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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. -- A.C.C.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
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\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\ septembre 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\vspace{0,25cm}

Dans un magasin de produits informatiques, 50 personnes ont acheté un produit et un seul dans les rayons suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item matériel d'impression ; 
\item logiciel ; 
\item livre.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
De plus :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  20\:\% ont payé en argent liquide, les autres ayant payé par chèque ou carte ; 
\item  la moitié de ceux qui ont payé par chèque ou carte ont acheté un logiciel; 
\item  aucun logiciel n'a été payé en argent liquide; 
\item  le nombre de personnes ayant acheté du matériel d'impression est le même 
que celui des personnes ayant acheté un livre; 
\item  les 3/5 des personnes ayant acheté un livre ont payé en argent liquide.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le pourcentage de personnes ayant payé par chèque ou carte ?
 
En déduire le nombre de ces personnes.
\item Expliquer comment on trouve que 15 personnes ont acheté un livre.
\item Compléter le tableau suivant après l'avoir recopié.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&Matériel d'impression& Logiciel &Livre &Total \\ \hline
Chèque ou carte&&&&  \\ \hline 
Argent liquide&&&&  \\ \hline 
Total &&&&50  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

 \item  Quel est le pourcentage de personnes ayant acheté un logiciel ? 

\emph{Dans les questions $5$. et $6$., les résultats seront donnés d'abord sous forme d'une fraction puis sous forme décimale à un centième près.}

\medskip 
\item  On choisit au hasard une des 50 personnes, on considère les évènements suivants :
 
E : \og la personne a acheté du matériel d'impression \fg{} ;

F : \og la personne a payé en argent liquide \fg{} ;
 
G : \og la personne a acheté du matériel d'impression en le payant en argent liquide \fg.
 
Calculer la probabilité des évènements E, F, G. En déduire celle de E $~\cup~$ F. 
\item  Quelle est la probabilité qu'une personne qui a acheté du matériel d'impression paie par chèque ou carte ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}
 
Une entreprise fabrique des ordinateurs. Lorsqu'elle produit $x$ ordinateurs ($1 \leqslant x \leqslant 10$) on sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] le coût de fabrication comprenant la main d'{\oe}uvre et la matière première est $40x$ (en centaines de francs) ; 
\item[$\bullet~$]  le coût d'étude est $\dfrac{\np{1000}}{x}$ (en centaines de francs) ; 
\item[$\bullet~$]  le coût total est la somme des coûts de fabrication et d'étude.
\end{itemize}
 
Pour étudier le coût total, on introduit les fonctions $g$ et $h$ définies sur l'intervalle $[1~;~10]$ par :

\[g(x) = 40x \quad \text{et} \quad h(x) =  \dfrac{1000}{x}.\]

On note $\mathcal{D}$ la courbe représentative de $g$ et $\mathcal{H}$ celle de $h$. $\mathcal{D}$ et $\mathcal{H}$ sont représentées sur la figure 1.
 
Le bénéfice (ou la perte) réalisé, exprimé en centaines de francs, est représenté par la courbe $\mathcal{B}$ donnée à la figure 2.

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-50)(11,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(-1,-50)(11,1000)
\multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+25}{41}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{10}{40 x mul}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{10}{1000 x div}
\uput[d](7.5,120){$\mathcal{H}$} \uput[u](7.5,300){$\mathcal{D}$}
\rput(5.5,-120){Figure 1} 
\rput(11,100){Nombre}\rput(11,50){d'ordinateurs}
\rput(1.75,1025){En centaines de francs}
\end{pspicture}

\vspace{1,5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-70)(11,60)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,-55)(11,60)
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-55)(\n,55)}
\multido{\n=-55.0+2.5}{45}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=-55+10}{12}{\uput[l](0,\n){\n}}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{10}{500 12.25 div x mul 50 12.25 div x dup mul mul sub  50 12.75 mul 12.25 div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](7.5,120){$\mathcal{H}$} \uput[u](7.5,300){$\mathcal{D}$}
\rput(5.5,-65){Figure 2}
\rput(10.5,-7){Nombre}\rput(10.5,-10){d'ordinateurs}
\rput(1.75,60){En centaines de francs}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{center}

\textbf{Partie A - Étude graphique}

\end{center}

\emph{Dans cette partie, les résultats seront lus graphiquement.}

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau (en centaines de francs) après l'avoir recopié. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$& 1& 5& 10  \\ \hline 
Coût de fabrication &&&  \\ \hline 
Coût d'étude &&&  \\ \hline 
Coût total &&&  \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\item Donner la valeur de $x$ pour laquelle les deux coûts sont identiques. (Justifier)  
\item Combien doit-on produire d'ordinateurs pour que le coût d'étude devienne inférieur strictement à celui de fabrication ? (Justifier)
\item  Combien doit-on produire d'ordinateurs pour que l'entreprise réa	lise un bénéfice ? (Justifier) 
\item  Donner l'intervalle sur lequel le bénéfice est décroissant.   
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie B - Recherche d'un coût total minimum}

\end{center}

 On introduit la fonction $f$ définie sur $[1~;~10]$ par : 

\[f(x) = 40x + \dfrac{\np{1000}}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ et vérifier que :
 
\[f'(x) = \dfrac{40(x - 5)(x + 5)}{x^2} \]

\item  Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[1~;~10]$.
\item  Compléter le tableau de valeurs après l'avoir recopié.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&1&2&4&5&6&8&10  \\ \hline
$f(x)$&&&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans le  repère orthogonal tel que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses ; 
\item[$\bullet~$] 1 cm représente 100 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Pour combien  d'ordinateurs fabriqués le coût total est-il  minimum ?
\end{enumerate}
\end{document}