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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G. Métropole~\decofourright\\ juin 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique la vente journalière, en milliers d'exemplaires, d'un grand quotidien français entre les années 1989 et 1998 :

{\footnotesize \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1989 &1990 	&1991 	&1992 &1993 &1994&1995&1996 &1997 &1998\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10\\ \hline
Vente moyenne $y_{i}$ (en milliers)&287 	& 303 	& 334	& 357	& 371	& 387 	& 407 	& 420 	& 431 	& 444\\ \hline
\end{tabularx} \end{center} }

\begin{enumerate} 
\item Construire dans un repère orthogonal, le nuage de 
points $M\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à ce tableau statistique.

On prendra comme unités :  en abscisse : 1~cm pour une 
année, en ordonnée : 1~cm pour 10~milliers de journaux en commençant à 250~ milliers.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées du point moyen 
G$_{1}$, associé aux 5 premiers points du nuage, et placer G$_{1}$, sur le graphique.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_{2}$ associé aux 5 derniers points, et placer G$_{2}$ sur le graphique.
		\item Déterminer une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$).
	\end{enumerate}
\item On admet qu'une équation de (G$_{1}$G$_{2}$) 
est $y = 17,5 x + 278$ et on suppose que l'évolution des ventes suivra le même rythme dans les années à venir.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant l'équation de (G$_{1}$G$_{2}$), estimer à \np{1000} unités près, le nombre de journaux qui seront vendus quotidiennement pour l'année 2000.
		\item Graphiquement, estimer à partir de quelle année la vente quotidienne sera supérieure à \np{500000} exemplaires.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 5 points}

\medskip

En ce dimanche midi de début d'année, A, B, C et D souhaitent tirer les rois. Pour cela, ils disposent de 2 galettes (une frangipane et une brioche) qui contiennent chacune une fève.
Ils décident de couper les deux gâteaux en 4 parties égales et de manger tous une part de 
chaque galette. A, C sont des filles ; B, D sont des garçons.

\begin{enumerate} 
\item On s'intéresse à la répartition des fèves.
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :

\hspace{2cm}Fève de la brioche \hspace{1cm}Fève de la frangipane

\hspace{2cm}(obtenue par) \hspace{1,5cm} (obtenue par)

\hspace{3,6cm}\pstree[treemode=R]{\Tdot}{
        \pstree[levelsep=2cm,treesep=0.175cm]{\TR{A}}{\TR{A} \TR{B} \TR{C}\TR{D}
                      }
         \TR{B}
         \TR{C}
         \TR{D}
                           }
		\item Combien y a-t-il de résultats possibles pour la répartition des 2 fèves ?
		\item En supposant que les tirages sont équiprobables, déterminer la probabilité des évènements ci-dessous :

E : \og A a au moins une fève \fg{} ;

F : \og A n'a pas de fève \fg{} ;

G : \og Aucun garçon n'a obtenu de fève \fg{} ;

H : \og Les deux fèves ont été obtenues par la même personne \fg{}.
	\end{enumerate}

\item Sachant que la fève de la brioche a été obtenue par une fille, 
déterminer la probabilité de l'évènement :

I : \og La fève de la frangipane est obtenue par B \fg{}.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A. Lecture graphique}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 
1~cm. La courbe $\mathcal{C}$  représentée ci-dessous représente une
fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = a\text{e}^{2x} + b\text{e}^{-x}\quad \text{o\`u}~a~ \text{et}~ 
b~ \text{sont deux réels à déterminer}.\]

\begin{center}
\psset{xunit=2cm}\begin{pspicture}(-3,-1)(3,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-1)(3,10)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-1)(0,10)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](0,3){A} \uput[r](1,8){$\mathcal{C}$}
\uput[d](1,0){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[l](0,1){$\overrightarrow{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.605}{1.1175}{2.71828 2 x mul exp 2.71828  x neg exp 2 mul add}
\end{pspicture} 
\end{center}

On sait que $\mathcal{C}$ passe par A(0~;~3) et qu'en ce point, la courbe
admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{enumerate} 
\item	À l'aide du graphique, déterminer le signe de 
$f(x)$ sur $\R$.

\item	Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 6$ et un encadrement de chacune de ces solutions par deux entiers consécutifs.
\item En justifiant brièvement, résoudre graphiquement
	\begin{enumerate} 
		\item l'équation $f'(x) = 0$ ;
		\item l'inéquation $f'(x) \leqslant  0$, $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.  Détermination des réels $a$ et $b$}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ en fonction des 
réels $a$ et $b$.
\item Lire sur le graphique $f(0)$ et $f'(0)$.
\item En déduire un système de 2 équations à 2 inconnues. Calculer les
valeurs de $a$ et de $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude d'une fonction et calcul d'une  aire}

\medskip

On suppose que $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{2x} + 2\text{e}^{-x}\]

et que la courbe $\mathcal{C}$ donnée dans la \textbf{partie A}, est effectivement sa représentation graphique.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer en justifiant :
	\begin{enumerate} 
		\item la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item la limite de $f$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\text{e}^{3x} - 1 > 0$.
		\item Montrer que $f'(x) = 2\text{e}^{-x}\left(\text{e}^{3x} - 
1\right)$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de 
variations.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer une primitive de $f$.
		\item Montrer que :

\[\int_{0}^{\ln 2} f(x)\: \text{d}x = \dfrac{5}{2}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}