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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. -- A.C.C.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{ACA-ACC  juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\ juin 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

En 1997, \np{2500} personnes ont acheté, chacune, un télévision et certaines d'entre elles ont souscrit en même temps une assurance. Celle-ci couvre la totalité des dépenses liées à  d'éventuelles pannes pouvant survenir dans les trois années suivant la date d'achat.

En 2000, une enquête auprès de tous ces acheteurs fournit les
 résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 125 téléviseurs ont eu exactement une panne ; $52\,\%$ des propriétaires de ces télévisions ont souscrit à l'assurance.
\item[$\bullet~$] 75 téléviseurs ont eu exactement deux pannes ; $48\,\%$ des propriétaires de ces télévisions n'ont pas souscrit à l'assurance.
\item[$\bullet~$] Aucun téléviseur n'a eu plus de deux pannes.
\item[$\bullet~$] Parmi les propriétaires des télévisions qui n'ont eu aucune panne, $40\,\%$ ont souscrit à l'assurance.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que 65 téléviseurs assurés ont eu 
exactement une panne.
		\item Montrer que 920 téléviseurs assurés n'ont eu aucune panne.
		\item Reproduire puis compléter le tableau suivant :

\begin{center} \scriptsize{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
 				&Nombre de télévi-	& Nombre de télévi-		&	Nombre de télévi-  &\\ 
				&seurs ayant subi 	&seurs ayant subi 		&seurs n'ayant subi   &Totaux \\ 
				&une seule panne 	&deux pannes 							&aucune panne 					& \\ \hline
Nombre de 		&  			& 			& 			&\\ 
téléviseurs 	&  			&  			&  			& \\ 
 assurés 		& 			& 			& 			& \\ \hline
Nombre de 		& 			& 			& 			& \\
 téléviseurs 	& 			& 			& 			& \\
 non assurés 	& 			& 			& 			& \\ \hline 
Totaux 			& 125 		&75 		& 			&\np{2500}\\ \hline 
\end{tabularx} }\end{center}

\emph{Toutes les  probabilités demandées dans les questions } 
2 \emph{et} 3 \emph{seront  données sous forme décimale exacte.}
	\end{enumerate}
\item On téléphone, au hasard, à un des \np{2500} propriétaires
 des téléviseurs, sans connaître les réponses fournies lors de l'enquête.
 Soient A et B les évènements suivants : 

A : \og Le propriétaire a souscrit une assurance \fg

B : \og Le poste du propriétaire a subi exactement deux pannes \fg. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité de A, notée $p$(A) ; calculer la probabilité de B, notée $p$(B).
		\item Décrire, à l'aide d'une phrase, l'évènement : A$~\cap~$ B.
 Calculer la probabilité de cet évènement.
		\item Déduire des questions précédentes la probabilité de l'évènement : A~$~\cup~$~B. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le nombre de propriétaires de 
téléviseurs n'ayant pas eu de réparation à payer pendant les
trois années, pour maintenir le poste en état de marche.
		\item Déduire de la question \textbf{1 a} la probabilité $p$(C) de l'évènement C : \og Le propriétaire contacté par téléphone n'a pas eu de réparation à payer pendant les trois années pour maintenir son poste en état de marche \fg.
	\end{enumerate}
\item	On téléphone maintenant au hasard, à l'un des propriétaires parmi ceux ayant souscrit une assurance lors de l'achat de  leur téléviseur. 
	\begin{enumerate} 
		\item Combien de propriétaires sont susceptibles d'être contactés ?
		\item Déterminer, dans ce cas, la probabilité notée $p'$(D), de
 l'événement D : \og Le propriétaire contacté reconnaît que l'assurance souscrite lui a été utile \fg. On donnera le résultat en arrondissant à 0,01 près.
		\item Traduire le résultat précédent par une phrase, en terme de pourcentage. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des machines-outils. Ses capacités de production, sur un an, sont telles qu'elle peut fabriquer entre 20 et 80 machines. Soit $x$ le nombre des machines fabriquées annuellement. Les représentations graphiques, données en annexe, sont celles de deux fonctions $C$ et $B$, définies toutes deux sur l'intervalle [20~;~80]. Pour tout $x$ entier naturel, $C(x)$ est le coût de production unitaire, exprimé en francs, $B(x)$ est le bénéfice, exprimé en francs.
 
\emph{Il est à remarquer que l'axe des abscisses est commun aux
 deux représentations, mais que deux axes des ordonnées sont utilisés,
 l'un de ceux-ci sert à la lecture de} $C(x)$ \emph{et il est gradué en milliers de francs, l'autre sert à la lecture de} $B(x)$ \emph{et il est aussi gradué en milliers de francs.}
 
\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A. Lectures graphiques}

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le coût de production unitaire lorsque
 25 machines sont produites ? lorsque 70~machines sont produites ?
		\item Quelles productions correspondent à un coût unitaire de 
\np{32500}~francs ? 
		\item Quel est le coût unitaire de production minimum ? À quelle production correspond-il ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles productions assurent un bénéfice supérieur
 ou égal à \np{350000}~francs ?
		\item Quelle production assure un bénéfice maximum ? Quel est ce bénéfice ? 
		\item Quel bénéfice est obtenu lorsque la production vise le coût unitaire minimum ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B. Études de fonctions.}

\medskip

En fait la fonction $C$ représentée en annexe est telle que, pour tout $x$ del'intervalle [20~;~80],

\[C(x) = 400x + \dfrac{\np{490000}}{x}.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $C'(x)$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$.

Montrer que $C'(x) = \dfrac{400}{x^2} (x + 35)(x - 35)$.
\item Étudier le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle [20~;~80].
 Construire le tableau de variation de $C$.
\item Comparer les résultats obtenus à la question \textbf{1. c.}
 de la partie A, avec ceux fournis dans le tableau de variation précédent.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le coût total de production de $x$
 machines-outils, appelé $C_t(x)$ et exprimé en francs,
est égal à $400x^2 + \np{490000}$.
		\item Le prix de vente de chaque machine-outil est de \np{40000}~francs.
Montrer que la fonction $B$ représentée en annexe, est en fait définie sur
 l'intervalle [20~;~80] par :

\[B(x) = - 400x^2 + \np{40000}x - \np{490000}. \]

		\item	Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la fonction dérivée de $B$.
Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [20~;~80]. Construire le tableau de variations de $B$.

Comparer les résultats obtenus à la question \textbf{2. b.} de
 la \textbf{partie A}, avec ceux fournis par le tableau de variations précédent.
		\item Le chef d'entreprise décide de produire 50 machines-outils par an. Calculer le bénéfice réalisé par machine produite. Quel serait ce bénéfice par machine, si le chef d'entreprise décidait de produire seulement 35 machines-outils ?

Le bénéfice maximal pour l'entreprise et le bénéfice maximal par machine sont-ils obtenus pour la même production ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
     
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,2cm}
\psset{xunit=1.2mm,yunit=0.001cm}

\begin{pspicture}(0,22000)(90,41000)
\psgrid[xunit=1.2mm,yunit=1cm,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(0,22)(90,41)
\pstextpath[r](1.4ex,1.4ex){\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{20}{80}{490000 x div 400 x mul 
add}}{Représentation de C~~}% Ceci c'est C(x)
\pstextpath[r](1.4ex,1.4ex){\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.25pt](20,25000)(30,29000)(40,31250)(50,32200)
(60,31250)(70,29000)(80,25000)}{Représentation de B~~}% ici B(x)
\uput[d](20,23000){20} \uput[d](30,23000){30} \uput[d](40,23000){40} 
\uput[d](50,23000){50} \uput[d](60,23000){60} \uput[d](70,23000){70}
\uput[d](80,23000){80}
\uput[l](5,25000){25} \uput[l](5,30000){30} \uput[l](5,35000){35} 
\uput[l](5,40000){40}
\uput[l](15,25000){150} \uput[l](15,26000){200} \uput[l](15,28000){300} 
\uput[l](15,30000){400} \uput[l](15,32000){500} 
\uput[l](15,34000){600}
\rput{90}(8,37000){Coût unitaire en miliers de francs}
\rput{90}(18,37000){Bénéfice en miliers de francs}
\rput(55,22000){Nombre de machines-outils produites}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](5,23000)(20,23000)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](15,23000)(15,25000)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](5,23000)(5,25000)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(5,25000)(5,40000)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(15,25000)(15,40000)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(20,23000)(90,23000)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}