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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G. septembre 1999}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.--I.G. Métropole~\decofourright\\septembre 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour décorer sa vitrine de Noël, un commerçant a besoin d'au moins 50 boules multicolores, d'au moins 12~guirlandes et d'au moins 26~mètres de tissu argenté.

Deux grossistes proposent : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  l'un, le lot A constitué de 10 boules multicolores, 3 guirlandes, 8 mètres de tissu argenté, pour une somme de 165~francs; 
\item[$\bullet~$]  l'autre, le lot B constitué de 20 boules multicolores, 4 guirlandes, 2 mètres de tissu argenté, pour une somme de 110~francs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le but de l'exercice est de déterminer le nombre $x$ de lots A et le nombre $y$ de lots B que le commerçant doit acheter pour que la dépense soit minimale.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes du problème. 
\item  On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité 2~cm).
 
Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& \geqslant &0\\
y& \geqslant &0\\ 
x+2y &\geqslant& 5\\
3x+4y& \geqslant& 12\\
4x+y& \geqslant& 13
\end{array}\right.\] 

On hachurera la partie du plan ne convenant pas. 


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense $D$ occasionnée par l'achat de $x$ lots A et $y$ lots B.
		\item Tracer dans le plan la droite $\Delta$ correspondant à une dépense $D$ de $880$~francs.
		\item Déterminer graphiquement le nombre $x_{0}$ de lots A et le nombre $y_{0}$ de lots B pour lesquels la dépense est minimale.
		 
Calculer cette dépense minimale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des vêtements. Dans le tableau suivant, on a indiqué pour les sept premiers mois de l'année 1998 la production journalière moyenne de pulls.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois &Janvier &Février &Mars &Avril &Mai &Juin &Juillet \\ \hline
Rang $x_{i}$ du mois& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7  \\ \hline
Production journalière $y_{i}$&\np{2000} &\np{2100} &\np{2600} &\np{2650} &\np{2700} &\np{3000} &\np{3150} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
La direction devra fermer l'atelier de fabrication des pulls si la production journalière moyenne n'atteint pas \np{3500}~pulls pour la fin de l'année 1998.
 
On considère le nuage des points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé au tableau ci-dessus, relativement à un repère orthogonal \Oij.
 
On prendra les unités suivantes :
 
$\bullet~$ en abscisse : 1 cm par rang de mois ;
 
$\bullet~$ en ordonnée : 1 cm pour 200 pulls produits.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter ce nuage dans le repère \Oij.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer dans ce repère.
 	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_{1}$ associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen G$_{2}$ associé aux trois derniers points. 
		\item Déterminer une équation de la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ et la tracer.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la droite $\left(\text{G}_{1}\text{G}_{2}\right)$ réalise un ajustement convenable du nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par calcul la production journalière moyenne de pulls en décembre 1998. 
		\item Comment peut-on retrouver graphiquement ce résultat ?
	\end{enumerate}		 
\item L'atelier de fabrication des pulls a-t-il été fermé fin 1998 ? 
Justifier votre réponse.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le repère \Oij{} est orthonormal (unité 2~ cm).
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2 -4 \ln x\]
 
La courbe $\mathcal{C}$ est présentée ci-dessous. 

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-3)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[r](4.5,2){$\mathcal{C}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.33}{4.55}{x dup mul 0.5 mul 2 sub x ln 4 mul sub}
\psline{<->}(1.25,-2.773)(2.75,-2.773)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip 

Au moyen du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes:

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'affirmation suivante :
		 
\og  l'équation $f(x) = 0$ possède deux solutions $\alpha$ et $\beta. (\alpha  < \beta$ \og.
		\item Donner un encadrement de chacune de ces solutions par deux entiers consécutifs.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $f(x) < 0$. 
		\item Résoudre l'inéquation $f'(x) > O$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. 

		\item Vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$ 

\[f(x) = x^2 \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{x^2} - 4 \dfrac{\ln x}{x^2}\right).\] 

Calculer alors : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Établir le tableau de variations de $f$. 
(On calculera la valeur exacte du minimum).
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant. On donnera des valeurs décimales approchées de $f(x)$ à $0,01$ près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$& 0,4 &0,9 &0,5 &0,6 &0,7 &0,8 \\ \hline
$f(x)$&&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 + 2x - 4 x \ln x.\]
 
Montrer que $F$ est une primitive de $f$. 
\item  Soit A $= \displaystyle\int_{4}^5 f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de A. 
		\item En déduire une valeur décimale approchée à $0,01$ près de l'aire, en cm$^2$, de la portion de plan comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droite d'équations $x = 4$ et $x = 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}