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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2018}}
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\begin{center}{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration~\decofourright\\[5pt] Nouvelle Calédonie  27 novembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}  

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

Léa et Jonathan étudient l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.) de leur hôtel sur les cinq
dernières années. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant:

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{4.25cm}|*{5}{c|}}\hline
Année& 2013& 2014& 2015& 2016 &2017\\\hline
Rang de l'année: $x_i$ & 1& 2& 3& 4& 5\\\hline
C.A. : $y_i$( en milliers d'euros)& 92& 99& 103& 107& 112\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

Léa décide de réaliser une estimation du chiffre d'affaires à l'aide d'un ajustement affine.
Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ est représenté dans le repère
donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner à l'aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement
affine de ce nuage de points obtenue par la méthode des moindres carrés.
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 5x + 88$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $D$ dans le repère fourni en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
\item Déterminer graphiquement une estimation du chiffre d'affaires en 2021.
\item À l'aide de cet ajustement, calculer une estimation du chiffre d'affaires en 2024.
\end{enumerate}
\item Jonathan estime qu'il faudra embaucher du personnel quand le chiffre d'affaires
dépassera les 140 milliers d'euros. En utilisant l'ajustement affine, déterminer en
quelle année cette embauche pourra avoir lieu.
\end{enumerate}

\medskip

Partie B

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le taux d'évolution global, arrondi à 0,01 \,\%  du chiffre d'affaires entre
2013 et 2017.
\item Justifier que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires entre 2013 et 2017
est de 5,04\,\% arrondi à 0,01 \,\%.
\item Léa et Jonathan, en apprenant que la France a obtenu l'organisation des Jeux
Olympiques de 2024, estiment que la modélisation effectuée dans la partie A est trop
prudente.

On suppose à présent que le chiffre d'affaires augmente de 5\,\% par an à partir de
2017.
Suivant ce modèle, on note $u_n$ le chiffre d'affaires en milliers d'euros pour l'année
$2017 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_0 = 112$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_1$
\item Préciser la nature de la suite $(u_n)$ ainsi que sa raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer le chiffre d'affaires prévu en 2024.

\emph{On arrondira la réponse à $0,1$ millier d'euros.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

 \vspace{0.25cm}

Une enquête a été réalisée dans une entreprise sur les habitudes alimentaires des
salariés. Dans cette entreprise, on distingue trois types de salariés: des agents de
maîtrise, des ouvriers et des cadres.

Parmi les résultats obtenus, on peut remarquer que:

\begin{itemize}
\item  25\,\% des salariés interrogés sont des agents de maîtrise et parmi ceux-ci 80\,\%
déjeunent au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise.
\item L'entreprise compte 65\,\% d'ouvriers et parmi ceux-ci 88\,\% déjeunent au moins
une fois par semaine au restaurant d'entreprise.
\item Parmi les cadres, 50\,\% déjeunent au moins une fois par semaine au restaurant
d'entreprise.
\end{itemize}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

On choisit au hasard un salarié de l'entreprise. On considère les évènements suivants:

\medskip

\begin{itemize}
\item $O$ : \og Le salarié interrogé est un ouvrier \fg.
\item $M$ : \og Le salarié interrogé est un agent de maîtrise \fg.
\item $C$ : \og Le salarié interrogé est un cadre \fg.
\item $R$ : \og Le salarié interrogé déjeune au moins une fois par semaine au restaurant
d'entreprise \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre de probabilité donné en
\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie.}

\item Décrire par une phrase l'événement $O \cap R$ puis calculer $P(O \cap R)$.
\item Justifier que $P(R) = 0,822$.
\item Calculer $P_{R} (O)$ et interpréter cette probabilité.

\emph{On arrondira au millième}.
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}

Le nombre de salariés qui mangent au restaurant d'entreprise varie chaque jour.

Le nombre de salariés déjeunant au restaurant d'entreprise est modélisé par une
variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance \textmu = 410 et d'écart-type \textsigma = 10.

\emph{On arrondira les résultats au centième.}

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 430)$.
\item On ne peut pas préparer plus de 430 repas. Déterminer la probabilité qu'il n'y ait pas
suffisamment de repas.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\emph{Pour chaque question, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte}. Indiquer
sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une
question sans réponse n'enlève pas de point.}

\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle
[0 ; 45]. La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 5.

\medskip

\textbf{\large Ce graphique sera utilisé uniquement pour les questions 1 et 2.}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.0005cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-3,-500)(55,15500)
 \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,14000)}
% \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
 \multido{\n=0+1000}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(50,\n) }
%\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=1000]{->}(0,0)(-2.5,-500)(52,14800)
 \psplot[linewidth=1.15pt,plotpoints=5000]{0.2}{40}{x 375  mul  875 sub}
%\pscurve[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=5000](0,0)(5,1000)(10,3500)(20,10000)(23,12000)(26.5,13000)(30,13500)(35,12250)(40,8000)(45,0)
 \psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.2}{40}{x dup  mul  45 mul x 3 exp sub} 
 \uput[u](40,9000){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](40,13000){$T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'image de $10$ par la fonction $f$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} $\np{2875}$&\textbf{c.~~}$\np{3500}$& \textbf{d.~~} $\np{13500}$.\\\hline
\end{tabularx}

\item $f' (5)$ est égal à :


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~} $-\np{1000}$ &\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~}$375$& \textbf{d.~~} $\np{1 000}$.\\
\hline
\end{tabularx}

\item La solution de l'équation $3^x = 5$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~} $\frac{5}{3}$&\textbf{b.~~} $\log(5) + \log(3)$&\textbf{c.~~} $\log \left(\frac{5}{3}\right)$&\textbf{d.~~}  $\frac{\log 5}{\log 3}$\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:
\[B(X) = 0,5x^3 - 36x^2 + 648x + 738.\]
La fonction dérivée de $g$ est définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
\textbf{a.~~} $g'(x) = 1,5x^2 - 72x +648$ &\textbf{b.~~} $ g'(x) = 3x^2 - 2x + 1$\\\hline
\textbf{c.~~} $g'(x) = 1,5x^2 - 72x + \np{1386}$& \textbf{d.~~} $g'(x) = 0,5 x^2 - 36x + 648$.\\\hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Annexe 1: \textsc{Exercice 1}}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-5)(12,65)
  \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,60)}
 \multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(10,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=80,Dy=5,]{->}(0,0)(10.3,64)
% \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
 \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](1,12)(2,19)(3,23)(4,27)(5,32)
 \uput[ul](-1,40){\rotatebox{90}{\footnotesize Chiffre d'affaires (en milliers d'euros)}}
 \uput[u](9,- 4.57){\footnotesize Rang de l'année} 
%\uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}}
%\psset{arrowscale=2}
%\def\Func{x 54 mul 200 add}
% \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 24.07 def \Func)(!24.07 /x 24.07 def \Func)(24.07,0)
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{27}{\Func}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}



\textbf{ Annexe 2 : \textsc{ Exercice 2}}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.85,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$O$~}\taput{$\np{0.65}$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\np{0.88}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$M$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$R$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\dots$}
	}
}

\end{center}








\end{document}