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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G-I.G.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{CG-IG juin 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Polynésie~\decofourright\\ juin 2001}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Maximalisation par programmation linéaire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
 
Unités graphiques : 1 cm pour dix unités en abscisse et en ordonnée. 

Hachurer, sur la figure donnée page suivante l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ ne vérifient pas le système $(S)$ suivant : 

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x &\geqslant& 0 ;\\
y&\geqslant& 0 ; \\
y &\leqslant& - \frac{7}{8}x+ 126,25 ;\\ 
y  &\leqslant& - \frac{3}{2}x + 195 ; \\  
y &\leqslant&- \frac{5}{8}x + 118,75.
\end{array}\right.\] 
\renewcommand\arraystretch{1}

\item Afin de renouveler son stock, un confiseur décide d'organiser une vente promotionnelle et propose deux lots :
 
$\bullet~~$Un lot A comportant 7 boîtes de chocolats, 6 boîtes de dragées, et 5 boîtes de pâtes de fruits, 

$\bullet~~$Un lot B comportant 8 boîtes de chocolats, 4 boîtes de dragées et 8 boîtes de pâtes de fruits.
 
La vente d'un lot A lui rapporte 700\euro{} et celle d'un lot B, 600\euro{}.
 
Le confiseur dispose en stock de \np{1010} boîtes de chocolats, de $780$ boîtes de dragées et de $950$ boîtes de pâtes de fruits.
 
On désigne par $x$ le nombre de lots A et par $y$ le nombre de lots B. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les contraintes de la situation peuvent se traduire par le système $(S)$ de la question 1, où $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. 
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la recette $R$, en euros, réalisée par la vente de $x$ lots A et de $y$ lots B. 
		\item Écrire l'équation de la droite $\mathcal{D}$ correspondant à une recette de \np{54000}~\euro{} sous la forme $y = ax + b$.
		
Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur la figure ci-dessous.
		\item À l'aide du graphique, donner les nombres de lots A et de lots B que le confiseur doit vendre pour que la recette soit maximale. Quelle est alors cette recette ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.055cm}
\begin{pspicture}(-10,-10)(200,210)
\multido{\n=0+5}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,210)}
\multido{\n=0+5}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(200,\n)}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt](0,0)(200,210)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=50](0,0)(200,210)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(10,10) \uput[d](10,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,10){$\vect{\jmath}$}
\uput[u](208,0){$x$}\uput[r](0,208){$y$}
\psplot{0}{130}{195 3 x mul 2 div sub}\uput[l](0,195){195}
\psplot{0}{144.29}{126.25 7 x mul 8 div sub}\uput[l](0,126.25){126,25}
\psplot{0}{190}{118.75 5 x mul 8 div sub}\uput[l](0,118.75){118,75}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip 

Une urne contient 60 boules : vertes, bleues ou jaunes.
 
Dans chaque couleur, certaines sont unies et d'autres sont rayées de noir.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la répartition des boules par un tableau sachant que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 30\,\% des boules sont bleues unies, 
\item 20\,\% des boules sont vertes et les deux tiers d'entre elles sont rayées,
\item il y a deux fois plus de boules jaunes que de vertes, 
\item 75\,\% des boules jaunes sont rayées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On choisit au hasard une boule dans cette urne. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
$A$ : \og obtenir une boule rayée \fg,
 
$B$ : \og obtenir une boule verte et unie \fg,
 
$C$ : \og obtenir une boule jaune ou unie \fg,
 
$D$ : \og obtenir une boule ni bleue, ni unie \fg.
 
On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à $10^{-3}$ près de chacune des probabilités demandées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 9 points}

\medskip  

Les objectifs de ce problème sont de déterminer graphiquement 
quelques résultats concernant une fonction $f$ (partie A), puis d'étudier cette fonction et de calculer une intégrale qui lui est associée (partie B).

\medskip
 
\textbf{Partie A} 

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous, représente une fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
 
Sur cette figure, sont également tracées une droite $\mathcal{D}$ ainsi que les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses respectives $0$ et $1,5$.
 
En utilisant cette figure :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$. 
\item Déterminer une valeur approchée à $0,1$ près de $f(1,5)$, ainsi qu'une valeur approchée à $0,1$ près de $f'(1,5)$. 
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$. 
\item Préciser le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-3~;~1,5]$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B} 

\medskip
 
La fonction étudiée graphiquement dans la partie A est la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x ) = \text{e}^x - x + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$. 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x ) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 1 + \dfrac{1}{x}\right)$ et déterminer 
	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  [f(x) - (- x + 1)]$. 
		
Qu'en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
		\item Étudier, pour $x$ appartenant à $\R$, le signe de $f(x) - (- x + 1)$. 

Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Résoudre, pour $x$ appartenant à $\R$, l'inéquation $\text{e}^x - 1 \geqslant 0$. 
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$, sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$. 
		\item Montrer que $\displaystyle\int_{-1}^{1}  f(x)\:\text{d}x = 2 + \text{e} - \dfrac{1}{\text{e}}$. 
		\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près par excès de cette intégrale et interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(3,5)
\multido{\n=-3.5+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1.5)(\n,5)}
\multido{\n=-1.50+0.25}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-3.5,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=0.5]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(3,5)
\uput[u](3,0){$x$}\uput[r](0,5){$y$}
\psplot{-3.5}{2.5}{1 x sub}
\psplot{-0.0785}{1.92}{3.5 x mul 1.25 sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{1.75}{2.71828 x exp x sub 1 add}\uput[dl](0,0){O}
\psline(1.5,0)(1.5,4)(0,4)\uput[ul](1.5,4){A}\uput[u](-2.75,3.75){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}