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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2017}}
\label{Metrosep}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[5pt] 7 septembre 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un comité d’entreprise décide de construire une structure supplémentaire pour améliorer le
bien-être des salariés. Il hésite entre deux possibilités :
\begin{itemize}
\item installer une médiathèque ;
\item faire construire une salle de sport.
\end{itemize}

Dans cette entreprise, 55\,\% des salariés ont 40 ans ou plus.

Le comité d’entreprise mène une enquête auprès des salariés afin de connaître leur préférence
quant à la création d’une telle structure. Parmi les salariés ayant clairement exprimé leur avis,
60\,\% des 40 ans ou plus sont davantage intéressés par la création d’une médiathèque alors
que 70\,\% des moins de 40 ans sont davantage intéressés par la construction d’une salle de
sport.

Pour tout évènement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\overline{A}$ son évènement contraire, et, pour tout
évènement $B$ de probabilité non nulle, $p_B(A)$) la probabilité de l’évènement $A$ sachant que $B$ est
réalisé.\index{probabilité}


On note :\begin{itemize}
\item $Q$ l’évènement \og le salarié a plus de 40 ans\fg
\item $S$ l’évènement \og le salarié préfère une salle de sport\fg
\item $M$ l’évènement \og le salarié préfère une médiathèque\fg
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.\index{arbre}

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{	\pstree{\TR{$Q$~}}
		{
		\TR{$S$}
		\TR{$M$}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{Q}$~}}
	{
		\TR{$S$}
		\TR{$M$}
	}
	
}
\end{center}

\medskip

\item Décrire par une phrase, dans le contexte de l’exercice, l’évènement $Q\cap S$ et calculer sa
probabilité.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p(S) = 0,535$.
		\item Quel choix semble plus pertinent pour le comité d’entreprise ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié favorable à la construction
 d’une salle de sport ait plus de quarante ans ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Le comité d’entreprise a finalement décidé de construire une salle de sport. On désigne par $X$ la
variable aléatoire correspondant à la durée hebdomadaire, en minutes, de la fréquentation de la
salle de sport par un salarié de l’entreprise.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 20.\index{loi normale}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’un salarié de l’entreprise pratique
entre 60 minutes et 140 minutes de sport par semaine ?
\item Pour rester en bonne santé, il est recommandé de pratiquer au moins 140 minutes de
sport par semaine. Quel est le pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, de salariés de l’entreprise
qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation ?\index{pourcentage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le président du comité déclare que 80\,\% des salariés sont satisfaits de la qualité des nouvelles
installations sportives. Alix mène une enquête auprès de 300 de ses collègues choisis au
hasard. Parmi eux, 228 se déclarent satisfaits des installations sportives.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer un intervalle de fluctuation, au seuil de 95\,\%, de la proportion de personnes
satisfaites dans cet échantillon. Arrondir les bornes au centième.\index{intervalle de fluctuation}
\item Les résultats de l’enquête menée par Alix peuvent-ils remettre en question les propos du
président ?
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points} 

\vspace{0.25cm}


Le tableau ci-dessous donne la proportion d’électricité (exprimée en pourcentage et arrondie à
0,1\,\%) provenant des énergies renouvelables par rapport à la consommation totale d’électricité,
par an, entre 2005 et 2014, en Belgique et en France.

\medskip
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2005	&2006	&2007	&2008	&2009 	&2010	&2011	&2012	&2013	&2014\\\hline
Rang de l’année : $x_i$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9\\\hline

Pourcentage d’électricité
provenant de
sources
renouvelables en
Belgique : $y_i$		& 2,4	& 3,1	& 3,6	& 4,6	&6,2 	&7,1	& 9,1	& 11,3	& 12,4	& 13,4\\\hline
Pourcentage
d’électricité
provenant de
sources
renouvelables en
France : $z_i$			& 13,7 	&14,1	& 14,3	& 14,4	& 15,1	& 14,8	& 16,3	& 16,4 	&16,8	& 18,3\\\hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source Eurostat}}
\end{tabularx}
}
\bigskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique}


\begin{enumerate}
\item  Construire dans le repère donné en annexe 1 le nuage de points de coordonnées
$\left(x_i~,~y_i\right)$ correspondant aux données concernant la Belgique.
\item Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$
en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au
millième.\index{droite d'ajustement}
\item Pour les deux questions suivantes, on prendra comme droite d’ajustement affine la
droite $D$ d’équation $y = 1,3x + 1,4$.
	\begin{enumerate}
		\item  Tracer cette droite dans le repère donné en annexe 1.
		\item À l’aide de cet ajustement, estimer la part d’électricité issue des énergies
renouvelables en 2022. On arrondira le résultat à 0,1\,\%.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année la part d’électricité issue des énergies renouvelables
dépassera-t-elle 25\,\% en Belgique ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies
renouvelables en France entre 2010 et 2014. On donnera la valeur arrondie à 0,1\,\%.\index{taux}
\item En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies
renouvelables en France entre 2010 et 2014. Donner la valeur arrondie à 0,1\,\% et
interpréter le résultat trouvé.
\item À la fin de l’année 2014, un journaliste déclare : \og Si l’on augmente la part d’électricité
issue des énergies renouvelables de 5,4\,\% par an, alors plus d’un quart de l’électricité
française sera issue des énergies renouvelables en 2022\fg. Cette affirmation est-elle
exacte ?\index{pourcentage}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\vspace{0.25cm}


Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.

\textbf{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.}

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

\medskip

Une entreprise fabrique et vend des brosses à dents connectées. On modélise le bénéfice en
euro pour $x$ centaines de brosses à dents fabriquées et vendues par semaine par la fonction $B$
définie sur [0~;~9] par : 

\[B(x) = 40 x^3 - 561 x^2 + \np{1 917}x - 200.\]\index{fonction polynôme}

La courbe représentative du bénéfice hebdomadaire est donnée en annexe 2.

\begin{description}
\item[Affirmation 1 :] Fabriquer et vendre $600$ brosses à dents connectées par semaine est rentable
pour l’entreprise.
\item[Affirmation 2 :] La fonction $B'$ , dérivée de la fonction B, est définie pour tout $x\in [0~;~9]$ par

$B'(x)= 120 x^2 -\np{1 122} x+ \np{1 917}$.\index{dérivée}
\item[Affirmation 3 :] La fonction $B'$, dérivée de la fonction B, s’annule trois fois dans l’intervalle
[0~;~9].
\item[Affirmation 4 :] Le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour $224$ brosses à dents
fabriquées et vendues.
\end{description}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\vspace{0.25cm}

En raison de la surpêche, un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillaud
diminuer considérablement aux abords de ses côtes. En 2015, le stock de cabillaud de la région
concernée était estimé à \np{5000} tonnes.

Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition
totale des côtes des communes littorales concernées.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors
pêche, le stock reste constant à \np{5000} tonnes.

On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces
côtes l’année $2015 + n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0 = 600$.\index{suite}

Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de 30
tonnes.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison et son premier terme.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $u_{10}$. Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.
\end{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ et
la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année 2015.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle formule, destinée à être copiée vers le bas, faut-il saisir en B3 afin d’obtenir les
termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
		\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 afin d’obtenir, par recopie vers le bas,
la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 ?
	\end{enumerate}
\vspace{0.25cm}
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}&A	& B 	&C\\\hline
1					&$n$&Quota annuel (en tonne) : $u_n$&Quantité totale de cabillaud  pêchée depuis 2015 (en tonne)\\ \hline
2					&0 	&600	&600\\ \hline
3					&1	&570	&\np{1170}\\\hline
4					&2	&540 	&\np{1710}\\\hline
5					&3 	&510 	&\np{2220}\\\hline
6 					&4	&480	&\np{2700}\\\hline
7 					&5	&450	&\np{3150}\\\hline
8					&6	&		&\\\hline
9 					&7	&		&\\\hline
10					&8	&		&\\\hline
11					&9	&		&\\\hline
12 					&10	&		&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
\item \begin{enumerate}
\item Calculer la quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025.
\item La réglementation adoptée permet-elle d’éviter à long terme la disparition du cabillaud
des côtes des communes littorales concernées ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le
stock de cabillaud augmente de 12\,\% chaque année.

On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à 500 tonnes par an.

On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année $2015 +n$  avant que ne démarre la
saison de pêche.

On rappelle que $v_0 = \np{5 000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$.
\item On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :

\[v_{n+1} = 1,12 \times v_n - 500.\]\index{suite}

On donne l’algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l}
\textbf{Variables}\\
$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
$v$ est un réel\\
\textbf{Traitement}\\
Saisir $n$\\
$v$ prend la valeur \np{5 000}\\
Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
$v$ prend la valeur $1,12 \times v-500$\\
Fin Pour\\
Afficher $v$\\
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau ci-dessous donne les valeurs de $v$ obtenues à l’aide de l’algorithme et
arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de $n$ comprise entre 2 et 7.

Par exemple, pour $n = 2$, l’algorithme affiche \np{5 212}.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}}
\hline
Valeur de $n$		& 2			& 3			& 4			& 5			& 6			&7\\\hline
Valeur de $v$
(arrondie à l’unité)& \np{5212} &\np{5337}	&\np{5478}	&\np{5635}	&\np{5812}	&\np{6009}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Donner la valeur affichée par l’algorithme, arrondie à l’unité, lorsque l’utilisateur
saisit la valeur $n = 9$.
		\item Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l’algorithme pour $n=9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage 

\begin{center}
\textbf{\large Annexes à rendre avec la copie} 
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\textbf{\textsc{Annexe}1}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.625cm,yunit=0.25cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.2,-3)(19,35)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,32.3)}
\multido{\n=0+1}{33}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(18.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=2,]{->}(0,0)(18.8,32.2)
\uput[r](0,34){\footnotesize Pourcentage d’électricité provenant}
\uput[r](0,32.5){\footnotesize de sources renouvelables en Belgique}
\uput[d](17,- 1.3){\footnotesize Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\textbf{\textsc{Annexe}2}

\medskip

\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,-700)(9.25,2400)
\multido{\n=0.25+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-650)(\n,1950)}
\multido{\n=-600+100}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0.00,\n)(9.25,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Dy=200]{->}(0,0)(0,-650)(9.3,1950)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{9}{x 40 mul 561 sub x mul 1917 add x mul 200 sub}
\uput[ur](-0.6,1975){\footnotesize Bénéfice hebdomadaire (en euro)}
\uput[u](8.5,0){\footnotesize Quantité (en centaine)}
\end{pspicture}
\end{document}