{center} \psset{xunit=0.08cm,yunit=150cm,comma=true} \begin{pspicture}(-5,-0.0015)(140,0.045) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.005](0,0)(140,0.045) \psGauss{10}{80} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{140}{0.1 2 3.14159 mul sqrt div 2.71828 x 80 sub 2 exp 200 div exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité $p(60 \leqslant X \leqslant 100)$, arrondie au centième, est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}\index{probabilité} \textbf{a.~~}0,05 &\textbf{b.~~}0,97\\ \textbf{c.~~}0,50 &\textbf{d.~~}0,95 \end{tabularx} \medskip \item La probabilité $p(X < 90)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$0,5 - p(X > 90)$ &\textbf{b.~~}$p(X > 70)$\\ \textbf{c.~~}$1 - p(X > 70)$ &\textbf{d.~~}$1 - p(X \geqslant 70)$ \end{tabularx} \medskip \item La probabilité $p(60 \leqslant X \leqslant 80)$ est égale à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~}$0,5 + p(X \geqslant 60)$ &\textbf{b.~~} $0,5 - p(X \leqslant 60)$\\ \textbf{c.~~}$1 - p(X \leqslant 60)$ &\textbf{d.~~}$0,5 + p(X \leqslant 60)$ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne la production mondiale des énergies renouvelables de 2006 à 2015. Cette production est exprimée en milliard de TEP (tonne équivalent-pétrole). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Rang de l'année : $x_i$ & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline Quantité produite (en milliard de TEP) : $y_i$& 1,44 &1,47 &1,50 &1,53 &1,59 &1,62 &1,68 &1,74 &1,78 &1,82\\ \hline \multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source: OCDE d'après Extended world energy balances}}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 0,04x + 1,37$. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie. \item À l'aide de ce modèle, estimer la production mondiale des énergies renouvelables en 2020. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le taux d'évolution de la production mondiale des énergies renouvelables entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.\index{pourcentage}\index{taux} \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.\index{pourcentage} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On décide de modéliser l'évolution de la production mondiale des énergies renouvelables à l'aide d'une suite géométrique de raison $1,026$. \index{suite géométrique} Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la production mondiale des énergies renouvelables, en milliard de TEP, pendant l'année $(2015 + n)$. Ainsi $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1,82$ et de raison $1,026$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. \item Déterminer, d'après ce modèle, une estimation de la production mondiale des énergies renouvelables en 2020. \item Selon l'Agence d'Information sur l'Énergie des États-Unis d'Amérique (EIA), l'approvisionnement pétrolier mondial a été, en 2016, d'environ $4,84$ milliards de tonnes. On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline $U \gets 1,82$\\ $K \gets 0$\\ Tant que $U < 4,84$\\ \hspace{1cm}$U \gets U \times 1,026$\\ \hspace{1cm}$K \gets K+1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Après exécution de cet algorithme, la variable $K$ contient la valeur $39$. Interpréter, dans le contexte étudié, cette valeur 39 ainsi que le contenu de la variable $U$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.} \medskip En France, les agents de la fonction publique d'état (FPE) se répartissent en trois catégories (\emph{Source : INSEE, 2010}) : \medskip \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]51\,\% des agents sont de catégorie A ; \item[$\bullet~~$]24\,\% des agents sont de catégorie B ; \item[$\bullet~~$]25\,\% des agents sont de catégorie C. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Selon le rapport annuel sur l'état de la fonction publique : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]60\,\% des agents de catégorie A sont des femmes ; \item[$\bullet~~$]42\,\% des agents de catégorie B sont des femmes ; \item[$\bullet~~$]51\,\% des agents de catégorie C sont des femmes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit de façon équiprobable le dossier d'un agent parmi ceux de la FPE. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{description} \item[ ] $A$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie A \fg \item[ ] $B$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie B \fg \item[ ] $C$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie C \fg \item[ ] $F$ : \og le dossier est celui d'un agent qui est une femme\fg \end{description} \setlength\parindent{0mm} Pour tout évènement $G$, on note $p(G)$ sa probabilité et $\overline{G}$ son évènement contraire. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre pondéré traduisant la situation, donné en annexe, à rendre avec la copie.\index{arbre} \item Définir par une phrase, dans le contexte étudié, l'évènement $A \cap F$, puis donner sa probabilité. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$, arrondie au centième, est égale à $0,53$.\index{probabilité} \item Sachant que le dossier choisi est celui d'une femme, quelle est la probabilité qu'elle fasse partie de la catégorie A ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip Au cours du mois d'août 2017, un parc de loisirs a vendu \np{16000} billets d'entrée au prix unique de $50$~euros. On définit le chiffre d'affaires comme le produit du prix du billet d'entrée par le nombre de billets vendus. Ainsi, le chiffre d'affaires du mois d'août 2017 s'élève à \np{800000}~euros. Suite à une étude de marché, on fait l'hypothèse suivante: une diminution de $x\,\%$ du prix du billet d'entrée par rapport à sa valeur au mois d'août 2017 ($50$ euros) entraîne une augmentation de $(2x)\,\%$ du nombre d'entrées par rapport à sa valeur au mois d'août 2017 (\np{16000}). L'objectif de l'exercice est de calculer le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires.\index{pourcentage} \bigskip \textbf{Partie A : étude d'un exemple} \medskip Pour le mois d'août 2018, on envisage de diminuer le prix du billet d'entrée de 10\,\% par rapport à sa valeur en août 2017. \medskip \begin{enumerate} \item Quel serait alors le prix du billet d'entrée en août 2018? \item Quel serait alors le nombre d'entrées en août 2018? \item Vérifier que le chiffre d'affaires du mois d'août 2018 serait alors de 864 000 €. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : utilisation d'un tableur} \medskip On se propose d'étudier l'évolution du chiffre d'affaires en fonction du taux de diminution du prix du billet d'entrée par rapport à sa valeur en août 2017. Ce taux, exprimé en pourcentage, apparaît dans la première ligne du tableau donné ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul.\index{pourcentage}\index{taux} Toutes les lignes du tableau sont au format \emph{Nombre}.\index{tableur} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline & A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline 1&Taux de diminution (en pourcentage) :& 0 &10 &20 &30 &40 &50 &60 &70\\ \hline 2&Prix du billet d'entrée (en euro) &50 &45 &40 &35 &30 &25 &20 &15\\ \hline 3 &Nombre d'entrées &\np{16000} &\np{19200} &\np{22400} &\np{25600} &\np{28800} &\np{32000} &\np{35200} &\np{38400}\\ \hline 4 &Chiffre d'affaires (en euro)&\np{800000} &\np{864000} &\np{896000} &\np{896000} &\np{864000} &\np{800000} &\np{704000} &\np{576000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 pour obtenir, par recopie vers la droite, les chiffres d'affaires de la plage C4:\:I4 ?\index{tableur} \item Dans un premier temps, la cellule C2 a été complétée par la formule suivante: $=\text{B}2*(1-\text{C}1/100)$. Expliquer pourquoi cette formule ne permet pas d'obtenir, par recopie vers la droite, les résultats de la plage D2:\:I2. Comment peut-on la modifier pour obtenir les valeurs affichées ? \item Compte tenu des résultats donnés par le tableur, conjecturer des pourcentages de diminution du prix du billet d'entrée qui maximisent le chiffre d'affaires.\index{pourcentage} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100], par: \[f(x) = - 160x^2 + \np{8000}x + \np{800000}.\]\index{fonction polynôme} \begin{enumerate} \item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur [0~;~100].\index{variations} \item Justifier que le prix du billet d'entrée, après une diminution de $x\,\%$ par rapport à sa valeur en août 2017, est égal à $50 - 0,5x$. \item Déterminer le nombre d'entrées après une augmentation de $(2x)\,\%$ par rapport au nombre d'entrées en août 2017. \item Expliquer pourquoi la fonction $f$ modélise le chiffre d'affaires du parc de loisirs. \item Déduire de ce qui précède le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires.\index{pourcentage} \item Que vaut ce chiffre d'affaires maximal? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 2} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(15,2.2) \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,2)} \multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](0,\n)(15,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(15,2.2) \uput[r](0,2.175){Production mondiale (en milliard de TEP)} \uput[u](13.5,0){Rang de l'année} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](1,1.44)(2,1.47)(3,1.5)(4,1.53)(5,1.59)(6,1.62)(7,1.68)(8,1.74)(9,1.78)(10,1.82) \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 3} \bigskip \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\taput{\ldots}} {\TR{$F$~} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$~} \tbput{\ldots}} \pstree{\TR{$B$~}\taput{\ldots}} {\TR{$F$~} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$~} \tbput{\ldots}} \pstree{\TR{$C$~}\tbput{\ldots}} {\TR{$F$~} \taput{\ldots} \TR{$\overline{F}$~} \tbput{\ldots}} } \end{center} %%%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion 6 septembre 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{27 novembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)} \vspace{0.5cm} \emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}}\index{ACM} \smallskip \emph{Pour chaque question \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte.} Indiquer sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'enlève pas de point.} Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution des ventes d'insecticides en France entre 2011 et 2015. La colonne C a été ajoutée afin de calculer les taux d'évolution annuels des ventes d'insecticides. (On ne demande pas de compléter ce tableau). \smallskip \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{aliceblue}}c|m{1.25cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \rowcolor{aliceblue} &\centering A &B & C\\\hline \rowcolor{aliceblue}1 & Années & Ventes d'insecticides & Taux d'évolution annuel des ventes\\ \rowcolor{aliceblue} & &(en tonnes)& d'insecticides\\\hline 2 & 2011 & 2156,069 &\\\hline 3 &2012 & 2331,791 &\\\hline 4 &2013 & 2246,948 &\\\hline 5 & 2014 & 2613,725 &\\\hline 6 &2015 & 2469,030 &\\\hline \multicolumn{4}{r}{\emph{Source: Base nationale des données de vente, MEDDE}}\\ \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution global des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à 0,01\,\% est:\index{taux} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $12,68\,\%$&\textbf{b.~~} $14,52\,\%$&\textbf{c.~~} $-12,68\,\%$&\textbf{d.~~} $1,15\,\%$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Le taux d'évolution annuel moyen des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à 0,01\,\% est de :\index{taux} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $2,75\,\%$&\textbf{b.~~} $3,45\,\%$&\textbf{c.~~} $3,63\,\%$&\textbf{d.~~} $\np{2.90}\,\%$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C3 afin d'obtenir, par recopie vers le bas, les taux d'évolution d'une année à l'autre ?\index{taux}\index{tableur} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~}{\footnotesize=(B3$-$B2)/B2} &\textbf{b.~~}{\footnotesize=(B3$-$B\$2)/B\$2}&\textbf{c.~~}{\footnotesize=(B3$-$B2)/B3}&\textbf{d.~~}{\footnotesize=100*(B3$-$B2)/B3} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Dans cette question, on fait l'hypothèse que les ventes d'insecticides diminuent de 2\,\% par an à partir de l'année 2015. Sous cette hypothèse on peut estimer que la quantité d'insecticides vendue en 2020 (en tonnes, arrondie à 0,001) sera: \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} $\np{2277,355}$&\textbf{b.~~}$\np{2222,127}$&\textbf{c.~~} $\np{2419,649}$&\textbf{d.~~} $\np{2231,808}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (5 points)} \vspace{0.5cm} Une entreprise française commercialise des pneus. La production mensuelle maximale est de \np{30 000} pneus. On suppose que la totalité de la production mensuelle est vendue chaque mois. \vspace{2mm} Les charges de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pneus vendus sont données par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0; 30] par $C(x) = 4x^2 + 4x + 574$.\index{fonction polynôme} \vspace{2mm} L'entreprise fixe le prix de vente d'un pneu à 130 euros. \vspace{2mm} Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de pneus est donné par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~; 30] par $R(x) = 130x$. $\mathcal{R}$ et $\mathcal{C}$ désignent leurs courbes représentatives. Les deux courbes sont représentées sur le graphique donné ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.3cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-2,-1000)(35,5500) \multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,5000)} \multido{\n=0+500}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(30,\n) } \uput[dr](31.3,0){$x$} \uput[ul](0,5000){$y$} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(32,5200) \psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{30}{x 1 add x 4 mul mul 574 add} \psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{0}{30}{x 130 mul} \uput[u](27,3700){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](27,3500){\cyan $\mathcal{R}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer, par la méthode de votre choix (calcul ou graphique) : \begin{enumerate} \item les charges de production de \np{12 000} pneus. \item le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d'affaires \np{2 500 000}~euros. \end{enumerate} \item En vendant \np{4000} pneus, l'entreprise est-elle bénéficiaire ? Justifier votre réponse. \item Le bénéfice réalisé pour $x$ milliers de pneus vendus est donné par la fonction $B$, définie pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0; 30], par: \[B(x) = -4x^2 + 126x - 574.\]\index{fonction polynôme} \begin{enumerate} \item On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.\index{dérivée} \item Déterminer le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [0; 30]. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 30]. \item Pour quel nombre de pneus produits le bénéfice est-il maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)} \vspace{0.5cm} {\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante}. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le parc informatique d'une entreprise est constitué de \np{2000} ordinateurs. Parmi ceux-ci, 500 sont considérés comme neufs car ils ont moins d'un an. Les autres sont considérés comme anciens. Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu'un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à 0,05. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu'il en ait un est égale à 0,4. On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique. On considère les évènements suivants: \begin{itemize} \item [$\bullet$] $N$ : \og L'ordinateur est neuf \fg, \item [$\bullet$] $S$ : \og L'ordinateur a un problème de sécurité \fg. \end{itemize} \begin{minipage}[]{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \item Justifier que $p(N) = 0,25$. \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.\index{arbre} \item Décrire par une phrase l'événement $N \cap S$ puis calculer sa probabilité.\index{probabilité} \item Montrer que $p(S) = \np{0,3125}$. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[]{0.3\linewidth} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$N$~}\taput{$\dots$}} { \TR{$S$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$} } \pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{$\dots$}} {\TR{$S$}\taput{$\dots$} \TR{$\overline{S}$}\tbput{$\dots$} } } \end{minipage} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse dans cette partie au temps nécessaire pour que le service informatique de l'entreprise intervienne afin de réparer un ordinateur défaillant. On note $T$ la variable aléatoire qui à chaque défaillance d'ordinateur associe le temps, en heures, nécessaire avant l'intervention du service informatique. On admet que $T $suit une loi normale d'espérance $\mu = 20${} et d'écart type $\sigma = 4$.\index{loi normale} \emph{Les réponses seront arrondies au centième.} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer $p(12 \leqslant T \leqslant 24)$ et interpréter le résultat. \item Déterminer la probabilité d'attendre plus d'une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le directeur du personnel affirme que 85\,\% des salariés sont satisfaits de la maintenance informatique au sein de l'entreprise. Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard $120$ employés. Parmi eux, $94$ répondent qu'ils sont satisfaits du service de maintenance informatique. Que peut-on penser de l'affirmation du directeur du personnel ?\index{intervalle de fluctuation} \vspace{0,7cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)} \vspace{0.5cm} Le tableau ci-dessous indique le prix moyen en euros des terres en France métropolitaine (hors Corse) entre 2010 et 2016. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Années &2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015& 2016\\\hline Rang de l'année: $x_i$& 1 &2& 3& 4 &5 &6 &7\\\hline Prix d'un hectare en euros: $y_i$& \np{5070}& \np{5360} &\np{5410}& \np{5750}& \np{5910}&\np{6010} &\np{6030}\\\hline \multicolumn{8}{r}{\emph{Source : Agreste.}}\\ \end{tabularx} \smallskip On se propose d'estimer, en utilisant deux modèles différents, l'année à partir de laquelle le prix d'un hectare de terre dépassera pour la première fois \np{7000} \euro. \bigskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A~}-- Premier modèle. \medskip Le nuage de points de coordonnées $(x_i, y_i)$ est représenté sur le graphique ci-dessous. On a également tracé la droite $D$ d'ajustement affine de ce nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés. \begin{center} \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0045cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-80)(14,2550) \multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-50)(\n,2200)} \multido{\n=0+100}{23}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(14,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=5000,Dy=500,]{->}(0,0)(14.6,2250) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](1,70)(2,360)(3,410)(4,750)(5,910)(6,1010)(7,1030) \def\Func{x 167.1429 mul 20 sub} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{13}{\Func} \uput[u](-1.5,1400){\rotatebox{90}{\footnotesize Prix d'un hectare en euros $y_i$}} \uput[d](28,- 30){\footnotesize Rang de l'année $x_i$} % % \uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}} % \psset{arrowscale=2} % \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 24.07 def \Func)(!24.07 /x 24.07 def \Func)(24.07,0) % \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite $D$. Les coefficients seront arrondis à \np{0.1} si nécessaire. \item On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en 2022. \begin{enumerate} \item Estimer le prix d'un hectare de terre en 2021. \item À partir de quelle année le prix d'un hectare de terre dépassera-t-il \np{7000}~\euro ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B~}-- Second modèle. \medskip On suppose dans cette partie qu'à partir de l'année 2016, chaque année, le prix d'un hectare de terre augmentera de 3\,\%. On note $U_n$ le prix en euros d'un hectare de terre pour l'année $2016 + n$. Ainsi $U_0 = \np{6030}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $U_1 = \np{6210,9}$. \item Justifier que $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.\index{suite géométrique} \item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et calculer le prix d'un hectare en 2021.\index{suite} \item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabular}[]{|l|} \hline $U \leftarrow \np{6030}$\\ $N \leftarrow 0$\\ Tant que $U < \np{7000}$\\ \hspace{2em}$U \leftarrow U \times 1,03$\\ \hspace{2em}$N \leftarrow N+ 1$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabular} \end{center} On admet que la valeur prise par la variable $N$ en fin d'exécution de l'algorithme est 6. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018 \newpage %%%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2019 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie mars 2019~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Un fournisseur fabrique en grande quantité deux modèles de paires de chaussures : le modèle Sport et le modèle Ville. On sait que : \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 60\,\% de la production correspond au modèle Sport et le reste de la production au modèle Ville. \item[$\bullet~~$] 1\,\% des modèles Sport présentent un défaut et 3\,\% des modèles Ville présentent un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On choisit au hasard une paire de chaussures produite par cette entreprise et on note:\index{probabilité} \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og la paire choisie est un modèle Sport \fg, \item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement : \og la paire choisie est un modèle Ville \fg, \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement : \og la paire choisie présente un défaut \fg, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.\index{ ebre} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$S$~~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$V$~}\taput{\ldots}} {\TR{$D$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{D}$} \tbput{\ldots} } } \end{center} \item Calculer $P(V \cap D)$. \item Montrer que la probabilité de choisir un modèle avec un défaut est égale à $0,018$. \item Calculer la probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu'il présente un défaut. On arrondira les réponses au millième. \item Une étude statistique a montré que la pointure de chaussures pour les femmes en France peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale dont la courbe de densité est représentée ci-dessous.\index{loi normale} \psset{xunit=0.45cm,yunit=20cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,0)(22,0.27) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=28,Dx=50](0,0)(22,0.001) \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{0}{22} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{14}{27} \psline(25,0)(14,0)(14,0.038) } \rput(18,0.06){$P(X > 42) \approx 0,023$} \multido{\n=0+1,\na=28+1}{23}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \na}} \multido{\n=0+1}{23}{\psline(\n,-0.0005)(\n,0.0005)} \end{pspicture} \end{center} \medskip Déterminer à l'aide du graphique: \begin{enumerate} \item la pointure moyenne, notée $\mu$, des femmes françaises. \item la probabilité que la pointure d'une femme française soit comprise entre $36$ et $42$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Une entreprise produit et vend du safran, une épice de grande qualité. On note $x$ le nombre de kilogrammes que produit et vend l'entreprise en un an, $x$ étant compris entre 0 et 10. Le montant des charges correspondant à la production de $x$ kilogrammes de safran, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~ 10] par : \[C(x) = 2x^3 - 23x^2 + 90x + 10.\]\index{fonction polynôme} On a tracé ci-dessous la représentation graphique de cette fonction $C$ dans un repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-0.5,-50)(10.5,750) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,700)} \multido{\n=0+100}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(10.5,750) \uput[d](8.5,-50){Nombre de kilogrammes} \rput{90}(-1,500){Charges (en milliers d'euros)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 2 mul x dup mul 23 mul sub 90 x mul add 10 add} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A - Étude des charges} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le montant des charges lorsque l'entreprise produit 5 kilogrammes de safran. \item Déterminer, par lecture graphique, le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à \np{200000}~euros. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude du bénéfice} \medskip L'entreprise vend la totalité de sa production. Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de 50 milliers d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le chiffre d'affaires $R(x)$, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran. \item Vérifier que le bénéfice $B(x)$, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est: $B(x) = - 2x^3 + 23x^2 - 40x - 10$. \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction B. \begin{enumerate} \item Calculer $B'(x)$. \item Résoudre dans l'intervalle [0~;~10], l'équation $B'(x) = 0$. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10].\index{tableau de variations} \item Quelle quantité de safran l'entreprise doit-elle vendre pour réaliser le bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d'euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip Le tableau suivant donne la part (en pourcentage) des voitures diesel dans les ventes de voitures neuves, en France, entre 2012 et 2017. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Part des voitures diesel $y_i$ (en \:\%) &73 &67 &64 &58 &52 &48\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : Comité de Constructeurs Français d'Automobile}} \end{tabularx} \end{center} Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(6.25,34) \multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,34)} \multido{\n=0.0+3}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40,Dy=3]{->}(0,0)(0,0)(6.25,34) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40,Dy=3](0,0)(0,0)(6.25,34) \uput[d](5.5,-1.3){Rang de l'année} \rput{90}(-0.75,27){Part des voitures diesel} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,33)(1,27)(2,24)(3,18)(4,12)(5,8) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés.\index{droite d'ajustement} On arrondira les coefficients au dixième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation : $y = - 5x + 73$. On suppose que la tendance observée se poursuivra jusqu'en 2022. \begin{enumerate} \item Selon ce modèle, quelle sera la part des voitures diesel en 2018 ? \item À partir de quelle année peut-on estimer que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à 25\,\% ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre de smartphones vendus en France (en millions d'unités) de 2011 à 2015. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Nombre de smartphones vendus (en millions) &11,4 & &15,8 &18,2 &20,5\\ \hline Taux d'évolution (arrondi à 0,01\,\%) &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&18,42\,\% &17,04\,\% & &12,64\,\% \\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source: GFK}} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Les ventes de smartphones ont progressé de 18,42\,\% de 2011 à 2012. Calculer le nombre de smartphones vendus en France en 2012.\index{taux} \emph{On arrondira la réponse à $0,1$ million}. \item Déterminer le taux d'évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 arrondi à 0,01\,\%. \item Montrer que le taux d'évolution global des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d'environ 79,82\,\%. \item Calculer le taux d'évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015. \emph{On arrondira la réponse à l'unité}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère qu'à partir de l'année 2015, le nombre de smartphones vendus en France va augmenter chaque année de 16\,\%. On note $u_n$ le nombre de smartphones (en millions) vendus en France en $2015 + n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0 = 20,5$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier et donner sa raison.\index{suite géométrique} \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire une estimation du nombre de smartphones vendus en France en 2020. \emph{On arrondira la réponse à $0,1$ million}. \end{enumerate} %%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie STMG mars 2019 \printindex \end{document}