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%Tapuscrit : Denis Vergès-
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G. octobre 1999}
\lfoot{\small{Sportifs de haut-niveau}}
\rfoot{\small{octobre 1999}}
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\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT C.G.-I.G.~\decofourright\\ Sportifs de haut niveau  octobre 1999}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Deux joueurs possèdent chacun un sac contenant trois pions de couleurs
différentes : un noir, un blanc, et un rouge. Le premier joueur pose devant lui un
pion tiré au hasard dans son sac, puis le second joueur effectue le même geste.

Un joueur gagne s'il est seul à avoir posé un pion noir.

\begin{enumerate} 
\item On note N$_1$, B$_1$, R$_1$ les pions respectivement 
noir, blanc et rouge du premier joueur, et de même N$_2$, B$_2$, R$_2$ ceux du second joueur.

Décrire par un arbre tous les résultats possibles de ce jeu, en indiquant pour chacun d'eux le gagnant éventuel.
\item En utilisant cet arbre, déterminer les probabilités de chacun des
évènements :

A : \og Aucun joueur ne gagne \fg{} ;

B : \og Le second joueur gagne \fg{} ;

C : \og Le premier joueur pose son pion noir et il ne gagne pas \fg.

\item Le premier joueur a posé son pion noir devant lui ; quelle est la probabilité qu'il gagne ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\R$ l'équation 

\[x^2 + 203x - 410 = 0.\]

\item Dans un supermarché, le chef du rayon électricité effectue son bilan trimestriel.
 Au mois d'octobre, son chiffre d'affaires est de $\np{20000}$~F.

	\begin{enumerate} 
		\item Au mois de novembre, le chiffre d'affaires, noté $N(x)$, est
 en hausse de $x\,\%$ par rapport à celui du mois d'octobre.

Exprimer $N(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Le chiffre d'affaires du mois de décembre, que l'on note $D(x)$, a été en augmentation de $(x + 3)\,\%$ par rapport à celui du mois de novembre.

Exprimer $D(x)$ en fonction de $N(x)$ , puis vérifier que 

\[D(x) = \np{20600} + 406x + 2x^2.\]

		\item On sait qu'au mois de décembre le chiffre d'affaires est de $\np{21420}$~F. Utiliser la question \textbf{1.} pour trouver $x$ et en déduire les taux  d'augmentation respectifs des chiffres d'affaires entre octobre et novembre, et entre novembre et décembre.
\end{enumerate}
\item Si les chiffres d'affaires avaient subi une même augmentation de 
$t\,\%$ entre octobre et novembre, et entre novembre et décembre, quelle valeur approchée à $10^{-3}$ près par défaut faudrait-il donner à $t$ pour que le chiffre d'affaires de décembre soit aussi de $\np{21420}$~ F, celui d'octobre étant toujours de $\np{20000}$~ F ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill  11 points}

\medskip

La figure ci-après comporte, dans le repère orthonormal \Oij~ d'unité graphique 2~cm, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ est celle d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

On admet que la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$.

On admet aussi que la droite $\Delta$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $-\infty$
\begin{enumerate} 
\item Donner une équation de la droite $\Delta$ sous la 
forme : $y = mx + p$.
\item Donner, en justifiant, la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer graphiquement une valeur approchée à $10^{-1}$ près de chacune des solutions de l'équation $f(x) = 0$.

On placera sur la courbe $\mathcal{C}$ donnée les points A et B ayant permis cette résolution graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur par 

\[f(x) = \text{e}^x - x - 2.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
-\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la valeur exacte de 
$\displaystyle\int_{-3}^{-2}  f(x)\:\text{d}x$, puis en donner une valeur
approchée à $10^{-1}$ près.
		\item Faire apparaître sur la figure ci-dessous, et commenter, l'interprétation  graphique de cette intégrale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur un intervalle I de $\R$ par

\[ g(x) = ax + \ln (x + b),\]

$a$ et $b$ étant deux nombres réels que l'on veut déterminer. Soit $\mathcal{C}'$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij~ de la figure ci-dessous.

\begin{enumerate} 
\item Sachant que la courbe $\mathcal{C}'$ passe par les points
 E$(0~;~\ln 2)$ et F$(-1~;~1)$, montrer que les réel $a$ et $b$ sont respectivement $- 1$ et $2$.
\item On sait désormais que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle 
I = $]-2~;~+ \infty[$ et on admet que la limite de $g$ en $+ \infty$ 
est $- \infty$.

Déterminer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $-2$ . Interpréter 
graphiquement ce résultat.
\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ désigne la dérivée de $g$ sur l'intervalle 
$]-2~;~+ \infty[$.

Étudier le signe de $g'(x)$ puis établir le tableau de variations de $g$ sur $]- 2~;~+ \infty[$ 
\item Montrer que tout réel $ $strictement supérieur à $-2$ vérifiant $f(x) =  0$ est aussi solution de l'équation $g(x) = 0$.

Interpréter ce résultat pour la courbe $\mathcal{C}'$. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}'$ en faisant apparaître tous les renseignements obtenus dans les questions ci-dessus.
 
\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-5,-3.5)(4,4.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-5,-4)(4,5)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-4)(4,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[d](2.2,4){$\mathcal{C}$}  \uput[ur](1,-3){$\Delta$}
\psline(-5,3)(1.5,-3.5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-5}{2.158}{2.71828 x exp x sub 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}